上海市格致初级中学 2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年上海市黄浦区格致初级中学八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1．（3分）下列二次根式中，不能与合并的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B．x（x+1）＝x2﹣1 C． D． 3．（3分）下列代数式中，二次根式的有理化因式可以是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）下列各点中，在正比例函数的图象上的是（　　） A． B．（﹣3，﹣1） C．（0，﹣1） D．（6，3） 5．（3分）对所有实数a，b，下列等式从左到右一定成立的是（　　） A． B． C．＝﹣|a| D． 6．（3分）如图是某函数的图象，当a≤x≤b时，若在该函数图象上可以找到n个不同的点（x1，y1），（x2，y2），...，（xn，yn），使得恒成立，则n的值不可能是（　　） A．2 B．5 C．6 D．7 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7．（2分）化简：＝　 　． 8．（2分）计算：×． 9．（2分）函数的定义域是 　 　． 10．（2分）方程x2＝3x的根是　 　． 11．（2分）在实数范围内因式分解：x2﹣4x﹣1＝ 　 　． 12．（2分）已知正比例函数y＝（2﹣5m）x，y的值随x的增大而增大，那么m的取值范围是　 　． 13．（2分）已知函数f（x）＝2x+1，如果f（a）＝3，那么a＝　 　． 14．（2分）已知关于y的一元二次方程y2+2y﹣k＝1有实数根，则k的取值范围是 　 　． 15．（2分）某文具店为迎接“购物节”，提高水笔销量，经过两次降价后（每次降价的百分率相同），由每盒25元降至每盒16元．则降价的百分率为 　 　． 16．（2分）若正比例函数y＝2x（x＜0）图象上一点到y轴的距离是，则这点的坐标为　 　． 17．（2分）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如x2+x＝0是“差1方程”．已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“差1方程”，则m的值为 　 　． 18．（2分）已知p、q是实数，有且只有三个不同的x满足方程|x2+px+q|＝3，则q的最小值是 　 　． 三、简答题（本大题共4题，每题5分，满分20分） 19．（5分）计算：． 20．（5分）计算：． 21．（5分）解方程：（2x+1）2＝2x2+x． 22．（5分）用配方法解方程：3x2﹣6x+2＝0． 四、解答题（本大题共6题，第23、24题每题5分，第25、26、27题每题6分，第28题10分，满分38分） 23．（5分）已知，求代数式的值． 24．（5分）已知方程x2﹣6x+m2﹣2m+5＝0的一个根为2，求另一个根和m的值． 25．（6分）已知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过一、三象限，且经过P（k+2，4k+3）． （1）求k的值． （2）当时，求x的值． 26．（6分）已知关于x的方程（m2﹣m）x2﹣4mx+4＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若m为整数，且m＜3，a是方程的一个根，求代数式的值． 27．（6分）同学们开展的综合实践活动中取得了系列丰硕的成果，需要推广宣传．原计划使用一块正方形ABCD场地布展，后经过研究，发现长与宽之比为3：2的长方形AGFE场地展览效果更好，因此需要把长增加6米，宽增加2米（如图1）． （1）直接写出长方形区域AEFG的宽AG是 　 　m，长AE是 　 　m． （2）现计划将长方形区域AEFG按图2的方式进行划分，展示四个小组的项目成果，在各展区之间留宽度相等的过道．如果各展区的总面积为60m2，求过道的宽度. 28．（10分）如图，点P（1，a）在直线y＝3x上，直线y＝kx（0＜k＜1）上有一点Q（b，1）． （1）求点P和点Q的坐标（其中点Q坐标用含k的代数式表示）； （2）过点P作PA⊥x轴，过点Q作QB⊥x轴，垂足分别是A、B．如果△APQ的面积是△OPQ面积的，请求出k的值； （3）在（2）的条件下，线段PA与直线y＝kx相交于点G，直线y＝3x上是否存在点D，使？