精品解析：河南省驻马店市环际大联考“逐梦计划”2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

环际大联考 “逐梦计划”2024~2025学年度第一学期期中考试 高二数学试题 （试卷总分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线l的倾斜角满足，则l的斜率k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知双曲线的左焦点为F，点P在双曲线C的右支上，M为线段FP的中点，若M到坐标原点的距离为6，则（ ） A. 6或18 B. 18 C. 8或20 D. 22 3. 设方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 若椭圆的焦点与双曲线的焦点重合，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 若圆与圆交于A，B两点，则弦长为（ ） A. B. C. 2 D. 4 6. 如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且为OA上靠近A点的三等分点，点N为BC中点，则等于（ ） A B. C. D. 7. 已知动点满足，则动点P轨迹是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线 8. 已知椭圆具有知下性质：若圆的方程为，则椭圆上一点处的切线方程为.试运用该性质解决以下问题：若椭圆，点为椭圆在第一象限内的任意一点，过点作椭圆的切线，分别与轴和轴的正半轴交于，两点，则面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线两条渐近线的夹角为，则此双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 10. 设a为实数，直线，，则（ ） A 恒过点 B. 若，则或 C. 若，则或0 D. 当时，不经过第二象限 11. 过抛物线的焦点的直线与C相交于，两点，直线PQ的倾斜角为，若的最小值为4，则（ ） A. 坐标为 B. 若，则 C. 若，则的最小值为3 D. 面积的最小值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，则在上的投影向量为________________. 13. 点A，B是椭圆的左、右顶点，M是椭圆上不同于A，B的任意一点，若直线AM，BM的斜率之积为，则椭圆C的离心率为________________. 14. 已知圆，M是圆C上的任意一点，P为直线上任意一点，点，则的最小值为________________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 已知空间中三点，，.设，. （1）求和； （2）若与互相垂直，求实数k的值. 16. 已知圆E经过点，，且与y轴相切，直线l恒过. （1）求圆E的方程； （2）直线l与圆E相交于M，N两点，且时，求l的方程. 17. 已知双曲线的离心率为，焦点F到渐近线的距离为1. （1）求双曲线E的标准方程； （2）直线与双曲线E的左支交于不同两点，求实数k的取值范围. 18. 已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且. （1）求抛物线C的方程； （2）过点的直线与抛物线C交于A，B两点（均与点P不重合），设直线PA，PB的斜率分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 19. 动点M与定点距离和它到定直线的距离比是常数， （1）求动点M的轨迹C的方程； （2）若直线l过点，且与C交于A，B两点，当最大时，求直线l的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 环际大联考 “逐梦计划”2024~2025学年度第一学期期中考试 高二数学试题 （试卷总分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线l的倾斜角满足，则l的斜率k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系，为倾斜角，分别求出倾斜角在和时斜率的值，再根据正切函数在给定区间的单调性确定斜率的取值范围.、 【详解】当时， . 当时,. 因为在上单调递增，在上也单调递增. 当时，； 当时，. 所以的取值范围是. 故选：C. 2. 已知双曲线的左焦点为F，点P在双曲线C的右支上，M为线段FP的中点，若M到坐标原点的距离为6，则（ ） A. 6或18 B. 18 C. 8或20 D. 22 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位线性质可得，利用双曲线的定义可得. 【详解】设双曲线的右焦点为，连接. 由题意得， ∵M为线段FP的中点，为线段的中点， ∴， 由双曲线定义得，，故. 故选：B. 3. 设方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对于椭圆方程（），当时，椭圆的焦点在轴上。在方程中，，，我们需要根据焦点在轴上这一条件列出关于的不等式组求解。 【详解】因为方程表示椭圆，所以，解得. 同时，解得. 由于焦点在轴上，所以，即. 移项可得，即.