数列求和（含解析）-2025届高三数学一轮复习

数列求和 1．若一个等差数列前3项和为3，最后3项和为30，且所有项的和为99，则这个数列有（ ） A．9项 B．12项 C．15项 D．18项 2．在数列中，已知，，记为数列的前项和，则（ ） A．1008 B．1009 C．1010 D．1011 考点一 分组转化法求和 【例1】已知是等差数列，是等比数列，且，，，． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【方法技巧】分组转化法求和的常见类型 (1) ，且{为等差或等比数列． (2)通项公式为的数列， 其中数列是等比数列或等差数列． 【变式】已知数列的首项为，前项和，且数列是公差为的等差数列． （1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和． 考点二 裂项相消法求和 【例2】已知是正项等差数列，的前项和记为，，． （1）求的通项公式； （2）设数列的通项为，求数列的前项和． 【方法技巧】通项分解（裂项）常见的形式如下： （1）． （2） ． （3）． （4） ． （5）． （6）． 【变式】已知数列是递增的等比数列，且，． （1）求数列的通项公式； （2）设为数列的前项和，，求数列的前项和． 考点三 错位相减法求和 【例3】已知数列是等比数列，，是和的等差中项. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【方法技巧】一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求用错位相减法求解． 用错位相减法求和时，应注意： （1）在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”． （2）数列满足：， 则其前项的和满足： ，其中． 【变式】数列的前项和记为，对任意正整数，均有，且． （1）求，的值； （2）求数列的通项公式； （3）若（），求数列的前项和． 1．已知数列的通项公式是，若前n项和为10，则项数为（C ） A．11 B．99 C．120 D．121 2．数列的前项和为 ，则的值是（ ） A． B． C． D． 3．在等比数列中，若，则数列的前8项和等于（ ） A． B． C． D． 4．数列的通项公式为，则它的前100项之和S100等于(　　) A． B． C． D． 5．数列满足，且，则数列的前10项和为 . 6．设等差数列的前项和为，已知，，则 ． 7． 已知等差数列满足，． （1）求数列的前项和； （2）若，求的值． 8．设是数列的前项和, 已知, . (1) 求数列的通项公式； (2) 令，求数列的前项和. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数列求和 学习目标：1.熟练掌握分组转化法和裂项相消法求和． 2.熟练掌握错位相减法的求和公式． 1．若一个等差数列前3项和为3，最后3项和为30，且所有项的和为99，则这个数列有（ ） A．9项 B．12项 C．15项 D．18项 【答案】D 【解析】∵，， ∴， ，故． 2．在数列中，已知，，记为数列的前项和，则（ ） A．1008 B．1009 C．1010 D．1011 【答案】C 【解析】设的周期为， ∵，，，，…， ∴，，∴． ∵，∴． 考点一 分组转化法求和 【例1】已知是等差数列，是等比数列，且，，，． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由，，得，∴． ∴，，则， ∴． （2），∴数列的前项和为 ． 【方法技巧】分组转化法求和的常见类型 (1) ，且{为等差或等比数列． (2)通项公式为的数列， 其中数列是等比数列或等差数列． 【变式】已知数列的首项为，前项和，且数列是公差为的等差数列． （1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和． 【解析】（1）由已知得， ∴． 当时，． ，∴，． （2）由⑴可得． 当为偶数时， ， 当为奇数时，为偶数 ， 综上， 考点二 裂项相消法求和 【例2】已知是正项等差数列，的前项和记为，，． （1）求的通项公式； （2）设数列的通项为，求数列的前项和． 【解析】（1）设的公差为， 由已知得，解得，或， ∵是正项等差数列，∴（舍去）． ∴． （2）由⑴得． ． ． 【方法技巧】通项分解（裂项）常见的形式如下： （1）． （2） ． （3）． （4） ． （5）． （6）． 【变式】已知数列是递增的等比数列，且，． （1）求数列的通项公式； （2）设为数列的前项和，，求数列的前项和． 【解析】（1）设等比数列的公比为， ∵，∴，解得或． ∵数列是递增，∴，∴，∴，∴． （2）由（1）可知， ∴ ， ∴ 考点三 错位相减法求和 【例3】已知数列是等比数列，，是和的等差中项. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【解析】（1）设等比数列的公比为， ∵，∴，． ∵是和的等差中项，∴． ∴，∴．∵，∴． ∴．． （2）∵，∴． ∴． 则， ① . ② ①－②得， ， ∴． 【方法技巧】一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求用错位相减法求解． 用错位相减法求和时，应注意： （1）在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”． （2）数列满足：， 则其前项的和满足： ，其中． 【变式】数列的前项和记为，对任意正整数，均有，且． （1）求，的值； （2）求数列的通项公式； （3）若（），求数列的前项和． 【解析】（1）∵， ∴，解得． ∴，∴， ∴，且，∴． （2）∵时，，． ∴， ∴， ∴， ∵，∴． ∴数列是首项为1，公差为2的等差数列， ∴，． （3）由（2）得． 设，① 则，② ①-②得 ， ∴． 1．已知数列的通项公式是，若前n项和为10，则项数为（C ） A．11 B．99 C．120 D．121 【解析】∵， ∴＝． 令，解得． 2．数列的前项和为 ，则的值是（ ） A． B． C． D． 【解析】由，可得 ∴原式 ． 3．在等比数列中，若，则数列的前8项和等于（ ） A． B． C． D． 【解析】∵，∴， ． 4．数列的通项公式为，则它的前100项之和S100等于(　　) A． B． C． D． 【解析】 ． 5．数列满足，且，则数列的前10项和为 . 【解析】 ， ∴， ∴． 6．设等差数列的前项和为，已知，，则 ． 【解析】∵数列为等差数列， ∴为等差数列， ∴， ∴． 7． 已知等差数列满足，． （1）求数列的前项和； （2）若，求的值． 【解析】（1）设等差数列的公差为 ， ∵，，∴，解得． ∴． （2）由（1）知， ∴ ， ∴． 8．设是数列的前项和, 已知, . (1) 求数列的通项公式； (2) 令，求数列的前项和. 【解析】（1）当时, 由, 得, 两式相减, 得, ∴ ． ∴ ． 当时,，, 则． ∴数列是以为首项, 公比为的等比数列． ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$