6.3平面向量线性运算的应用 同步练习-2024-2025学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册

6．3　平面向量线性运算的应用 必备知识基础练　 1．（5分）已知四边形ABCD各顶点坐标是A（－1，－），B（1，），C（－，2），D（－，－2），则四边形ABCD是（　　） A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．菱形 2．（5分）已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N，合力与F1的夹角为60°，那么|F1|＝（　　） A．5 N B．5 N C．10 N D．5 N 3．（5分）已知A（7，1），B（1，4），直线y＝ax与线段AB交于点C，且＝2，则a＝（　　） A．2 B．1 C． D． 4．（5分）炮弹的初速度为v0，发射角为θ，则炮弹上升的高度y与v0之间的关系式（t为飞行时间）为（　　） A．y＝|v0|t B．y＝|v0|sin θ·t－|g|t2 C．y＝|v0|sin θ·t D．y＝|v0|cos θ·t 5．（6分）（多选）已知平行四边形的三个顶点分别为A（－3，0），B（2，－2），C（5，2），则第四个顶点D的坐标可能是（　　） A．（10，0） B．（0，4） C．（－6，－4） D．（6，－1） 6．（5分）如图，OM∥AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的区域（不含边界）内运动，且＝x＋y，则x的取值范围是　　　　Ｗ．当x＝－时，y的取值范围是　　　　Ｗ． 关键能力综合练 7.（5分）用两条成θ角的等长的绳子悬挂一个灯箱，如图已知灯箱重10 N，当每根绳子的拉力的大小为10 N时，θ＝（　　） A．60° B．90° C．150° D．120° 8．（5分）O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ（＋），λ∈（0，＋∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的（　　） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 9．（6分）（多选）设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（　　） A．若＝＋，则点M是边BC的中点 B．若＝2－，则点M在边BC的延长线上 C．若＝－－，则点M是△ABC的重心 D．若＝x＋y且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的 2x＋2y，设＝2，由图可得M为AN的中点，则△MBC的面积是△ABC面积的，故D正确．故选ACD. 10．（6分）（多选）点P是△ABC所在平面内一点，满足|－|－|＋－2|＝0，则△ABC的形状不可能是（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 11．（5分）已知在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝2CD＝2，∠ADC＝90°，若点M在线段AC上，则|＋|的取值范围为　　　　． 12．（15分）如图所示，在△ABC中，点M是AB的中点，且＝，BN与CM相交于点E，设＝a，＝b，试用基底a，b表示向量. 核心素养升级练 13.（5分）若＝3e，＝5e，且||＝||，则四边形ABCD的形状为　　　　． 14．（17分）如图，在△ABC中，D为BC的中点，G为AD的中点，过点G任作一直线MN分别交AB，AC于M，N两点．若＝x，＝y，试问：＋是否为定值？ 　 参考答案 1．（5分）已知四边形ABCD各顶点坐标是A（－1，－），B（1，），C（－，2），D（－，－2），则四边形ABCD是（　　） A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．菱形 答案：A 解析：∵＝，＝（3，4）， ∴＝，∴∥，即AB∥DC. 又||＝＝，||＝＝5， ∴||≠||，∴四边形ABCD是梯形． 2．（5分）已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N，合力与F1的夹角为60°，那么|F1|＝（　　） A．5 N B．5 N C．10 N D．5 N 答案：B 解析：如图，由题意，得四边形OABC是矩形， ∵∠AOB＝60°， ∴|F1|＝|F合|cos 60°＝10×＝5 （N）. 3．（5分）已知A（7，1），B（1，4），直线y＝ax与线段AB交于点C，且＝2，则a＝（　　） A．2 B．1 C． D． 答案：A 解析：设C（x，y），则（x－7，y－1）＝2（1－x，4－y）⇔⇔⇔∴3＝a·3⇒a＝2.故选A. 4．（5分）[2024·江苏淮阴中学高一检测]炮弹的初速度为v0，发射角为θ，则炮弹上升的高度y与v0之间的关系式（t为飞行时间）为（　　） A．y＝|v0|t B．y＝|v0|sin θ·t－|g|t2 C．y＝|v0|sin θ·t D．y＝|v0|cos θ·t 答案：B 解析：炮弹上升的速度的大小为|v0|sin θ，所以上升的高度与时间t的关系是y＝|v0|sin θ·t－|g|t2. 5．