精品解析：山西省太原市2024-2025学年高一上学期11月期中学业诊断数学试题

2024~2025学年第一学期高一年级期中学业诊断 数学试卷 （考试时间：上午7:30－9:00） 说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间90分钟，满分100分. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据并集的定义可求得集合. 【详解】因为集合，，则. 故选：B. 2. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对A举反例即可判断；对BD举反例，即可；对C，利用不等式性质即可判断. 【详解】A.当时，由，得，故A错误； B.，时，不成立，故B错误； C.，则，故C正确. D.举例，时，则，故D错误； 故选：C 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数解析式有意义可得出关于实数的不等式组，由此可解得原函数的定义域. 【详解】对于函数，有，解得， 故函数的定义域为. 故选：D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据必要性和充分性判断. 【详解】因为，所以或或， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 5. 函数（，且的图象必经过的定点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据确定指数型函数图象恒过的定点. 【详解】令，得，代入解析式，得到图象必经过的定点是. 故选：A. 6. 已知不等式对于一切实数都成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】讨论二次项系数为0和小于0，再结合判别式小于0，就可以求解的取值范围. 【详解】由不等式对于一切实数都成立， 则当时，不等式恒成立， 当时，则需满足，解得：， 综上可得：实数的取值范围是， 故选：B. 7 已知函数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算得出，结合可得解. 【详解】因为，则，， 则. 故选：D. 8. 已知，且满足，若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先将已知等式变形，然后利用基本不等式求出的最小值，再根据不等式恒成立求出的取值范围. 【详解】由，因为，等式两边同时除以可得. ， 根据基本不等式则，所以， 即最小值是. 因为恒成立，所以，即， 解得. 故选：A. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知幂函数的图象经过点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是增函数 C. 是偶函数 D. 不等式的解集为 【答案】BD 【解析】 【分析】首先根据幂函数的定义设出幂函数的表达式，再将已知点代入求出幂函数的具体形式.然后根据幂函数的性质依次分析每个选项. 【详解】设幂函数，因为图象经过点，所以将点代入中，可得，那么，即. 分析选项A,，定义域为，所以不在定义域内，无意义，A选项错误. 分析选项B,幂函数，因为，根据幂函数性质，当时，幂函数在定义域上单调递增，B选项正确. 分析选项C,，无意义，不满足，不是偶函数，C选项错误. 分析选项D,由，即，解不等式， ， 又因为定义域为，所以不等式的解集为，D选项正确. 故选：BD. 10. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是函数的最大值 C. 当时， D. 不等式解集是 【答案】AD 【解析】 【分析】根据奇函数性质判断A；举例判断B；根据时函数的解析式，结合函数的奇偶性判断C；写出函数的完整解析式为一个分段函数，分两种情况解不等式就可求解. 【详解】因为函数的定义域为，所以时，函数有意义，所以，A正确； 因为函数为奇函数，所以，所以， 而，所以不是函数的最大值，B错误； 设，则，所以， 又为奇函数，，所以， 所以时，，C错误； 根据以上结果，有，所以， 有，解得，或，解得， 所以不等式的解集是，D正确. 故选：AD 11. 已知函数对于一切实数，都有，当时，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 是增函数 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】令，，结合可求得，可判断A；令，可判断B；令，由可判断C. 令，由可判断D； 【详解】对于A，令，，则； 由时，得：，，A正确； 对于B，令，得，B错误， 对于D，令，则； 当时，，，， 对于任意，，D正确； 对于C，设， ； ，，即，又， ，在上单调递减，C错误. 故选：AD 三、填空题（本题共3小题，每小题3分，共9分） 12. 命题“，”的否定是___________. 【答案】， 【解析】 【分析】利用特称命题的否定可出结论. 【详解】由特称命题的否定可知，命题“，”的否定是“，”. 故答案为：，. 13. 已知函数在上是增函数，则实数的取值范围________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数单调性得到不等式组，解出即可. 【详解】由题意得，解得， 则实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 对实数和，定义运算“◎”：，设函数，.若函数的图象与轴恰有个公共点，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】利用函数新定义可得，作出函数图象即可得出结论. 【详解】根据运算“◎”的定义可得， 即可得， 画出函数图象如下图所示： 若函数的图象与轴恰有个公共点， 即函数与函数的图象有两个交点， 由图可知，当处在图中长虚线位置以及轴处时满足题意， 此时或或. 因此实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共49分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 计算下列各式的值 （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】利用指数幂的运算法则计算即可. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 . 16. 已知全集，，，. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）先求得集合A，B再由集合的补集运算和交集运算可求得答案；（2） 根据集合之间的关系建立不等式（组），可求得所求的范围. 【小问1详解】 ,, ， ； 【小问2详解】 由（1）得， ， ， 实数取值范围为. 17. 已知函数. （1）判断并证明的奇偶性； （2）根据定义证明：在上单调递增. 