如果存在，请直接写出D的坐标；如果不存在，请说明理由． 2024-2025学年上海市黄浦区格致初级中学八年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1．（3分）下列二次根式中，不能与合并的是（　　） A． B． C． D． 【考点】同类二次根式．版权所有 【答案】C 【分析】根据二次根式的乘除法，可化简二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得答案． 【解答】解：A、，故A能与合并； B、，故B能与合并； C、，故C不能与合并； D、，故D能与合并； 故选：C． 2．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B．x（x+1）＝x2﹣1 C． D． 【考点】一元二次方程的定义．版权所有 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：A、选项中的式子中含有分式，该方程不是一元二次方程，不符合题意； B、选项中的式子化简可得x+1＝0，未知数的次数是1，不是一元二次方程，不符合题意； C、选项中的式子不是整式方程，所以该方程不是一元二次方程，不符合题意； D、选项中的式子是一元二次方程，符合题意． 故选：D． 3．（3分）下列代数式中，二次根式的有理化因式可以是（　　） A． B． C． D． 【考点】分母有理化．版权所有 【答案】C 【分析】二次根式的有理化因式就是与原式相乘可以将原式中的根号化去的式子，即可得出答案． 【解答】解：∵×＝a﹣b， ∴二次根式的有理化因式是：． 故选：C． 4．（3分）下列各点中，在正比例函数的图象上的是（　　） A． B．（﹣3，﹣1） C．（0，﹣1） D．（6，3） 【考点】正比例函数的图象．版权所有 【答案】B 【分析】将点横坐标代入，求函数值，然后判断作答即可． 【解答】解：当时，y＝，不在正比例函数的图象上，故A不符合要求； 当x＝﹣3时，y＝﹣1，（﹣3，﹣1）在正比例函数的图象上，故B符合要求； 当x＝0时，y＝0，（0，﹣1）不在正比例函数的图象上，故C不符合要求； 当x＝6时，y＝2，（6，3）不在正比例函数的图象上，故D不符合要求； 故选：B． 5．（3分）对所有实数a，b，下列等式从左到右一定成立的是（　　） A． B． C．＝﹣|a| D． 【考点】分母有理化；二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法．版权所有 【答案】D 【分析】A．根据算术平方根的非负性质判断即可； B．根据二次根式有意义的条件判断即可； C．根据偶次方的非负性质判断即可； D．根据二次根式乘法运算法则计算即可． 【解答】解：当a≥b时，＝a﹣b， 当a＜b时，＝b﹣a， ∴A不一定成立，不符合题意； 当a＞0且b＞0时，＝， 当a＜0且b＜0时，和均无意义， ∴B不一定成立，不符合题意； （﹣）2＝|a|， ∴C不成立，不符合题意； •＝＝， ∴D一定成立，符合题意． 故选：D． 6．（3分）如图是某函数的图象，当a≤x≤b时，若在该函数图象上可以找到n个不同的点（x1，y1），（x2，y2），...，（xn，yn），使得恒成立，则n的值不可能是（　　） A．2 B．5 C．6 D．7 【考点】函数的图象；规律型：点的坐标．版权所有 【答案】D 【分析】设，则在该函数图象上n个不同的点，（x1，y1），（x2，y2），...，（xn，yn），也都在正比例的图象上，画出函数图象，观察正比例函数y＝kx与其交点情况即可求解． 【解答】解：设，则在该函数图象上n个不同的点，（x1，y1），（x2，y2），...，（xn，yn），也都在y＝kx的图象上，画出函数图象观察交点即可求解． 如图1 正比例函数与该函数图象有2个交点，故A不符合； 如图2 正比例函数与该函数图象有5个交点，故B不符合； 如图3 正比例函数与该函数图象有6个交点，故C不符合； 故选：D． 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7．（2分）化简：＝　4　． 【考点】二次根式的性质与化简．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】根据二次根式的乘法，可化简二次根式． 【解答】解：， 故答案为：4． 8．（2分）计算：×． 【考点】二次根式的乘除法．版权所有 【答案】2． 