四川省广安友谊中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

第 1页，共 4页 广安友谊中学 2024 年秋高二期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知直线�的方程为 x − 1 = 0，下列结论正确的是( ) A. 直线�的倾斜角为� 4 B.直线�的斜率为 1 C. 直线�的方向向量为(0,1) D. 直线�的法向量为(1, − 1) 2.已知直线�1:mx + 2y − 2 = 0 与直线�2: 5x + (m + 3)y − 5 = 0，若�1//�2，则 m =( ) A. −5 B. 2 C. 2 或−5 D. 5 3.已知空间向量�� = (0,1,0)，�� = (1,0,1)，则�点到直线��的距离为( ) A. 1 B. 6 3 C. 2 D. 3 4.已知圆�: � − 1 2 + � − 2 2 = 8，则过点� 3,0 的圆的切线方程为( ) A. � + � − 3 = 0 B. � − � − 3 = 0 C. � − 2� − 3 = 0 D. � + 2� − 3 = 0 5.在空间直角坐标系中，若 A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，D(2,0, z)(z ∈ R)四点共面，则 z=( ) A.2 B. 1 C. 0 D. −1 6.抛掷两颗质地均匀的正方体骰子，记下骰子朝上的点数.设事件 A =“两个点数之和等于 8”， 事件 B =“至少有一颗骰子的点数为 3”，则事件 A ∪ B 的概率是( ) A. 7 18 B. 2 9 C. 1 18 D. 4 9 7.在长方体���� − �1�1�1�1中，�� = ��1 = 1，�� = 2，点�是棱�� 的中点，则点�到平面���1的距离为( ) A. 2 3 B. 1 2 C. 1 3 D. 1 6 8.已知直线�1: mx + y + 2 = 0 与直线�2: x − my − 2 = 0 交于点 M，点 M 关于直线 x − y = 0 对称的点为 N（a,b）,则 b+2 a 的取值范围是( ) A.[−7,1] B. ( − ∞, − 7] ∪ [1, + ∞) C. [−1,7] D. ( − ∞, − 1] ∪ [7, + ∞) 第 2页，共 4页 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得 6分，部分选对得部分分，有选错的得 0分。 9.下列说法正确的有( ) A.若方程�2 + �2 − 2� + 2� −� = 0 表示圆，则� >− 2 B. 过点(1,1)且与两坐标轴截距相等的直线方程一定为� + � − 2 = 0 C. 直线�1: 3x − 4y − 5 = 0 与直线�2: 6x − 8y + 5 = 0 的距离为 3 2 D. 圆�1：(� − 2)2 + �2 = 1 与圆�2：(� + 2)2 + (� − 3)2 = 36 相内切 10.已知事件 A，B 以及其对立事件A，B ，满足 P(A) = P(B) = 1 3 ，则( ) A.若 A，B 互斥，则 P(AB) = 1 9 B.若 A，B 互斥，则 P(A + B) = 2 3 C.若 A，B 独立，则 P(AB) = 2 9 D.若 A，B 独立，则 P(A + B) = 5 9 11.在正三棱柱��� − �1�1�1中，�� = ��1 = 2，点�满足�� = ��� + ���1 ，其中�, � ∈ [0,1]， 则( ) A.当� = 1 时，三棱锥� − �1�1�的体积为定值 3 3 B.当三棱锥� − �1��的体积为定值 2 3 3 时，� = 1 C.当� = 1 2 时，有且仅有两个点�，使得�1� ⊥ �� D.当�1� ⊥平面��1�时，� = 1, �= 1 2 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12.“石头、剪刀、布”是一种古老的游戏，操作简单，具有极为广泛的群众基础，游戏规则 为：石头克剪刀，剪刀克布，布克石头.两人参加游戏，若两人都随机出手，则出手 1 次就能 分出胜负的概率为 ． 13.如图所示，AC，BD 分别在平面α和平面β内，在α与β的交线� 上取线段 AB = 1，AC ⊥ �，BD ⊥ �，AC = 1，BD = 1，CD = 2，则二 面角α − � −β的大小为 ． 14.若点 A是圆 C：(x + 3)2 + (y + 4)2 = 25 上的动点，点 B 是直线 3x + 4y = 14 上的动点， 则对定点 P(6,1)而言，|PA + PB |的最小值为______． 