重庆市梁平区梁山初中教育集团 2024-2025学年上学期八年级期中数学试卷

2024-2025学年重庆市梁平区梁山初中教育集团八年级（上）期中数学试卷 一、单选题（本题共计10小题，总分40分） 1．（4分）下列计算正确的是（　　） A．（2a2）4＝8a8 B．10ab6÷（﹣2ab2）＝﹣5b3 C．﹣3a2b•（﹣3ab）＝9a3b2 D．（4x2y+8x2﹣2x）÷2x＝2xy+4x 2．（4分）在△ABC中，若∠B＝∠C＝2∠A，则∠A的度数为（　　） A．72° B．45° C．36° D．30° 3．（4分）等腰三角形的一边长为14，另一边长为7，则周长为（　　） A．35 B．28 C．21 D．28或35 4．（4分）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、4的四块），你认为将其中的哪一块带去玻璃店，就能配一块与原来一样大小的三角形玻璃．应该带（　　） A．第4块 B．第3块 C．第2块 D．第1块 5．（4分）如图，在△ABC与△EDF中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝∠E，B、F、C、D在同一直线上，再添加一个下列条件，不能判断△ABC≌△EDF的是（　　） A．AB＝ED B．AC＝EF C．AC∥CF D．BC＝DF 6．（4分）如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积为16，则阴影部分的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 7．（4分）若x2﹣2mx+4是完全平方式，则m的值等于（　　） A．2或﹣2 B．2 C．4 D．4或﹣4 8．（4分）已知（5﹣3x+mx2﹣6x3）（1﹣2x）的计算结果中不含x3的项，则m的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．﹣ D．0 9．（4分）如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°．则∠MAB的度数为（　　） A．30° B．35° C．45° D．60° 10．（4分）已知关于x的多项式：anxn+an﹣1xn﹣1+an﹣2xn﹣2+...+a2x2+a1x+a0，其中n为正整数，若各项系数各不相同且均不为0，则我们称这样的多项式为“亲缘多项式”．下列说法： ①（2x2﹣1）2是“亲缘多项式”； ②若多项式a3x3+a2x2+a1x+a0和b4x4+b3x3+b2x2+b1x+b0均为“亲缘多项式”，则a3x3+a2x2+a1x+a0+b4x4+b3x3+b2x2+b1x+b0也是“亲缘多项式”； ③多项式（2x﹣1）4＝b4x4+b3x3+b2x2+b1x+b0是“亲缘多项式”，且b4+b2+b0＝41； ④关于x的多项式（ax+b）n，若a≠b，ab≠0，n为正整数，则（ax+b）n为“亲缘多项式”． 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本题共计8小题，总分32分） 11．（4分）＝　 　． 12．（4分）如图，B、C、E在同一直线上，△ABC≌△EFC，∠A＝35°，那么∠EFC＝　 　度． 13．（4分）若5x＝2，5y＝3，则5x+2y＝　 　． 14．（4分）已知a，b，c是三角形的三边长，化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c+a|＝　 　． 15．（4分）多边形的每一个内角都等于150°，则从该多边形的一个顶点出发可以引出对角线 　 　条． 16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AB的中点，连接DE，若AB＝24，CD＝6，则△DBE的面积为 　 　． 17．（4分）将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖线记成，定义＝ad﹣bc，上述记号叫做二阶行列式，若＝5x，求x的值． 18．（4分）如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②∠DFB＝∠CGE；③∠ADC＝∠GCD；④CA平分∠BCG．其中正确的结论是　 　． 三、解答题（本题共计8小题，第19题8分其余各题每题10分，总分78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡对应的位置上． 19．（8分）先化简，再求值：[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（2y+x）﹣2x（2x﹣y）]÷2x，其中x＝1，y＝﹣1． 