广东省广州市白云区新市片区 2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年广东省广州市白云区新市片区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选择项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（3分）下列方程中是关于x一元二次方程的为（　　） A．2x2﹣+1＝0 B．ax2+bx+c＝0 C．x2＝x+1 D．x2+x＝y 2．（3分）用配方法解方程x2+4x+1＝0时，配方结果正确的是（　　） A．（x﹣2）2＝5 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x+2）2＝3 3．（3分）将抛物线y＝x2向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（　　） A．y＝（x﹣3）2+2 B．y＝（x+3）2﹣2 C．y＝（x﹣3）2﹣2 D．y＝（x+3）2+2 4．（3分）若关于x的方程x2+2x+a＝0有一个根为﹣3，则a的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1 5．（3分）关于抛物线y＝（x﹣1）2﹣2，下列说法错误的是（　　） A．顶点坐标为（1，﹣2） B．函数有最小值为﹣2 C．开口方向向上 D．当x＞1时，y随x的增大而减小 6．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，则该抛物线与x轴另一个交点坐标为（　　） A．（﹣3，0） B．（﹣2，0） C．（2，0） D．无法确定 7．（3分）在一次足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛21场，设共有x个队参赛，根据题意，可列方程为（　　） A．x（x+1）＝21 B．x（x﹣1）＝21 C． D． 8．（3分）关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 9．（3分）若点（x1，y1）（x2，y2）在二次函数的图象上，且0＜x1＜x2，则（　　） A．5＜y1＜y2 B．5＜y2＜y1 C．y2＜y1＜5 D．y1＜y2＜5 10．（3分）直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx+b在同一坐标系里的大致图象正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）一元二次方程x2﹣2x＝0的根是 　 　． 12．（3分）已知二次函数y＝x2﹣7，当x＞0时，y随x的增大而　 　.（“增大”或“减小”） 13．（3分）已知抛物线y＝x2﹣5x+k与x轴只有一个交点，则k＝ 　 　． 14．（3分）某商场一月份利润为100万元，三月份的利润为121万元，则该商场二、三月利润的平均增长率为x，则可列出方程为 　 　． 15．（3分）如图，铅球运动员掷铅球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是，则该运动员此次掷铅球的成绩是 　 　m． 16．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc＜0；②2c＞b；③a+b＞m（am+b）（m≠1）；④若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为4．其中正确结论的序号为　 　． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．） 17．（4分）解方程：x2﹣6x﹣7＝0． 18．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+1＝0，若方程有实数根，求满足条件的正整数m的值． 19．（6分）已知抛物线y＝x2﹣4x+3． （1）该抛物线的对称轴是　 　，顶点坐标　 　； （2）选取适当的数据填入如表，并在如图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象； x … 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 … y … 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 … （3）根据图象，直接写出当y＞0时，x的取值范围． 20．（6分）已知m和n是方程x2﹣5x﹣3＝0的两根，求m2﹣mn+n2的值． 21．（8分）列方程（组）解应用题 某社区利用一块长方形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示．已知停车场的长为52米，宽为28米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道．已知铺花砖的面积为640平方米．求通道的宽是多少米． 22．（10分）抛物线y＝x2与直线y＝x+6交于A，B两点． （1）求A，B两点坐标； （2）求△AOB的面积； （3）直接写出不等式x2﹣x＞6的解集． 23．（10分）一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m，宽为2m，隧道最高点P位于AB的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系． （1）求抛物线的表达式； （2）一辆货车高4m，宽2m，能否从该隧道内通过，为什么？ 24．