解得. 综合前面的条件，和. 所以的取值范围是. 故选：A. 4. 若椭圆的焦点与双曲线的焦点重合，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出椭圆的半焦距，利用双曲线与该椭圆半焦距相等，以及之间的关系，即可求出结果. 【详解】由题知，椭圆的半焦距为， 所以，解得. 故选：D 5. 若圆与圆交于A，B两点，则弦长为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出圆心坐标和半径.然后通过两圆方程相减得到公共弦所在直线方程，再根据圆心到直线的距离公式求出圆心到公共弦的距离，最后利用勾股定理求出弦长. 【详解】圆，圆心，半径. 圆，圆的圆心，半径. 两圆方程相减可得：，化简得，即，此为公共弦所在直线方程. 求圆心到直线的距离. 根据勾股定理，弦长的一半，已知，，则，所以. 故选：B. 6. 如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且为OA上靠近A点的三等分点，点N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合空间向量基本定理，利用空间向量的线性运算求解即可. 【详解】因为点M在OA上，且为OA上靠近A点的三等分点， 所以，所以， 因点N为BC中点，所以， 所以. 故选：A 7. 已知动点满足，则动点P轨迹是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线 【答案】C 【解析】 【分析】我们先将已知等式进行变形，使其符合上述公式的形式，然后判断动点的轨迹. 【详解】已知， 将等式右边的变形为，即. 此时原等式变为， 两边同时除以得到. 表示点到点的距离， 表示点到直线的距离. 所以点到点的距离等于点到直线的距离. 点不在直线上， 根据圆锥曲线的定义，到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线， 故动点的轨迹是抛物线. 故选：C. 8. 已知椭圆具有知下性质：若圆的方程为，则椭圆上一点处的切线方程为.试运用该性质解决以下问题：若椭圆，点为椭圆在第一象限内的任意一点，过点作椭圆的切线，分别与轴和轴的正半轴交于，两点，则面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据题意可得直线的方程，进而可得面积的最小值. 【详解】设， 由题意可知切线，即， 可知， 则面积， 当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最小值为. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线两条渐近线的夹角为，则此双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出双曲线的渐近线方程，可得，再根据即可求解. 【详解】∵双曲线的渐近线方程为， ∴由双曲线两条渐近线的夹角为，可得. ∴双曲线的离心率为. 故选：C. 10. 设a为实数，直线，，则（ ） A. 恒过点 B. 若，则或 C. 若，则或0 D. 当时，不经过第二象限 【答案】BD 【解析】 【分析】对于直线方程，如果要找过定点的情况，可以对含参数的式子进行整理.两直线平行则，两直线垂直则.通过这些定理来判断每个选项的正确性. 【详解】将，代入的方程左边得. 当时才等于，并不是对任意实数都成立，所以不恒过点. 故A错误. 对于直线和. 因为，根据两直线平行的判定条件， 则， 整理得，解得或. 当时，，，两直线平行； 当时，，，化简为，两直线平行，所以或. 故B正确. 因为，根据两直线垂直的判定条件，则， 整理得. 利用求根公式，所以C错误. 直线， 当时，，即. ，直线不经过第二象限. 当时，，，直线方程变形为， 则，，所以直线不经过第二象限，故D正确 故选：BD 11. 过抛物线焦点的直线与C相交于，两点，直线PQ的倾斜角为，若的最小值为4，则（ ） A. 的坐标为 B. 若，则 C. 若，则的最小值为3 D. 面积的最小值为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】设直线，联立直线方程和抛物线方程后消元结合最小弦长可求的值，再逐项判断后可得正确的选项. 【详解】由题设有，直线的斜率不为零，故设直线， 则由可得，， 所以，所以 而， 当且仅当时等号成立，故，故， 故，故A正确； 若，则，故，故的斜率为， 其倾斜角为或，故B错误； 若，则过作准线的垂线，垂足为，连接， 则，当且仅当三点共线时等号成立， 故的最小值为3，故C正确； ， 当且仅当时等号成立，故面积的最小值为2，故D成立. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，则在上的投影向量为________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式求解即可. 【详解】设向量、的夹角为， 因为在上的投影向量为：， 又因为，， 所以，， 所以， 所以在上的投影向量为：. 故答案为： 13. 点A，B是椭圆的左、右顶点，M是椭圆上不同于A，B的任意一点，若直线AM，BM的斜率之积为，则椭圆C的离心率为________________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，设，表示直线AM，BM的斜率，利用斜率之积为和点在椭圆上可得结果. 