20．（10分）分解因式： （1）﹣3x3+6x2﹣3x； （2）﹣ax2+4a． 21．（10分）计算： （1）2022+982+202×196； （2）3×（﹣1）2022+（﹣2）3﹣|﹣2|+（3﹣π）0． 22．（10分）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，连接AC、BD． （1）用基本尺规作图：作∠ACB的角平分线CM，交DA的延长线于点E，交BD于点F；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若F是BD的中点，DE＝5，求BC的长． 23．（10分）芳芳计算一道整式乘法的题：（2x+m）（5x﹣4），由于芳芳抄错了第一个多项式中m前面的符号，把“+”写成“﹣”，得到的结果为10x2﹣33x+20． （1）求m的值； （2）计算这道整式乘法的正确结果． 24．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB于点E，AD＝AC，AF平分∠CAB交CE于点F．DF的延长线交AC于点G． （1）若∠B＝40°．求∠ADF的度数； （2）求证：FG＝FE． 25．（10分）如图1，有A型、B型正方形卡片和C型长方形卡片各若干张． （1）用1张A型卡片，1张B型卡片，2张C型卡片拼成一个正方形，如图2，用两种方法计算这个正方形面积，可以得到一个等式，请你写出这个等式； （2）选取1张A型卡片，10张C型卡片，　 　张B型卡片，可以拼成一个正方形，这个正方形的边长用含a，b的代数式表示为 　 　； （3）如图3，两个正方形边长分别为m、n，m+n＝10，mn＝19，求阴影部分的面积． 26．（10分）如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）求∠FAE的度数； （3）求证：CD＝2BF+DE． 2024-2025学年重庆市梁平区梁山初中教育集团八年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、单选题（本题共计10小题，总分40分） 1．（4分）下列计算正确的是（　　） A．（2a2）4＝8a8 B．10ab6÷（﹣2ab2）＝﹣5b3 C．﹣3a2b•（﹣3ab）＝9a3b2 D．（4x2y+8x2﹣2x）÷2x＝2xy+4x 【考点】整式的混合运算．版权所有 【答案】C 【分析】根据整式的乘方，单项式乘单项式，多项式除以单项式，单项式除以单项式的法则进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、（2a2）4＝16a8，故A不符合题意； B、10ab6÷（﹣2ab2）＝﹣5b4，故B不符合题意； C、﹣3a2b•（﹣3ab）＝9a3b2，故C符合题意； D、（4x2y+8x2﹣2x）÷2x＝2xy+4x﹣1，故D不符合题意； 故选：C． 2．（4分）在△ABC中，若∠B＝∠C＝2∠A，则∠A的度数为（　　） A．72° B．45° C．36° D．30° 【考点】三角形内角和定理．版权所有 【答案】C 【分析】设∠A＝x，则∠B＝∠C＝2x，再由三角形内角和定理求出x的值即可． 【解答】解：设∠A＝x，则∠B＝∠C＝2x， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴x+2x+2x＝180°，解得x＝36°． 故选：C． 3．（4分）等腰三角形的一边长为14，另一边长为7，则周长为（　　） A．35 B．28 C．21 D．28或35 【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．版权所有 【答案】A 【分析】等腰三角形两边相等，又知道其中两边的长，在满足三角形的构成条件下，可以推测第三边的长，计算周长即可． 【解答】解：根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 14﹣7＜第三边＜14+7，即7＜第三边＜21， ∴当底边长为14时，7+7＝14，不能构成三角形， 当底边长为7时，7+14＝21＞14， ∴等腰三角形的边长为7，14，14，周长为7+14+14＝35， 故选：A． 4．（4分）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、4的四块），你认为将其中的哪一块带去玻璃店，就能配一块与原来一样大小的三角形玻璃．应该带（　　） A．第4块 B．第3块 C．第2块 D．第1块 【考点】全等三角形的应用．版权所有 【答案】C 【分析】根据三角形全等判定的条件可直接选出答案． 