（12分）华联商场以每件10元购进一种商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不得高于20元/件，试销中发现每天的销售量y（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数，且销售价与销售量的关系如下表： 销售价（x元） 10 15 18 20 销售量（y件） 30 25 22 20 （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）求商场每天的销售利润w（元）与每件的销售价x（元）的函数关系式，如果商场要想获得最大利润，每件商品的销售价定为多少为最合适？最大销售利润为多少？ 25．（12分）平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣3ax+1与y轴交于点A． （1）求点A的坐标及抛物线的对称轴； （2）当﹣1≤x≤2时，y的最大值为3，求a的值； （3）已知点P（0，2），Q（a+1，1）．若线段PQ与抛物线只有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围． 2024-2025学年广东省广州市白云区新市片区九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选择项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（3分）下列方程中是关于x一元二次方程的为（　　） A．2x2﹣+1＝0 B．ax2+bx+c＝0 C．x2＝x+1 D．x2+x＝y 【考点】一元二次方程的定义．版权所有 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义可得：一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果没有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． 由这四个条件对四个选项进行验证，即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用． 【解答】解：A、2x2﹣+1＝0不是整式方程，故本选项错误； B、方程ax2+bx+c＝0的二次项系数可能为0，故本选项错误； C、x2＝x+1符合一元二次方程的定义，故本选项正确； D、x2+x＝y含有两个未知数，故本选项错误． 故选：C． 2．（3分）用配方法解方程x2+4x+1＝0时，配方结果正确的是（　　） A．（x﹣2）2＝5 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x+2）2＝3 【考点】解一元二次方程﹣配方法．版权所有 【答案】D 【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断． 【解答】解：方程x2+4x+1＝0， 整理得：x2+4x＝﹣1， 配方得：（x+2）2＝3． 故选：D． 3．（3分）将抛物线y＝x2向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（　　） A．y＝（x﹣3）2+2 B．y＝（x+3）2﹣2 C．y＝（x﹣3）2﹣2 D．y＝（x+3）2+2 【考点】二次函数图象与几何变换．版权所有 【答案】A 【分析】根据二次函数图象平移的规律“左加右减（横轴），上加下减（纵轴）”即可求解． 【解答】解：抛物线y＝x2向右平移3个单位长度得，y＝（x﹣3）2，再向上平移2个单位长度得，y＝（x﹣3）2+2， 故选：A． 4．（3分）若关于x的方程x2+2x+a＝0有一个根为﹣3，则a的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1 【考点】一元二次方程的解．版权所有 【答案】A 【分析】把x＝﹣3代入方程x2+2x+a＝0得32+2×（﹣3）+a＝0，然后解关于a的方程即可． 【解答】解：把x＝﹣3代入方程x2+2x+a＝0得32+2×（﹣3）+a＝0， 解得a＝﹣3． 故选：A． 5．（3分）关于抛物线y＝（x﹣1）2﹣2，下列说法错误的是（　　） A．顶点坐标为（1，﹣2） B．函数有最小值为﹣2 C．开口方向向上 D．当x＞1时，y随x的增大而减小 【考点】二次函数的性质．版权所有 【答案】D 【分析】已知抛物线解析式为顶点式，根据顶点式的特点判断顶点坐标，开口方向，最值及增减性． 【解答】解：由抛物线y＝（x﹣1）2﹣2可知， 顶点坐标为（1，﹣2）， 抛物线开口向上，函数有最小值为﹣2， x＞1时y随x增大而增大， ∴A、B、C判断正确，D错误． 故选：D． 6．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，则该抛物线与x轴另一个交点坐标为（　　） A．（﹣3，0） B．（﹣2，0） C．（2，0） D．无法确定 【考点】抛物线与x轴的交点．版权所有 【答案】A 【分析】设抛物线与x轴另一交点的坐标为（a，0），再直接根据中点坐标公式解答即可． 【解答】解：设抛物线与x轴另一交点的坐标为（a，0）， ∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1， ∴＝﹣1，解得a＝﹣3， ∴抛物线与x轴另一个交点坐标为（﹣3，0）． 故选：A． 7．（3分）在一次足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛21场，设共有x个队参赛，根据题意，可列方程为（　　） A．x（x+1）＝21 B．x（x﹣1）＝21 C． D． 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．