精品解析：辽宁省铁岭市西丰县第二高级中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

西丰二高2024-2025学年度 第一学期 期中考试 高二 数学试卷 考试须知： 1．考试分选择题， 非选择题两部分 2. 答题前考生务必将电子标识签粘贴好. 3. 请将各题答案使用2B铅笔统一涂在答题卡上. 4. 用中性黑色签字笔作答. 一、单选题 1. 在平面直角坐标系中，直线：的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知两条直线和互相平行，则等于 A. ﹣1 B. 2 C. 1 D. 0 3. 圆心为且过原点的圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆：与圆：，则圆与圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 相离 5. 若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（　　） A. B. C D. 6. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆短轴的一个端点，且，则椭圆的离心率为（ ） A B. C. D. 7. 设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 8. 椭圆中，点为椭圆的右焦点，点A为椭圆的左顶点，点B为椭圆的短轴上的顶点，若，此椭圆称为“黄金椭圆”，“黄金椭圆”的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. （多选）已知圆，直线.则以下几个命题正确的有（ ） A. 直线恒过定点 B. 圆被轴截得的弦长为 C. 直线与圆恒相交 D. 直线被圆截得最长弦长时，直线方程为 10. （多选题）若方程所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是（ ） A. 若1＜t＜5，则C为椭圆 B. 若t＜1．则C为双曲线 C. 若C为双曲线，则焦距为4 D. 若C为焦点在y轴上的椭圆，则3＜t＜5 11. 已知抛物线的焦点为，准线为，为上一点，垂直于且交于点，若，则（ ） A. 为等边三角形 B. C. D. 三、填空题 12. 若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为________. 13 直线与圆相交于A、B两点，则_______. 14. 设，分别是椭圆的左，右焦点，点P在椭圆C上，若线段的中点在y轴上，，则椭圆的离心率为___________. 四、解答题 15. 根据下列条件，求圆的标准方程： （1）过点和点，半径为． （2）经过两点，圆心在直线上． 16. 求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1），经过点，焦点在轴上； （2）过点和． 17. 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． （1）准线方程为； （2）过点； （3）焦点直线上． 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，四边形为平行四边形，，. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的余弦值. 19. 已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意一点． （1）若，求的面积； （2）求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 西丰二高2024-2025学年度 第一学期 期中考试 高二 数学试卷 考试须知： 1．考试分选择题， 非选择题两部分 2. 答题前考生务必将电子标识签粘贴好. 3. 请将各题答案使用2B铅笔统一涂在答题卡上. 4. 用中性黑色签字笔作答. 一、单选题 1. 在平面直角坐标系中，直线：的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把直线方程化成斜截式方程，求出斜率，再根据直线斜率与直线倾斜角之间的关系，结合特殊角的正切值，求出直线的倾斜角. 【详解】由化简得：， 所以直线的斜率为，为倾斜角， 所以直线倾斜角为. 故选：A. 2 已知两条直线和互相平行，则等于 A. ﹣1 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】利用斜率相等，纵截距不等可求的值. 【详解】两条直线和互相平行， 可知： ，解得． 故选：C． 3. 圆心为且过原点的圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用圆的定义计算即可. 【详解】由题意可知原点到圆心的距离即该圆的半径， 由两点距离公式可知， 故该圆的标准方程为：. 故选：A 4. 