【答案】（1）是上的奇函数，证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先证明定义域关于原点对称，再证明，从而可证明是上的奇函数； （2）利用单调性的定义来证明即可. 【小问1详解】 是上的奇函数. 证明：由题意得的定义域为，，都有， ，是上的奇函数. 【小问2详解】 证明：，，且， 则， ，，，，， ，，在上单调递增. 18. 实行垃圾分类，保护生态环境，促进资源再利用.某企业新建了一座垃圾回收工厂，在2021年年初用98万元购进一套垃圾回收分类生产设备，并投入生产.该设备可为企业每年创收50万元，已知该设备使用年的维修保养总费用为万元，相应的盈利总额（纯利润）为万元. （1）写出与之间的函数解析式，并求从哪年（2021年为第一年）开始，该设备开始盈利（盈利总额为正）； （2）使用若干年后，对设备的处理方案有以下两种： 方案一，当年平均盈利额（年平均盈利额盈利总额使用年限）达到最大值时，以30万元价格卖掉该设备； 方案二，当盈利总额达到最大值时，以12万元价格卖掉该设备 自设备投入到卖掉处理，从总利润和效益上看，该企业应选用哪种方案处理？请说明你的理由. 【答案】（1），，2023年 （2）应选用方案一，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意可得解析式以及列不等式，即可求解； （2）方案一运用基本不等式可求得总利润，方案二运用二次函数求得最值，综合比较可求得结果. 【小问1详解】 由题意得，， 令，则， ，， 故从2023年开始，该设备开始盈利； 【小问2详解】 方案一：年平均盈利额， 当且仅当时，即当时，上式等号成立， 故到2027年，该设备的年平均盈利额达到最大值， 此时卖掉此设备后，该企业可获得的总利润为； 方案二：盈利总额， 当时，取最大值，故到2030年，该设备的盈利总额达到最大值102， 此时卖掉此设备后，该企业可获得的总利润为； 因为两种方案企业获得的总利润相同，而方案一用时较短，故应选用方案一. 19. 若函数对于定义域某个或某些区间内的任意一个，满足，则称函数为上的“局部奇函数”；满足，则称函数为上的“局部偶函数”.已知函数，其中为常数. （1）若为上的“局部奇函数”，求不等式的解集； （2）已知函数是上的“局部奇函数”，也是上的“局部偶函数”. ①当时，求函数的值域； ②对于上的任意实数，，，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）; （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）利用奇函数恒等式来求参数，再利用单调性来解不等式； （2）①利用奇偶性来求不同的参数，说明是分段函数，然后求分段函数值域的并集即可； ②利用是分段函数，把原不等式转化为的最值条件来研究，即可求得参数范围. 【小问1详解】 由题意得，恒成立， 即恒成立，整理可得恒成立， 则，即， 又由在上单调递增，且， 所以不等式的解集为. 【小问2详解】 ①由（1）可得当时，的取值范围为； 由题意得，恒成立， 即恒成立，整理可得恒成立， 则，即， 又由在上单调递增，所以在上值域为， 根据偶函数关于轴对称，所以对称区域的值域相同， 则当时，的值域为； 综上所述，当时，的值域为. ②由题意得， 当时，则有，即， 解得：，所以此时的取值范围是， 当时，则有，即，显然成立，所以此时此时的取值可以为0， 当时，则有，即， 解得：，所以此时的取值范围是， 综上所述，实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：要把此函数理解为分段函数，而且每一段函数的值是不一样的，从而再去求分段函数的值域和利用最值去解决不等式恒成立问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年第一学期高一年级期中学业诊断 数学试卷 （考试时间：上午7:30－9:00） 说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间90分钟，满分100分. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数（，且的图象必经过的定点是（ ） A. B. C. D. 6. 已知不等式对于一切实数都成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，且满足，若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知幂函数的图象经过点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是增函数 C. 是偶函数 D. 不等式解集为 10. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是函数的最大值 C. 当时， D. 不等式的解集是 11. 已知函数对于一切实数，都有，当时，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 是增函数 D. 三、填空题（本题共3小题，每小题3分，共9分） 12. 命题“，”否定是___________. 13. 已知函数在上是增函数，则实数的取值范围________. 14. 对实数和，定义运算“◎”：，设函数，.若函数的图象与轴恰有个公共点，则实数的取值范围是________. 四、解答题（本题共5小题，共49分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 计算下列各式的值 （1）； （2）. 16. 已知全集，，，. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 17. 已知函数. （1）判断并证明奇偶性； （2）根据定义证明：在上单调递增. 18. 实行垃圾分类，保护生态环境，促进资源再利用.某企业新建了一座垃圾回收工厂，在2021年年初用98万元购进一套垃圾回收分类生产设备，并投入生产.该设备可为企业每年创收50万元，已知该设备使用年的维修保养总费用为万元，相应的盈利总额（纯利润）为万元. （1）写出与之间的函数解析式，并求从哪年（2021年为第一年）开始，该设备开始盈利（盈利总额为正）； （2）使用若干年后，对设备处理方案有以下两种： 方案一，当年平均盈利额（年平均盈利额盈利总额使用年限）达到最大值时，以30万元价格卖掉该设备； 方案二，当盈利总额达到最大值时，以12万元价格卖掉该设备 自设备投入到卖掉处理，从总利润和效益上看，该企业应选用哪种方案处理？请说明你的理由. 19. 若函数对于定义域的某个或某些区间内的任意一个，满足，则称函数为上的“局部奇函数”；满足，则称函数为上的“局部偶函数”.已知函数，其中为常数. （1）若为上的“局部奇函数”，求不等式的解集； （2）已知函数是上的“局部奇函数”，也是上的“局部偶函数”. ①当时，求函数的值域； ②对于上任意实数，，，不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$