第 3页，共 4页 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题 13 分)正四面体 PABC 的棱长为 1，若 E、F 分别在棱 PC、AB 上，且 |CE| |CP| = |AF| |AB| = 1 3．设PA = a，PB = b ，PC = c . (1)试用a、b 、c表示EF ,并求 EF 的长度. (2)求异面直线 PF 与 BE 所成的角的余弦值． 16.(本小题 15 分)已知△ ABC 的顶点 B( − 2,0)，AB 边上的高所在直线方程为 x + 3y − 26 = 0． (1)求直线 AB 的方程；(2)在下列两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答．  ①角 A 的平分线所在直线方程为 x + y − 2 = 0;  ②BC 边上的中线所在的直线方程为 y = 3． 若 ，求直线 AC 的方程． 17.(本小题 15 分)2024 年 9 月 8 日，“全国高中数学联合竞赛”如期举行。该竞赛分为一试 (满分 120 分)和二试(满分 180 分)，在这项竞赛中取得优异成绩的学生有资格参加由中国数学 会奥林匹克委员会主办的“中国数学奥林匹克(CMO)暨全国中学生数学冬令营”(每年 11 月)。 已知某市选派 50 人参加全国高中数学联赛，其取得的一试成绩绘制成如图所示的频率分布直 方图． (1)根据频率分布直方图估计学生成绩的平均数 a 和 方差S2的值(同一组数据用该组区间的中点值代替)； (2)若成绩在 100 分及以上的试卷需要主委会抽样进 行二次审阅.评审员根据上表在此地区 100 分及以上 的试卷中按照分层抽样的原则随机抽取 3 份进行二 次审阅，已知 A同学的成绩是 101 分，E 同学的成绩 是 115 分，求这两位同学中至少有一人试卷被抽到 的概率． 第 4页，共 4页 18.(本小题 17 分)如图，在三棱台 ABC − A1B1C1中，底面△ ABC 是边长为 2 的正三角形，侧 面 ACC1A1为等腰梯形，且A1C1 = AA1 = 1，�，�分别为�1�1，��的中点． (1)证明：AC ⊥ BD； (2)在线段 AB 上是否存在点 N，使得C1M//平面 NCB1 ?说明理由. (3)若二面角A1 − AC − B 的大小为 2π 3 ，求直线 AA1与平面 BB1C1C 所成角的余弦值． 19.(本小题 17 分)平面直角坐标系中，圆 M 经过点 A( − 3, 1)，B(0,4)，C(2,2)． (1)求圆 M 的标准方程； (2)设 D(0,1)，过点 D 作直线�1，交圆 M 于 P，Q 两点，且 P，Q 不在 y 轴上． ①过点 D 作与直线�1垂直的直线�2，交圆 M 于 E，F 两点，记四边形 EPFQ 的面积为 S，求 S 的最大值； ②设直线 OP，BQ 相交于点 N，试讨论点 N 是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不 是，说明理由． 第 1页，共 4页 广安友谊中学 2024 年秋高二期中考试 数学参考答案 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1--8 CABBD， ACD 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得 6分，部分选对得部分分，有选错的得 0分。 9.ACD； 10.BCD； 11.BC 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12. 2 3 ; 13. 2� 3 ; 14. 6. 【14 解析】如图所示：设�关于�点对称点为�′(�, �)，�(�0, �0)， 有题意可知 � + �0 = 12 � + �0 = 2 ，解得 �0 = 12 − � �0 = 2 − � ，由�在直线 3� + 4� = 14， 代入整理得 3� + 4� − 30 = 0， 所以�� + �� = �� − ��′ = �′� ， 点�是圆�：(� + 3)2 + (� + 4)2 = 25 上动点，则所以|�′� |最小值为圆�的圆心到直线 3� + 4� − 30 = 0 的距离减去半径，所以|�′� |��� = |−3×3−4×4−30| 32+42 -−5 = 6，所以，|�� + �� |的最小值 6 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.