【分析】根据二次根式的乘法法则计算，然后化简即可． 【解答】解：原式＝ ＝ ＝2． 9．（2分）函数的定义域是 　x＞1　． 【考点】函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】本题考查了函数式有意义的x的取值范围．一般地从两个角度考虑：分式的分母不为0；偶次根式被开方数大于或等于0；当一个式子中同时出现这两点时，应该是取让两个条件都满足的公共部分． 【解答】解：根据题意得到：x﹣1＞0， 解得x＞1． 故答案为：x＞1． 10．（2分）方程x2＝3x的根是　0或3　． 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】本题应对方程进行变形，提取公因式x，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题． 【解答】解：x2＝3x x2﹣3x＝0 即x（x﹣3）＝0 ∴x＝0或3 故本题的答案是0或3． 11．（2分）在实数范围内因式分解：x2﹣4x﹣1＝ 　　． 【考点】实数范围内分解因式．版权所有 【答案】． 【分析】先拆项，将﹣1拆成4﹣5，再根据完全平方公式变形，最后根据平方差公式分解即可． 【解答】解：原式＝x2﹣4x+4﹣5 ＝（x﹣2）2﹣5 ＝（x﹣2）2﹣（）2 ＝． 故答案为：． 12．（2分）已知正比例函数y＝（2﹣5m）x，y的值随x的增大而增大，那么m的取值范围是　m＜　． 【考点】一次函数图象与系数的关系．版权所有 【答案】m＜． 【分析】根据正比例函数的增减性解答即可． 【解答】解：∵正比例函数y＝（2﹣5m）x，y的值随x的增大而增大， ∴2﹣5m＞0， 解得：m＜． 故答案为：m＜． 13．（2分）已知函数f（x）＝2x+1，如果f（a）＝3，那么a＝　1　． 【考点】一次函数的性质．版权所有 【答案】1． 【分析】把x＝a代入f（x）＝2x+1求解即可． 【解答】解：把x＝a代入函数得：f（a）＝2a+1＝3， 解得：a＝1． 故答案为：1． 14．（2分）已知关于y的一元二次方程y2+2y﹣k＝1有实数根，则k的取值范围是 　k≥﹣2　． 【考点】根的判别式．版权所有 【答案】k≥﹣2． 【分析】先把方程化为一般式，再利用根的判别式的意义得到Δ＝22﹣4[﹣（k+1）]≥0，然后解不等式即可． 【解答】解：原方程化为一般式为y2+2y﹣（k+1）＝0 根据题意得Δ＝22﹣4[﹣（k+1）]≥0， 解得k≥﹣2． 故答案为：k≥﹣2． 15．（2分）某文具店为迎接“购物节”，提高水笔销量，经过两次降价后（每次降价的百分率相同），由每盒25元降至每盒16元．则降价的百分率为 　20%　． 【考点】一元二次方程的应用．版权所有 【答案】20%． 【分析】设降价的百分率为x，根据经过两次降价后（每次降价的百分率相同），由每盒25元降至每盒16元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：设降价的百分率为x， 由题意得：25（1﹣x）2＝16， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不符合题意，舍去）， 即降价的百分率为20%， 故答案为：20%． 16．（2分）若正比例函数y＝2x（x＜0）图象上一点到y轴的距离是，则这点的坐标为　（2，4）或（﹣2，﹣4）　． 【考点】一次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【答案】（2，4）或（﹣2，﹣4）． 【分析】根据题意可知该点的横坐标为2或﹣2，代入解析式分别求出对应的纵坐标即可． 【解答】解：∵图象上一点到y轴的距离是， ∴该点的横坐标为2或﹣2， 当x＝2时，y＝4， 当x＝﹣2时，y＝﹣4， ∴该点坐标为（2，4）或（﹣2，﹣4）． 17．（2分）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如x2+x＝0是“差1方程”．已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“差1方程”，则m的值为 　﹣2或0　． 【考点】根与系数的关系．版权所有 【答案】﹣2或0． 【分析】设方程的两个根为x1，x2（x1＜x2），由题意，得：x1+x2＝m﹣1，x1x2＝﹣m，x2﹣x1＝1，利用完全平方公式的变形式进行计算即可． 