版权所有 【答案】D 【分析】根据参赛的每两个队之间都要比赛一场且共比赛21场，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：依题意得：x（x﹣1）＝21， 故选：D． 8．（3分）关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【考点】根的判别式．版权所有 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的判别式解答即可． 【解答】解：∵Δ＝m2﹣4×1×（﹣8）＝m2+32＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 9．（3分）若点（x1，y1）（x2，y2）在二次函数的图象上，且0＜x1＜x2，则（　　） A．5＜y1＜y2 B．5＜y2＜y1 C．y2＜y1＜5 D．y1＜y2＜5 【考点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质．版权所有 【答案】C 【分析】根据二次函数的增减性，x＞0，y随x的增大而减小解答． 【解答】解：∵二次函数， ∴图象开口向下，对称轴为y轴，顶点为（0，5），有最大值5， ∴x＞0时，y随x的增大而减小， ∵0＜x1＜x2， ∴y2＜y1＜5． 故选：C． 10．（3分）直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx+b在同一坐标系里的大致图象正确的是（　　） A． B． C． D． 【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．版权所有 【答案】D 【分析】根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到一次函数中a和b的正负情况和二次函数图象中a、b的正负情况，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【解答】解：A、由一次函数的图象可知a＞0，b＞0，由二次函数的性质可知，图象a＞0，b＜0，故选项不符合题意； B、由一次函数的图象可知a＞0，b＞0，由二次函数的性质可知，图象a＞0，b＜0，故选项不符合题意； C、由一次函数的图象可知a＞0，b＞0，由二次函数的性质可知，图象a＞0，b＞0，ab＞0，而抛物线对称轴位于y轴右侧，则ab＜0，故选项不符合题意； D、由一次函数的图象可知a＞0，b＞0，由二次函数的性质可知，图象a＞0，b＞0，对称轴位于y轴左侧，则ab＞0，故选项符合题意； 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）一元二次方程x2﹣2x＝0的根是 　x1＝0，x2＝2　． 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．版权所有 【答案】x1＝0，x2＝2． 【分析】把方程左边因式分解得x（x﹣2）＝0，解之即可求出方程的根 【解答】解：∵x2﹣2x＝0， ∴x（x﹣2）＝0， ∴x＝0或x﹣2＝0， ∴x1＝0，x2＝2， 故答案为：x1＝0，x2＝2． 12．（3分）已知二次函数y＝x2﹣7，当x＞0时，y随x的增大而　增大　.（“增大”或“减小”） 【考点】二次函数的性质．版权所有 【答案】增大． 【分析】先找出对称轴，再判断开口方向，最后根据增减性来求解． 【解答】解：由二次函数y＝x2﹣7，可得其对称轴为直线x＝0， ∵1＞0，开口向上，故当x＞0时，y随x的增大而增大． 故答案为：增大． 13．（3分）已知抛物线y＝x2﹣5x+k与x轴只有一个交点，则k＝ 　　． 【考点】抛物线与x轴的交点．版权所有 【答案】． 【分析】根据根的判别式的意义得到（﹣5）2﹣4k＝0，然后解关于k的方程即可． 【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣5x+k与x轴只有一个交点， ∴Δ＝（﹣5）2﹣4k＝0， 解得k＝． 故答案为：． 14．（3分）某商场一月份利润为100万元，三月份的利润为121万元，则该商场二、三月利润的平均增长率为x，则可列出方程为 　100（1+x）2＝121　． 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），利润的平均月增长率为x，那么根据题意即可得出121＝100（1+x）2． 【解答】解：设该商场二、三月利润的平均增长率为x， 由题意得：100（1+x）2＝121， 故答案为：100（1+x）2＝121． 15．（3分）如图，铅球运动员掷铅球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是，则该运动员此次掷铅球的成绩是 　6　m． 【考点】二次函数的应用．版权所有 【答案】6． 【分析】根据铅球落地时，高度y＝0，把实际问题可理解为当y＝0时，求x的值即可． 【解答】解：令y＝﹣x2+x+3中y＝0， 则﹣x2+x+3＝0， 整理得：x2﹣4x﹣12＝0， 解得x1＝6，x2＝﹣2（舍去）， 该运动员此次掷铅球的成绩是6m． 故答案为：6． 16．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc＜0；②2c＞b；③a+b＞m（am+b）（m≠1）；④若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为4．其中正确结论的序号为　①③④　． 【考点】二次函数图象与系数的关系．版权所有 【答案】①③④． 