【答案】(1)�� = �� + �� = �� → + 1 3 (�� → − �� → ) = 1 3 �� → + 2 3 �� → = 2 3 � → + 1 3 � → ，......2 分 �� = �� + �� =− 23�� + �� = 2 3 � → + 1 3 � → − 2 3 �； ......3 分 由题意得 � = � = � = 1，� ·� = � ·� = � ·� = 12， ......5 分 �� 2 =（ 2 3 a → + 1 3 b → − 2 3 c） 2 = 4 9 � →2 + 1 9 � → 2 + 4 9 � →2+4 9 � ·� − 4 9 � ·� − 8 9 � ·� = 5 9 ； 故 EF 的长度为 5 3 . ......7 分 (2)�� = �� − �� = 23�� − �� = 2 3 � − � ； ......8 分 ∴ �� → ⋅ �� → =（ 2 3 a → + 1 3 b → ） ⋅（ 2 3 c − b ） =− 1 3 ， 第 2页，共 4页 �� = ( 2 3 � + 1 3 � )2 = 7 3 ，易知|�� | = |�� |，则 cos ⟨�� , �� ⟩ =− 3 7 ......12 分 ∴异面直线��与��所成的角的余弦值为3 7 ． ......13 分 16.【答案】(1)因为 ��边上的高所在的直线方程为 � + 3� − 26 = 0， 所以直线 ��的斜率为 � = 3 ， ......3 分 又因为△ ��� 的顶点 � −2,0 ，所以直线 ��的方程为： � = 3 � + 2 ，即 3� − � + 6 = 0 ......6 分 (2)若选①，角�的平分线所在直线方程为 � + � − 2 = 0 ， 由 � + � − 2 = 0 � = 3� + 6 ，解得 � =− 1 � = 3 ，所以点�坐标为 �( − 1,3)， ......9 分 设点�关于 � + � − 2 = 0的对称点为 �′ �0, �0 ， 则 �0−0 �0+2 = 1 �0−2 2 + �0 2 − 2 = 0 ，解得 �0 = 2 �0 = 4 ，即�′ 坐标为 (2,4)， ......12 分 又点 �′(4,2)在直线 ��上，所以 ��� = 4−3 2+1 = 1 3 ， 所以直线��的方程为 � − 4 = 13 (� − 2)，即� − 3� + 10 = 0， ......15 分 若选②：��边上的中线所在的直线方程为 � = 3， 由 � = 3 � = 3� + 6，解得 � =− 1 � = 3 ,所以点 �( − 1,3)， ......9 分 设点 � �1, �1 ，则 ��的中点在直线 � = 3上，所以 �1+0 2 = 3 ，即 �1 = 6， 又点 � �1, 6 在直线 � + 3� − 26 = 0上，所以 �(8,6)， ......12 分 所以��� = 6−3 8+1 = 1 3，所以直线 ��的方程为 � − 6 = 1 3 (� − 8)， 即直线 ��的方程为 � − 3� + 10 = 0． ......15 分 17.【答案】(1)因为 10(0.012 + 0.024 + 0.032 + � + 0.008 + 0.004) = 1，解得� = 0.02，......2 分 则平均数� = 65 × 0.12 + 75 × 0.24 + 85 × 0.32 + 95 × 0.2 + 105 × 0.08 + 115 × 0.04 = 85，........4 分 方差S2=400 × 0.12 + 100 × 0.24 + 0 × 0.32 + 100 × 0.2 + 400 × 0.08 + 900 × 0.04=160 故平均数� = 85，方差S2 = 160； ........6 分 (2)由图可知，成绩在[100,110)有 50 × 0.08 = 4 人，成绩在[110,120]有 50 × 0.04 = 2 人， .......8 分 若评审员根据上表在此地区 100 分以上的试卷中根据分层抽样的原则抽取 3 份进行审阅， 则成绩在[100,110)抽 2 份，成绩在[110,120]抽 1 份， ........10 分 设�，�，�，�四位同学的成绩在[100,110)，�，�两位同学的成绩在[110,120]， 共有���，���，���，���，���，���，���，���，���，���，���，���这 12 个样本....12 分 第 3页，共 4页 其中�同学和�同学都不被抽中共有 BCF，���，���这 3 种情况， 故这两位同学中至少一人试卷被抽到的概率 3 4． ......15 分 18.【答案】（1）证明：如图，连接��，��，在等腰梯形���1�1中， �，�为�1�1，��的中点，∴ �� ⊥ ��， 在正△ ���中，�为��的中点，∴ �� ⊥ ��， ......2 分 又∵ �� ∩ �� = �，∴ �� ⊥平面���，又�� ⊂平面���，∴ �� ⊥ ��． ........4 分 (2)当 N 为线段 AB 中点时，使得C1M//平面 NCB1. ......5 分 证明如下：∵ �、N 分别为��、AB 的中点．