已知圆：与圆：，则圆与圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 相离 【答案】C 【解析】 【分析】先求出两个圆的圆心和半径，再根据它们的圆心距等于半径之和，可得两圆相外切． 【详解】圆的圆心为，半径等于1，圆的圆心为，半径等于4， 它们的圆心距等于，等于半径之和， 故两个圆相外切. 故选：C． 【点睛】本题主要考查圆的标准方程，圆和圆的位置关系的判定方法，属于中档题． 5. 若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据焦点在y轴上的椭圆上的方程特征得到不等式，求出答案. 【详解】由题意得，解得. 故选：C 6. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆短轴的一个端点，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】由题意可知，， 在中，由余弦定理得，化简得， 则，所以， 故选：C. 7. 设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案. 【详解】，，根据双曲线的定义可得， ，即， ，， ，即，解得， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题. 8. 椭圆中，点为椭圆的右焦点，点A为椭圆的左顶点，点B为椭圆的短轴上的顶点，若，此椭圆称为“黄金椭圆”，“黄金椭圆”的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出的坐标，由可得间的关系，结合及离心率公式即可求解. 【详解】设为椭圆的半焦距，由题意可得， 由对称性可设, 则, 因为，所以, 所以,即,解得或（舍）. 故选:B. 二、多选题 9. （多选）已知圆，直线.则以下几个命题正确的有（ ） A. 直线恒过定点 B. 圆被轴截得的弦长为 C. 直线与圆恒相交 D. 直线被圆截得最长弦长时，直线的方程为 【答案】ABC 【解析】 【分析】 求出直线所过定点坐标，再根据直线与圆的位置关系判断． 【详解】直线方程整理得，由，解得，∴直线过定点，A正确； 在圆方程中令，得，，∴轴上的弦长为，B正确； ，∴在圆内，直线与圆一定相交，C正确； 直线被圆截得弦最长时，直线过圆心，则，，直线方程为，即．D错． 故选：ABC． 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆的位置关系，直线过定点问题．（1）直线方程整理为关于参数的方程，然后由恒等式知识可得定点坐标．（2）直线与圆的位置关系的判断，若直线所过定点在圆内，则直线与圆相交，若定点在圆上，则直线与圆相交或相切，定点在圆外，直线与圆的三种位置关系都有可能．（3）直线过圆心时弦长最长，直线所过定点是弦中点时，弦长最短． 10. （多选题）若方程所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是（ ） A. 若1＜t＜5，则C为椭圆 B. 若t＜1．则C为双曲线 C. 若C为双曲线，则焦距为4 D. 若C为焦点在y轴上的椭圆，则3＜t＜5 【答案】BD 【解析】 【分析】根据椭圆和双曲线的标准方程及简单的几何性质，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，若方程表示椭圆，则满足，解得或， 对于A中，当时，此时方程表示圆，所以不正确； 当方程表示焦点在轴上椭圆，则满足，解得， 所以D项正确； 对于B中，当时， ，此时表示焦点在轴上的双曲线，所以是正确的； 对于C中，当时，方程，此时双曲线的焦距为，所以不正确. 故选BD. 若方程表示椭圆，则满足，解得或， 【点睛】本题主要考查了椭圆与双曲线的标准方程和简单的几何性质的应用，其中解答椭圆和双曲线的标准方程和几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 11. 已知抛物线的焦点为，准线为，为上一点，垂直于且交于点，若，则（ ） A. 为等边三角形 B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】作图，由抛物线定理可得，结合条件得到，即可判断A；过作，求得，所以，即可判断B，进而求得面积以及即可判断C、D． 【详解】如图，因为即轴，所以， 由抛物线定义知，所以为等边三角形，故正确； 因为，过作，垂足为，所以，则，所以，故B正确； 在等边三角形中，，则，故C正确； 因为，所以所以可得，故D错误， 故选：ABC 三、填空题 12. 若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为________. 【答案】(－9,6)或(－9，－6) 【解析】 【分析】利用抛物线定义结合条件列方程求p，再求点M的坐标. 【详解】由抛物线方程y2＝－2px(p＞0)，得其焦点坐标为F，准线方程为x＝， 设点M到准线的距离为d，则d＝|MF|＝10， 即－(－9)＝10，得p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x. 