【分析】由抛物线开口方向，对称轴，抛物线与y轴交点位置可判断①②，由抛物线对称轴及抛物线经过（﹣1，0）可得b与a及c与a的关系，从而判断②，由x＝1时y取最大值可判断③，由抛物线的对称轴为直线x＝1可判断④． 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线对称轴为直线x＝1， ∴b＝﹣2a＞0， ∵抛物线与y轴交点在x轴上方， ∴c＞0， ∴abc＜0，①正确． ∵抛物线经过（﹣1，0）， ∴a﹣b+c＝3a+c＝0， ∴c＝﹣3a， ∴2c﹣3b＝﹣6a+6a＝0， ∴2c＝3b．②错误． 由图象可得x＝1时，y取最大值， ∴a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），即a+b＞m（am+b）（m≠1），③正确． 当|ax2+bx+c|＝1有4个根时，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝1有2个交点，且两个交点关于直线x＝1对称，即x1+x2＝2， 抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣1有2个交点，且两个交点关于直线x＝1对称，即x3+x4＝2， ∴x1+x2+x3+x4＝4，④正确． 故答案为：①③④． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．） 17．（4分）解方程：x2﹣6x﹣7＝0． 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】观察原方程，可运用二次三项式的因式分解法进行求解． 【解答】解：原方程可化为：（x﹣7）（x+1）＝0， x﹣7＝0或x+1＝0； 解得：x1＝7，x2＝﹣1． 18．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+1＝0，若方程有实数根，求满足条件的正整数m的值． 【考点】根的判别式；一元二次方程的解．版权所有 【答案】3，2，1． 【分析】根据Δ≥0，构建不等式求解． 【解答】解：∵x的一元二次方程x2﹣4x+m+1＝0，有实数根， ∴Δ≥0， ∴16﹣4（m+1）≥0， ∴m≤3， ∵m是正整数， ∴m＝3，2，1． 19．（6分）已知抛物线y＝x2﹣4x+3． （1）该抛物线的对称轴是　x＝2　，顶点坐标　（2，﹣1）　； （2）选取适当的数据填入如表，并在如图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象； x … 　　 　　 　　 　　 　　 … y … 　　 　　 　　 　　 　　 … （3）根据图象，直接写出当y＞0时，x的取值范围． 【考点】二次函数的图象；二次函数的性质．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据对称轴是直线x＝﹣，顶点坐标是（﹣，），可得答案； （2）根据对称轴，可在对称轴的左边选两个，右边选两个，他们要关于对称轴对称，可填上表格，根据描点法，可得函数图象； （3）根据函数与不等式的关系，可得答案． 【解答】解：（1）抛物线y＝x2﹣4x+3的对称轴是直线x＝﹣＝﹣＝2， x＝﹣＝﹣＝2，y＝＝＝﹣1，顶点坐标是（2，﹣1）； （2）列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 ﹣1 0 3 … 描点：在平面直角坐标系中描出各点， 连线：用平滑的线连接起来 ； （3）观察图象，函数图象在x轴上方的部分相应自变量的取值范围，得 x＜1或x＞3时，y＞0． 20．（6分）已知m和n是方程x2﹣5x﹣3＝0的两根，求m2﹣mn+n2的值． 【考点】根与系数的关系．版权所有 【答案】34． 【分析】先利用根与系数的关系得m+n＝5，mn＝﹣3，再把m2﹣mn+n2变形为（m+n）2﹣3mn，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：根据根与系数的关系得m+n＝5，mn＝﹣3， 所以m2﹣mn+n2＝（m+n）2﹣3mn＝52﹣3×（﹣3）＝34． 21．（8分）列方程（组）解应用题 某社区利用一块长方形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示．已知停车场的长为52米，宽为28米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道．已知铺花砖的面积为640平方米．求通道的宽是多少米． 【考点】一元二次方程的应用．版权所有 【答案】6米． 【分析】设通道的宽是x米，则铺花砖的部分可合成长为（52﹣2x）米，宽为（28﹣2x）米的长方形，根据铺花砖的面积为640平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设通道的宽是x米，则铺花砖的部分可合成长为（52﹣2x）米，宽为（28﹣2x）米的长方形， 根据题意得：（52﹣2x）（28﹣2x）＝640， 整理得：x2﹣40x+204＝0， 解得：x1＝6，x2＝34（不符合题意，舍去）． 答：通道的宽是6米． 22．（10分）抛物线y＝x2与直线y＝x+6交于A，B两点． （1）求A，B两点坐标； （2）求△AOB的面积； （3）直接写出不等式x2﹣x＞6的解集． 【考点】二次函数与不等式（组）．版权所有 【答案】（1）A（﹣2，4）；B（3，9）． （2）15． （3）x＜﹣2或x＞3． 【分析】（1）令x2＝x+6求出x的值，然后将x的值代入抛物线解析式求解． （2）把x＝0代入直线解析式求出点C坐标，根据∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝OC•|xA|+OC•xB求解． （3）根据图象求解． 