【解答】解：设方程的两个根为x1，x2（x1＜x2），由题意，得：x1+x2＝m﹣1，x1x2＝﹣m，x2﹣x1＝1， ∴， 解得：m＝﹣2或m＝0， 故答案为：﹣2或0． 18．（2分）已知p、q是实数，有且只有三个不同的x满足方程|x2+px+q|＝3，则q的最小值是 　﹣3　． 【考点】方程的解；绝对值．版权所有 【答案】﹣3． 【分析】由方程|x2+px+q|＝3得到x2+px+q﹣3＝0，x2+px+q+3＝0，根据判别式得到Δ1＝p2﹣4q+12，Δ2＝p2﹣4q﹣12，依此可Δ2＝0，Δ1＝24，可得p2﹣4q﹣12＝0，依此可求q的最小值． 【解答】解：∵|x2+px+q|＝3， ∴x2+px+q﹣3＝0①， x2+px+q+3＝0②， ∴Δ1＝p2﹣4q+12， Δ2＝p2﹣4q﹣12， ∴Δ1＞Δ2， ∵有且只有三个不同的x值满足方程|x2+px+q|＝3， ∴Δ2＝0，Δ1＝24， ∴p2﹣4q﹣12＝0， ∴q＝p2﹣3， 当p＝0时，q的最小值﹣3． 故答案为：﹣3． 三、简答题（本大题共4题，每题5分，满分20分） 19．（5分）计算：． 【考点】二次根式的加减法．版权所有 【答案】． 【分析】根据二次根式性质进行化简，然后再根据二次根式加减运算法则进行计算即可． 【解答】解：原式＝ ＝ ＝． 20．（5分）计算：． 【考点】二次根式的乘除法；二次根式的性质与化简．版权所有 【答案】． 【分析】先根据二次根式性质化简，再结合二次根式乘除运算法则求解即可得到答案． 【解答】解：解法一： 原式＝ ＝ ＝； 解法二： 原式＝ ＝ ＝． 21．（5分）解方程：（2x+1）2＝2x2+x． 【考点】解一元二次方程﹣公式法．版权所有 【答案】x1＝﹣，x2＝﹣1． 【分析】整理成一般式，再利用公式法求解即可． 【解答】解：整理得2x2+3x+1＝0， ∵a＝2，b＝3，c＝1， ∴Δ＝9﹣4×2×1＝1＞0， 则x＝，即x1＝﹣，x2＝﹣1． 22．（5分）用配方法解方程：3x2﹣6x+2＝0． 【考点】解一元二次方程﹣配方法．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】根据配方法，可得答案． 【解答】解：移项，得 3x2﹣6x＝﹣2， 二次项系数化为1，得 x2﹣2x＝﹣， 配方，得 （x﹣1）2＝， 开方，得 x1＝，x2＝． 四、解答题（本大题共6题，第23、24题每题5分，第25、26、27题每题6分，第28题10分，满分38分） 23．（5分）已知，求代数式的值． 【考点】二次根式的化简求值；分母有理化．版权所有 【答案】． 【分析】先分母有理化得到x+2＝，再根据二次根式的性质化简得到原式＝，约分得原式＝，然后把x的值代入计算即可． 【解答】解：∵x＝＝﹣2， ∴x+2＝， ∴原式＝＝＝＝＝＝． 24．（5分）已知方程x2﹣6x+m2﹣2m+5＝0的一个根为2，求另一个根和m的值． 【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】设另一根为t，根据根与系数的关系得到2+t＝6，2t＝m2﹣2m+5，先求出t，然后解关于m的一元二次方程． 【解答】解：设另一根为t， 根据题意得2+t＝6，2t＝m2﹣2m+5， 所以t＝4，m2﹣2m+5＝8，即m2﹣2m﹣3＝0， 解得m1＝3，m2＝﹣1， 所以另一个根为4，m的值为3或﹣1． 25．（6分）已知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过一、三象限，且经过P（k+2，4k+3）． （1）求k的值． （2）当时，求x的值． 【考点】一次函数图象上点的坐标特征；正比例函数的性质．版权所有 【答案】（1）k＝3；（2）x＝． 【分析】（1）将P（k+2，4k+3）坐标代入解析式，解一元二次方程即可得到k值； （2）由（1）可得正比例函数解析式，将y＝代入解析式求出x值即可． 【解答】解：（1）∵正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过一、三象限，且经过P（k+2，4k+3）， ∴4k+3＝k（k+2）（k＞0）， 整理得：k2﹣2k﹣3＝0， 解得：k＝3或k＝﹣1（舍去）． ∴k＝3． （2）由（1）可知，正比例函数解析式为y＝3x， 当y＝时，＝3x， 解得：x＝． 26．（6分）已知关于x的方程（m2﹣m）x2﹣4mx+4＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若m为整数，且m＜3，a是方程的一个根，求代数式的值． 