【解答】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去， 只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的． 故选：C． 5．（4分）如图，在△ABC与△EDF中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝∠E，B、F、C、D在同一直线上，再添加一个下列条件，不能判断△ABC≌△EDF的是（　　） A．AB＝ED B．AC＝EF C．AC∥CF D．BC＝DF 【考点】全等三角形的判定．版权所有 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断． 【解答】解：∵∠B＝∠D＝90°，∠A＝∠E， 当AB＝ED时，可根据“ASA”判断△ABC≌△EDF； 当AC＝EF时，可根据“AAS”判断△ABC≌△EDF； 当AC∥CF时，不能判断断△ABC≌△EDF； 当BC＝DF时，可根据“AAS”判断△ABC≌△EDF． 故选：C． 6．（4分）如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积为16，则阴影部分的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【考点】三角形的面积；三角形的角平分线、中线和高．版权所有 【答案】A 【分析】由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，则利用点D为BC的中点得到，再利用E点为AD的中点得到S△BDE＝4，S△CDE＝4，所以S△BCE＝8，然后利用F点为CE的中点得到． 【解答】解：∵点D为BC的中点， ∴， ∵E点为AD的中点， ∴， ∴S△BCE＝4+4＝8， ∵F点为CE的中点， ∴． 故选：A． 7．（4分）若x2﹣2mx+4是完全平方式，则m的值等于（　　） A．2或﹣2 B．2 C．4 D．4或﹣4 【考点】完全平方式．版权所有 【答案】A 【分析】根据完全平方公式即可求出答案． 【解答】解：∵（x±2）2＝x2±4x+4， ∴﹣2m＝±4， ∴m＝±2， 故选：A． 8．（4分）已知（5﹣3x+mx2﹣6x3）（1﹣2x）的计算结果中不含x3的项，则m的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．﹣ D．0 【考点】多项式乘多项式．版权所有 【答案】B 【分析】把式子展开，找到所有x3项的所有系数，令其为0，可求出m的值． 【解答】解：∵（5﹣3x+mx2﹣6x3）（1﹣2x）＝5﹣13x+（m+6）x2+（﹣6﹣2m）x3+12x4． 又∵结果中不含x3的项， ∴﹣2m﹣6＝0，解得m＝﹣3． 故选：B． 9．（4分）如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°．则∠MAB的度数为（　　） A．30° B．35° C．45° D．60° 【考点】角平分线的性质．版权所有 【答案】B 【分析】作MN⊥AD于N，根据平行线的性质求出∠DAB，根据角平分线的判定定理得到∠MAB＝∠DAB，计算即可． 【解答】解：作MN⊥AD于N， ∵∠B＝∠C＝90°， ∴AB∥CD， ∴∠DAB＝180°﹣∠ADC＝70°， ∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD， ∴MN＝MC， ∵M是BC的中点， ∴MC＝MB， ∴MN＝MB， 又MN⊥AD，MB⊥AB， ∴∠MAB＝∠DAB＝35°， 故选：B． 10．（4分）已知关于x的多项式：anxn+an﹣1xn﹣1+an﹣2xn﹣2+...+a2x2+a1x+a0，其中n为正整数，若各项系数各不相同且均不为0，则我们称这样的多项式为“亲缘多项式”．下列说法： ①（2x2﹣1）2是“亲缘多项式”； ②若多项式a3x3+a2x2+a1x+a0和b4x4+b3x3+b2x2+b1x+b0均为“亲缘多项式”，则a3x3+a2x2+a1x+a0+b4x4+b3x3+b2x2+b1x+b0也是“亲缘多项式”； ③多项式（2x﹣1）4＝b4x4+b3x3+b2x2+b1x+b0是“亲缘多项式”，且b4+b2+b0＝41； ④关于x的多项式（ax+b）n，若a≠b，ab≠0，n为正整数，则（ax+b）n为“亲缘多项式”． 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】规律型：数字的变化类；代数式求值．版权所有 【答案】B 【分析】①将（2x﹣1）2展开，进行判断即可，②先合并同类项，再进行判断即可，③将（2x﹣1）4展开，再进行判断即可，④利用特殊值法进行判断即可． 