（6分）（多选）已知平行四边形的三个顶点分别为A（－3，0），B（2，－2），C（5，2），则第四个顶点D的坐标可能是（　　） A．（10，0） B．（0，4） C．（－6，－4） D．（6，－1） 答案：ABC 解析：根据题意，＝（5，－2），＝（8，2），＝（3，4），要使四个点能构成平行四边形，则＝±或＝±或＝±.对于A，＝（5，－2）＝，满足题意；对于B，＝（3，4）＝，满足题意；对于C，＝（－8，－2）＝－，满足题意；经过验证可得（6，－1）不满足题意．故选ABC. 6．（5分）[2024·山东济南外国语学校高一月考]如图，OM∥AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的区域（不含边界）内运动，且＝x＋y，则x的取值范围是　　　　Ｗ．当x＝－时，y的取值范围是　　　　Ｗ． 答案：（－∞，0）　 解析：∵OM∥AB，∴＝n＋m（m>0，n>0）. 又∵＝－， ∴＝n＋m（－） ＝－m＋（m＋n）. ∵＝x＋y，∴x＝－m<0， 即x∈（－∞，0），y＝m＋n. 由图形可知，0<n<1， ∴当x＝－，即m＝时，<m＋n<，即y∈. 关键能力综合练 7.（5分）用两条成θ角的等长的绳子悬挂一个灯箱，如图已知灯箱重10 N，当每根绳子的拉力的大小为10 N时，θ＝（　　） A．60° B．90° C．150° D．120° 答案：D 解析：根据题意作出示意图． 如图所示，由||＝|1|＝|2|＝|3|＝10得∠F1OF3＝∠F2OF3＝60°，则∠F1OF2＝120°，∴θ＝120°.故选D. 8．（5分）O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ（＋），λ∈（0，＋∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的（　　） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 答案：B 解析：易知，分别是向量，方向上的单位向量，设与方向上的单位向量分别为e1和e2，则原式可化为＝λ（e1＋e2），所以AP平分∠BAC，故点P的轨迹一定通过△ABC的内心．故选B. 9．（6分）（多选）设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（　　） A．若＝＋，则点M是边BC的中点 B．若＝2－，则点M在边BC的延长线上 C．若＝－－，则点M是△ABC的重心 D．若＝x＋y且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的 答案：ACD 解析：若＝＋，则点M是边BC的中点，故A正确；若＝2－，则－＝－，即＝，故点M在边CB的延长线上，故B错误；若＝－－，即＋＋＝0，则点M是△ABC的重心，故C正确；若＝x＋y且x＋y＝，可得2＝2x＋2y，设＝2，由图可得M为AN的中点，则△MBC的面积是△ABC面积的，故D正确．故选ACD. 10．（6分）（多选）点P是△ABC所在平面内一点，满足|－|－|＋－2|＝0，则△ABC的形状不可能是（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 答案：ACD 解析：∵P是△ABC所在平面内一点，且|－|－|＋－2|＝0， ∴||－|（－）＋（－）|＝0， 即||＝|＋|， ∴|－|＝|＋|， 由向量加法减法的几何意义知四边形ABDC为矩形， ∴⊥，∴∠A＝90°，则△ABC一定是直角三角形．故选ACD. 11．（5分）已知在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝2CD＝2，∠ADC＝90°，若点M在线段AC上，则|＋|的取值范围为　　　　． 答案： 解析：建立如图所示的平面直角坐标系， 则A（0，0），B（2，0），C（1，2），D（0，2）， 设＝λ（0≤λ≤1）， 则M（λ，2λ）， 故＝（－λ，2－2λ），＝（2－λ，－2λ）， 则＋＝（2－2λ，2－4λ）， |＋|＝ ＝ ， 当λ＝0时，|＋|取得最大值为2，当λ＝时，|＋|取得最小值为， ∴|＋|∈. 12．（15分）如图所示，在△ABC中，点M是AB的中点，且＝，BN与CM相交于点E，设＝a，＝b，试用基底a，b表示向量. 解析：由题意得＝＝b，＝＝a， 由N，E，B三点共线，设存在实数m， 满足＝m＋（1－m）＝mb＋（1－m）a. 由C，E，M三点共线，设存在实数n， 满足＝n＋（1－n）＝n a＋（1－n）b. 所以mb＋（1－m）a＝na＋（1－n）b， 由于a，b为基底，所以 解得所以＝a＋b. 核心素养升级练 13.（5分）若＝3e，＝5e，且||＝||，则四边形ABCD的形状为　　　　． 答案：等腰梯形 解析：由＝3e，＝5e，得∥， ≠，又因为ABCD为四边形， 所以AB∥DC，AB≠DC. 又||＝||，得AD＝BC， 所以四边形ABCD为等腰梯形． 14．（17分）如图，在△ABC中，D为BC的中点，G为AD的中点，过点G任作一直线MN分别交AB，AC于M，N两点．若＝x，＝y，试问：＋是否为定值？ 解析：设＝a，＝b， 则＝xa，＝yb， ＝＝（＋）＝（a＋b）. 所以＝－＝（a＋b）－xa ＝（－x）a＋b， ＝－＝yb－xa＝－xa＋yb. 因为与共线，且a，b不共线， 所以有（－x）y＝（－x）， 即x＋y＝xy，得＋＝4， 所以＋为定值． 　 学科网（北京）股份有限公司 $$