【考点】根与系数的关系；根的判别式．版权所有 【答案】（1）m＞0 且 m≠1； （2）． 【分析】（1）根据一元二次方程的定义，根的判别式来求解； （2）根据题意先求出m，进而得到a2﹣4a＝﹣2，再代入代数式中进行计算求解． 【解答】（1）解：∵关于x的方程（m2﹣m）x2﹣4mx+4＝0有两个不相等的实数根， ∴m2﹣m≠0， 解得m1≠0，m2≠1， Δ＝（﹣4m）2﹣4（m2﹣m）×4＝16m＞0． ∴m＞0， ∴m＞0且m≠1． （2）解：由题意得：0＜m＜3， ∵m为m≠1的整数， ∴m＝2． 将x＝a，m＝2代入（m2﹣m）x2﹣4mx+4＝0， 得：a2﹣4a＝﹣2， ∴ ＝ ＝ ＝， 将a2﹣4a＝﹣2代入中，得原式＝×（﹣2）+＝﹣1+＝． 27．（6分）同学们开展的综合实践活动中取得了系列丰硕的成果，需要推广宣传．原计划使用一块正方形ABCD场地布展，后经过研究，发现长与宽之比为3：2的长方形AGFE场地展览效果更好，因此需要把长增加6米，宽增加2米（如图1）． （1）直接写出长方形区域AEFG的宽AG是 　8　m，长AE是 　12　m． （2）现计划将长方形区域AEFG按图2的方式进行划分，展示四个小组的项目成果，在各展区之间留宽度相等的过道．如果各展区的总面积为60m2，求过道的宽度. 【考点】一元二次方程的应用；一元一次方程的应用．版权所有 【答案】（1）8，12； （2）过道的宽度为2m． 【分析】（1）设正方形ABCD的边长为x m，则AB＝AD＝x m，AG＝（x+2）m，AE＝（x+6）m，根据长与宽之比为3：2的长方形AGFE场地展览效果更好，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设过道的宽度为y m，则各展区可合成长为（12﹣y）m，宽为（8﹣y）m的矩形，根据各展区的总面积为60m2，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：（1）设正方形ABCD的边长为x m，则AB＝AD＝x m，AG＝（x+2）m，AE＝（x+6）m， 由题意得：（x+6）：（x+2）＝3：2， 解得：x＝6， ∴x+2＝8，x+6＝12， 即AG＝8m，AE＝12m， 故答案为：8，12； （2）设过道的宽度为y m，则各展区可合成长为（12﹣y）m，宽为（8﹣y）m的矩形， 由题意得：（12﹣y）（8﹣y）＝60， 整理得：y2﹣20y+36＝0， 解得：y1＝2，y1＝18（不合题意，舍去）， 答：过道的宽度为2m． 28．（10分）如图，点P（1，a）在直线y＝3x上，直线y＝kx（0＜k＜1）上有一点Q（b，1）． （1）求点P和点Q的坐标（其中点Q坐标用含k的代数式表示）； （2）过点P作PA⊥x轴，过点Q作QB⊥x轴，垂足分别是A、B．如果△APQ的面积是△OPQ面积的，请求出k的值； （3）在（2）的条件下，线段PA与直线y＝kx相交于点G，直线y＝3x上是否存在点D，使？如果存在，请直接写出D的坐标；如果不存在，请说明理由． 【考点】一次函数综合题．版权所有 【答案】（1）P（1，3），； （2）； （3）存在，，． 【分析】（1）由点P（1，a）在直线y＝3x上，可得a＝3，即P（1，3）；由直线y＝kx（0＜k＜1）上有一点Q（b，1），可得bk＝1，可求，进而可得； （2）由题意知，A（1，0），，则，，由△APQ的面积是△OPQ面积的，可得，计算求出满足要求的解即可； （3）由题意知，设D（m，3m），当D在第一象限时，如图，由，可得，可求D；当D在第三象限时，如图，D′，由题意知，OD＝OD′，则． 【解答】解：（1）∵点P（1，a）在直线y＝3x上， ∴a＝3，即P（1，3）； ∵点Q（b，1）在直线y＝kx（0＜k＜1）上， ∴bk＝1， 解得， ∴； （2）∵PA⊥x轴，QB⊥x轴，点P（1，3），； ∴A（1，0），， ∴， ∴， ∵△APQ的面积是△OPQ面积的， ∴， 解得， 经检验，是原分式方程的解且符合要求； （3）如图，设D（m，3m）， 当D在第一象限时， ∵， ∴， ∴D； 当D在第三象限时， 由题意知，OD＝OD′， ∴， 综上所述，存在，D的坐标，． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/24 0:43:37；用户：18328501451；邮箱：18328501451；学号：43314264 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$