由点M(－9，y)在抛物线上，得y＝±6， 故点M的坐标为(－9,6)或(－9，－6)， 故答案为：(－9,6)或(－9，－6) 13. 直线与圆相交于A、B两点，则_______. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离为 所以弦长 考点：直线与圆相交的相关问题 14. 设，分别是椭圆的左，右焦点，点P在椭圆C上，若线段的中点在y轴上，，则椭圆的离心率为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据线段的中点在y轴上，易得轴，轴，然后根据，由求解. 【详解】如图所示： 因为线段的中点在y轴上， 所以轴，则轴， 所以， 因为， 所以， 即， 所以， 解得：. 故答案为： 四、解答题 15. 根据下列条件，求圆的标准方程： （1）过点和点，半径为． （2）经过两点，圆心在直线上． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法设圆的标准方程，结合已知条件即可； （2）方法1：利用待定系数法设圆的标准方程，结合已知条件求解即可； 方法2：利用图形结合平面向量，建立方程结合已知条件求出圆心和半径即可. 【小问1详解】 设圆心坐标为，则圆的方程为． 因为是圆上的点， 所以解得或， 因此所求圆的方程为或． 【小问2详解】 （方法一）设圆心为，半径为， 则圆标准方程为． 由题意可得方程组． 解此方程组，得， 故所求圆的方程为． （方法二）如图，由于圆心到点的距离相等（都等于半径）， 因此圆心在的垂直平分线上， 并且处于直线与直线的交点处． 因为，所以是的法向量， 故可设直线的方程为．① 又直线过的中点，而的坐标为， 即，将其代入①式，解得． 所以直线的方程为，即． 圆心的坐标是方程组的解， 解此方程组，得． 所以圆心的坐标为． 圆的半径． 故所求圆的方程为． 16. 求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1），经过点，焦点在轴上； （2）过点和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意设双曲线的标准方程为，将点的坐标代入求出，即可得解； （2）设双曲线方程为，代入点的坐标得到方程组，解得、即可. 【小问1详解】 因为双曲线的焦点在轴上， 所以可设双曲线的标准方程为， 由，经过点， 可得，解得， 故双曲线的标准方程为； 【小问2详解】 依题意设双曲线方程为， 则，解得，所以双曲线方程为； 17. 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． （1）准线方程为； （2）过点； （3）焦点在直线上． 【答案】（1）； （2）或； （3）或. 【解析】 【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，直接写出方程即得. （2）设出抛物线的标准方程，利用待定系数法求解即得. （3）求出直线与坐标轴的交点，再写出抛物线的标准方程即得. 【小问1详解】 准线方程为，即，则抛物线的焦点坐标为， 所以所求抛物线的标准方程为. 【小问2详解】 设所求抛物线的标准方程为或， 于是，解得，或，解得， 所以所求抛物线标准方程为或. 【小问3详解】 直线交y轴于点，则以为焦点的抛物线标准方程为； 直线交x轴于点，则以为焦点的抛物线标准方程为， 所以所求抛物线的标准方程为或. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，四边形为平行四边形，，. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明线面垂直，再证明面面垂直即可； （2）先建立空间直角坐标系，求出相关平面的法向量，再利用夹角公式求解即可. 【小问1详解】 证明：在平行四边形中，令，则 ， 在中，，所以. 又平面平面，且平面平面， 所以平面. 又因为平面， 所以平面平面； 【小问2详解】 由（1）得，以为空间直角原点， 建立空间直角坐标系，如图所示， 令， ，，，， ，，， 设平面的法向量为，则 得 令，得，， 所以平面的法向量为； 设平面的法向量为， 即 令，得， 所以平面的法向量为. 所以，由图可知二面角为钝角， 所以所求二面角的余弦值为. 19. 已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意一点． （1）若，求的面积； （2）求的最大值． 【答案】（1） （2）100 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义，在△F1PF2中结合余弦定理得到的值进而求出△F1PF2的面积；（2）根据椭圆的定义，结合基本不等式可求出的最大值. 【小问1详解】 ，焦点坐标, ， ， 代入得， 所以； 【小问2详解】 ，当,即在上时取等号， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$