【解答】解：①（2x﹣1）2＝4x2﹣4x+1， 各项系数各不相同且均不为0， ∴（2x﹣1）2是“亲缘多项式”， 故①正确； ②+＝++（a1+b1）x+a0+b0， 并不能确定各项系数各不相同且均不为0， ∴+不是“亲缘多项式”， 故②不正确； ③（2x﹣1）4＝16x4﹣32x3+24x2﹣8x+1， 各项系数各不相同且均不为0， ∴（2x﹣1）4是“亲缘多项式”， ∵， ∴b4＝16，b2＝24，b0＝1， ∴b4+b2+b0＝16+24+1＝41， 故③正确； ④当a＝1，b＝﹣1，n＝4时，（x﹣1）4＝x4﹣4x3+6x2﹣4x+1， 其中三次项系数与一次项系数相同， ∴（x﹣1）4不是“亲缘多项式”， 故④不正确． 综上所述，正确的有2个． 故选：B． 二、填空题（本题共计8小题，总分32分） 11．（4分）＝　　． 【考点】实数的运算．版权所有 【答案】． 【分析】先根据零指数幂、绝对值的性质计算，再合并即可． 【解答】解： ＝1﹣ ＝1﹣2+ ＝， 故答案为：． 12．（4分）如图，B、C、E在同一直线上，△ABC≌△EFC，∠A＝35°，那么∠EFC＝　55　度． 【考点】全等三角形的性质．版权所有 【答案】55． 【分析】由△ABC≌△EFC，得到∠E＝∠A＝35°，由直角三角形的性质得到∠EFC＝90°﹣∠E＝55°． 【解答】解：∵△ABC≌△EFC， ∴∠E＝∠A＝35°， ∵∠ECF＝90°， ∴∠EFC＝90°﹣∠E＝55°． 故答案为：55． 13．（4分）若5x＝2，5y＝3，则5x+2y＝　18　． 【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】逆运用同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘进行计算即可得解． 【解答】解：5x+2y ＝5x•52y ＝5x•（5y）2 ＝2×32 ＝2×9 ＝18． 故答案为：18． 14．（4分）已知a，b，c是三角形的三边长，化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c+a|＝　2b　． 【考点】三角形三边关系；绝对值．版权所有 【答案】2b． 【分析】根据三角形的三边关系得出a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a，再去绝对值符号，合并同类项即可． 【解答】解：∵a、b、c为三角形三边的长， ∴a﹣b﹣c＜0，b﹣c+a＞0， ∴原式＝b+c﹣a+b﹣c+a＝2b． 故答案为：2b． 15．（4分）多边形的每一个内角都等于150°，则从该多边形的一个顶点出发可以引出对角线 　9　条． 【考点】多边形内角与外角；多边形的对角线．版权所有 【答案】9． 【分析】根据多边形内角和的公式先求出多边形的边数，再根据多边形对角线的条数与边数的关系求出从此多边形一个顶点出发可引的对角线的条数． 【解答】解：设边数为n，根据题意，得： （n﹣2）•180°＝150°•n， 解得n＝12． ∴从此多边形一个顶点出发可引的对角线的条数为12﹣3＝9条． 故答案为：9． 16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AB的中点，连接DE，若AB＝24，CD＝6，则△DBE的面积为 　36　． 【考点】角平分线的性质．版权所有 【答案】36． 【分析】过D作DF⊥AB于F，由角平分线的性质求出DF，根据三角形的面积公式即可求出△DBE的面积． 【解答】解：过D作DF⊥AB于F， ∵∠C＝90°， ∴DC⊥AC， ∵AD平分∠ABC，CD＝6， ∴DF＝CD＝6， ∵点E为AB的中点，AB＝24， ∴BE＝12， ∴△DBE的面积＝BE•DF＝×12×6＝36． 故答案为：36． 17．（4分）将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖线记成，定义＝ad﹣bc，上述记号叫做二阶行列式，若＝5x，求x的值． 【考点】多项式乘多项式；解一元一次方程．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】根据新定义列出一元一次方程，解方程得到答案． 【解答】解：由题意得（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣3）（x+1）＝5x， 解得x＝﹣． 18．（4分）如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②∠DFB＝∠CGE；③∠ADC＝∠GCD；④CA平分∠BCG．