【解答】解：（1）令x2＝x+6， 解得x1＝﹣2，x2＝3， 把x＝﹣2代入y＝x2得y＝4，把x＝3代入y＝x2得y＝9， ∴A（﹣2，4），B（3，9）． （2）把x＝0代入y＝x+6得y＝6， ∴点C坐标为（0，6）， ∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝OC•|xA|+OC•xB＝×6×2+×6×3＝15． （3）∵点A横坐标为﹣2，点B横坐标为3， ∴x＜﹣2或x＞3时，抛物线在直线上方， ∴不等式x2﹣x＞6的解集为x＜﹣2或x＞3． 23．（10分）一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m，宽为2m，隧道最高点P位于AB的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系． （1）求抛物线的表达式； （2）一辆货车高4m，宽2m，能否从该隧道内通过，为什么？ 【考点】二次函数的应用．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设出抛物线的解析式，根据抛物线顶点坐标，代入解析式； （2）令y＝4，解出x与2作比较． 【解答】解：（1）由题意可知抛物线的顶点坐标（4，6）， 设抛物线的方程为y＝a（x﹣4）2+6， 又因为点A（0，2）在抛物线上， 所以有2＝a（0﹣4）2+6． 所以a＝﹣． 因此有：y＝﹣（x﹣4）2+6． （2）令y＝4，则有4＝﹣（x﹣4）2+6， 解得x1＝4+2，x2＝4﹣2， |x1﹣x2|＝4＞2， ∴货车可以通过． 24．（12分）华联商场以每件10元购进一种商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不得高于20元/件，试销中发现每天的销售量y（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数，且销售价与销售量的关系如下表： 销售价（x元） 10 15 18 20 销售量（y件） 30 25 22 20 （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）求商场每天的销售利润w（元）与每件的销售价x（元）的函数关系式，如果商场要想获得最大利润，每件商品的销售价定为多少为最合适？最大销售利润为多少？ 【考点】二次函数的应用．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），把（10，30），（15，25）代入求出k和b的值即可得出函数关系式； （2）根据“总利润＝每件的利润×销售量”可得函数解析式，利用二次函数的性质进一步求解可得． 【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， 把（10，30），（15，25）代入得： ， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+40， ∵销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于20元/件， ∴10≤x≤20； （2）根据题意可得： w＝（x﹣10）y ＝（x﹣10）（﹣x+40） ＝﹣x2+50x﹣400 ＝﹣（x﹣25）2+225， ∵a＝﹣1＜0， ∴当x＜25时，w随x的增大而增大， ∵10≤x≤20， ∴当x＝20时，w取最大值，此时w＝﹣（20﹣25）2+225＝200， ∴每件销售价为20元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元． 25．（12分）平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣3ax+1与y轴交于点A． （1）求点A的坐标及抛物线的对称轴； （2）当﹣1≤x≤2时，y的最大值为3，求a的值； （3）已知点P（0，2），Q（a+1，1）．若线段PQ与抛物线只有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）令x＝0可求点A坐标，将抛物线解析式化为顶点式可求对称轴． （2）根据抛物线开口方向及对称轴为直线，分类讨论x＝﹣1时y取最大值或抛物线顶点纵坐标为最大值． （3）由点P为顶点，点Q在直线y＝1上运动，通过数形结合求解． 【解答】解：（1）令x＝0，则y＝1， ∴A（0，1）， ∵， ∴抛物线的对称轴为． （2）∵， ∴抛物线顶点坐标为（，）， ①当a＞0时，抛物线开口向上， ∵﹣（﹣1）＞2﹣， ∴x＝﹣1时，y＝a+3a+1＝4a+1为最大值， 即4a+1＝3， 解得a＝． ②当a＜0时，抛物线开口向下， 时，y取最大值． ∴， 解得． 综上所述，或． （3）∵抛物线y＝ax2﹣3ax+1的对称轴为． 设点A关于对称轴的对称点为点B， ∴B（3，1）． ∵Q（a+1，1）， ∴点Q，A，B都在直线y＝1上． ①当a＞0时，如图， 当点Q在点A的左侧（包括点A）或点Q在点B的右侧（包括点B）时，线段PQ与抛物线只有一个公共点． ∴a+1≤0或a+1≥3． ∴a≤﹣1（不合题意，舍去）或a≥2． ②当a＜0时，如图，当Q在点A与点B之间（包括点A，不包括点B）时，线段PQ与抛物线只有一个公共点． ∴0≤a+1＜3． ∴﹣1≤a＜2． 又∵a＜0， ∴﹣1≤a＜0． 综上所述，a的取值范围为﹣1≤a＜0或a≥2． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/24 0:37:36；用户：18328501451；邮箱：18328501451；学号：43314264 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$