【详解】由题意得，. 设，则，， ∴， 由得，， ∴，即， ∴离心率. 故答案为：. 14. 已知圆，M是圆C上的任意一点，P为直线上任意一点，点，则的最小值为________________. 【答案】 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准方程，找到圆心坐标和半径，然后通过利用圆的性质，将的最小值转化为的最小值，然后利用对称转化为到点关于直线的对称点的距离，再根据距离不等式求出结果. 【详解】圆方程可化为， 所以圆心，半径. 圆心在直线上方，且圆心到直线的距离， 所以圆在直线上方， 所以根据圆的性质，， 所以，当共线且依次顺序排列时取等号. 因为都满足不等式， 所以都在直线的上方. 设关于直线的对称点为， 根据对称点的性质，，且， 解方程组， 由得，代入得：， 则，所以， 则，当共线并依次顺序排列时取等号， ， 所以的最小值为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知空间中三点，，.设，. （1）求和； （2）若与互相垂直，求实数k的值. 【答案】（1），2 （2）. 【解析】 【分析】（1）利用空间向量的坐标运算和模的运算，即可求出结果； （2）利用向量的垂直关系等价于数量积为0，再结合空间向量的坐标运算，即可求出结果. 【小问1详解】 ∵，，，，， ∴，， 于是，， ， . 【小问2详解】 ∵， ， 且与互相垂直， ∴， 即， ∴，解得：. 16. 已知圆E经过点，，且与y轴相切，直线l恒过. （1）求圆E的方程； （2）直线l与圆E相交于M，N两点，且时，求l的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆E的方程为，由求解； （2）当直线l的斜率不存在时，直线方程为，此时满足，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，利用弦长公式求解. 小问1详解】 设圆E的方程为， 由题意知， 解得，，， 故圆E的方程为 ； 【小问2详解】 当直线l的斜率不存在时，直线方程为，此时满足， 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即， 设圆心到直线l的距离为d，则， 则，解得， 则直线l的方程为； 综上：直线l的方程为或. 17. 已知双曲线的离心率为，焦点F到渐近线的距离为1. （1）求双曲线E的标准方程； （2）直线与双曲线E的左支交于不同两点，求实数k的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）双曲线离心率（为双曲线的半焦距），焦点到渐近线（即）的距离，且.再根据已知条件求出，的值，从而得到双曲线的标准方程. （2）将直线方程代入双曲线方程，得到一个一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，结合直线与双曲线左支交于不同两点的条件来确定的取值范围. 【小问1详解】 因为双曲线的离心率，可得，即. 又因为焦点到渐近线的距离为， 根据点到直线距离公式，而，所以，则. 由且，，可得，解得. 所以双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 将直线代入双曲线方程，得到，展开可得，整理得. 因为直线与双曲线左支交于不同两点，所以. 由，解得. 对于，即，解得. 由，（结合），所以，解得. 由，解得，即或. 综合以上条件，取交集得. 则实数k的取值范围为. 18. 已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且. （1）求抛物线C的方程； （2）过点的直线与抛物线C交于A，B两点（均与点P不重合），设直线PA，PB的斜率分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）是，. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义即可求出，即可得出方程； （2）设出直线的方程，与抛物线联立，利用韦达定理即可求出定值. 【小问1详解】 由抛物线定义可知， 所以，则， 所以抛物线C的方程为； 【小问2详解】 由在抛物线上，得，即， 显然，过点的直线斜率不为0， 故设直线方程为，，， 由，得， ，解得或， 则，， 故， ， 又，， 所以 ， 故为定值. 19. 动点M与定点的距离和它到定直线的距离比是常数， （1）求动点M的轨迹C的方程； （2）若直线l过点，且与C交于A，B两点，当最大时，求直线l的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据题意列式整理即可得轨迹方程； （2）分类讨论直线的斜率是否存在，联立方程利用韦达定理整理可得.解法一：换元令，结合二次函数求最值；解法二：利用基本不等式求最值. 【小问1详解】 设，得， 整理得M的轨迹C的方程为. 【小问2详解】 当直线l的斜率不存在时，方程为，此时； 当直线l的斜率存在时，设方程为，，， 联立方程，消y得， 恒成立，故， 则，， 所以， 法一：令，，则， 可得， 当，即，时，取得最大值3； 综上所述，当最大时，所求直线l的方程为； 法二： ， 当且仅当，即时，等号成立， 综上所述，当最大时，所求直线l的方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$