∴ MN//BC 且 MN = 1 2 BC 又三棱台 ABC − A1B1C1中，B1C1//BC，且B1C1// 1 2 BC， ......7 分 ∴ MN//B1C1且 MN = 1 2 B1C1，∴ C1�NB1为平行四边形∴ C1�//NB1. 又C1� 平面 NCB1，NB1 ⊂平面 ABB1A1，∴ C1M//平面 NCB1 ........9 分 (3)解：由（1）知∠���为二面角�1 − �� − �的平面角，即∠��� = 2π 3 . ........10 分 在平面���内作�� ⊥ ��，以�为坐标原点，以�� ，�� ，��，分别为�，�，�，轴正向，如图建立空间 直角坐标系，�(1,0,0)，�(0, 3, 0)，�( − 1,0,0)，�(0, − 34 , 3 4 )， �1( − 1 2 , − 3 4 , 3 4 )，�1( 1 2 , − 3 4 , 3 4 )，�� = (1, 3, 0)，��1 = ( 1 2 , − 3 4 , 3 4 )， 设平面��1�1�的法向量为� = (�, �, �)，则 � ⋅ CB = � + 3� = 0 � ⋅ CC1 = 1 2 � − 3 4 � + 3 4 z = 0 ， 取� = 1，得� = ( − 3, 1, 3)， ........14 分 又��1 = ( − 1 2 , − 3 4 , 3 4 )，设直线 AA1与平面 BB1C1C 所成角为�， ∴ ���� = |cos < ��1 , � > | = 3 7 ， ........16 分 ∴ ���� = 2 7 = 2 7 7 ． 故直线 AA1与平面 BB1C1C 所成角的余弦值为 2 7 7 . ........17 分 19.【答案】解：(Ⅰ)设圆�的方程为(� − �)2 + (� − �)2 = �2， 则 ( − 3 − �)2 + (1 − �)2 = �2 (0 − �)2 + (4 − �)2 = �2 (2 − �)2 + (2 − �)2 = �2 ， ........3 分 解得 � = 0 � = 2 �2 = 4 ，所以圆�的标准方程为�2 + (� − 2)2 = 4； ........5 分 (Ⅱ)设直线�1的方程为� = �� + 1，即�� − � + 1 = 0， 第 4页，共 4页 则圆心(0,2)到直线�1的距离�1 = |−2+1| �2+1 = 1 �2+1 ，所以|��| = 2 4 − 1�2+1 = 2 4�2+3 �2+1 ， (�)若� = 0，则直线�2斜率不存在， 则|��| = 2 3，|��| = 4，则� = 12 |��| ⋅ |��| = 4 3， 若� ≠ 0，则直线�2得方程为� =− 1 � � + 1，即� + �� − � = 0， 则圆心(0,2)到直线�2的距离�2 = � �2+1 ，所以|��| = 2 4 − � 2 �2+1 = 2 3�2+4 �2+1 ， ........9 分 则� = 12 |��| ⋅ |��| = 2 (4�2+3)(3�2+4) (�2+1)2 = 2 12(�2+1)2+�2 (�2+1)2 = 2 12 + �2 (�2+1)2 = 2 12 + 1 �2+ 1 �2 +2 ≤ 2 12 + 1 2 �2⋅ 1 �2 +2 = 7，当且仅当�2 = 1�2，即� =± 1 时，取等号， 综上所述，因为 7 = 49 > 4 3，所以�的最大值为 7； ........11 分 法二：设圆心(0,2)到直线�1的距离�1，到直线�2的距离�2， 则|��| = 2 4 − �1 2，|��| = 2 4 − �2 2， 又直线�1与直线�2垂直，所以�1 2+�2 2=1， ........9 分 � = 12 |��| ⋅ |��|=2 （4 − �1 2）（4 − �2 2） ≤ （4 − �1 2） +（4 − �2 2）=7 当且仅当�1=�2时取等，所以�的最大值为 7； ........11 分 (��)设�(�1, �1)，�(�2, �2)， 联立 �2 + (� − 2)2 = 4 � = �� + 1 ，消�得(� 2 + 1)�2 − 2�� − 3 = 0， 则�1 + �2 = 2� �2+1 , �1�2 = −3 �2+1， ........14 分 直线��的方程为� = �1�1 �，直线��的方程为� = �2−4�2 � + 4， 联立 � = �1�1 � � = �2−4�2 � + 4 ，解得� = 4�1�23�1+�2 ， 则� = �1�1 ⋅ 4�1�23�1+�2 = 4�1�23�1+�2 = 4(��1+1)�23�1+�2 = 4��1�2+4�23�1+�2 = −6�1−2�23�1+�2 =− 2， 所以�( 4�1�23�1+�2 , − 2)，所以点�在定直线� =− 2 上． ........17 分