其中正确的结论是　①②③　． 【考点】三角形内角和定理；平行线的性质．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】根据平行线、角平分线、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案． 【解答】解：①∵EG∥BC， ∴∠CEG＝∠ACB， 又∵CD是△ABC的角平分线， ∴∠CEG＝∠ACB＝2∠DCB，故正确； ④无法证明CA平分∠BCG，故错误； ③∵∠A＝90°， ∴∠ADC+∠ACD＝90°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD， ∴∠ADC+∠BCD＝90°． ∵EG∥BC，且CG⊥EG， ∴∠GCB＝90°，即∠GCD+∠BCD＝90°， ∴∠ADC＝∠GCD，故正确； ②∵∠EBC+∠ACB＝∠AEB，∠DCB+∠ABC＝∠ADC， ∴∠AEB+∠ADC＝90°+（∠ABC+∠ACB）＝135°， ∴∠DFE＝360°﹣135°﹣90°＝135°， ∴∠DFB＝45°＝∠CGE， ∴∠CGE＝2∠DFB， ∴∠DFB＝∠CGE，故正确． 故答案为：①②③ 三、解答题（本题共计8小题，第19题8分其余各题每题10分，总分78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡对应的位置上． 19．（8分）先化简，再求值：[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（2y+x）﹣2x（2x﹣y）]÷2x，其中x＝1，y＝﹣1． 【考点】整式的混合运算—化简求值．版权所有 【答案】﹣x﹣y，0． 【分析】根据整式混合运算的顺序和法则化简原式后将x、y的值代入计算可得． 【解答】解：原式＝（x2﹣4xy+4y2+x2﹣4y2﹣4x2+2xy）÷（2x） ＝（﹣2x2﹣2xy）÷（2x） ＝﹣x﹣y， 当x＝1，y＝﹣l时， 原式＝﹣1﹣（﹣1）＝0． 20．（10分）分解因式： （1）﹣3x3+6x2﹣3x； （2）﹣ax2+4a． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用．版权所有 【答案】（1）﹣3x（x﹣1）2； （2）a（2+a）（2﹣a）． 【分析】（1）提公因式﹣3x，再利用完全平方公式因式分解； （2）提公因式a，再利用平方差公式因式分解． 【解答】解：（1）原式＝﹣3x（x2﹣2x+1）＝﹣3x（x﹣1）2； （2）原式＝a（4﹣a2）＝a（2+a）（2﹣a）． 21．（10分）计算： （1）2022+982+202×196； （2）3×（﹣1）2022+（﹣2）3﹣|﹣2|+（3﹣π）0． 【考点】实数的运算；完全平方公式．版权所有 【答案】（1）90000； （2）﹣6． 【分析】（1）先将原式变形为2022+2×202×98+982，然后根据完全平方公式计算即可； （2）先根据有理数的乘方，绝对值，零指数幂的运算法则计算，再根据有理数的混合运算法则计算即可． 【解答】解：（1）2022+982+202×196 ＝2022+2×202×98+982 ＝（202+98）2 ＝3002 ＝90000； （2）3×（﹣1）2022+（﹣2）3﹣|﹣2|+（3﹣π）0 ＝3×1+（﹣8）﹣2+1 ＝3﹣8﹣2+1 ＝﹣6． 22．（10分）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，连接AC、BD． （1）用基本尺规作图：作∠ACB的角平分线CM，交DA的延长线于点E，交BD于点F；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若F是BD的中点，DE＝5，求BC的长． 【考点】作图—基本作图；平行线的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．版权所有 【答案】（1）作图见解答过程； （2）BC＝5． 【分析】（1）利用基本作图，作出∠ACB的平分线即可； （2）证明△BCF≌△DEF，推导出BC＝DE即可得解． 【解答】解：（1）如图，CM即为所求； （2）∵AD∥BC， ∴∠AEC＝∠BCE， ∵F是BD的中点， ∴BF＝AF， 在△BCF和△DEF中， ， ∴△BCF≌△DEF（AAS）， ∴BC＝DE， ∵DE＝5， ∴BC＝5． 23．（10分）芳芳计算一道整式乘法的题：（2x+m）（5x﹣4），由于芳芳抄错了第一个多项式中m前面的符号，把“+”写成“﹣”，得到的结果为10x2﹣33x+20． （1）求m的值； （2）计算这道整式乘法的正确结果． 【考点】多项式乘多项式．版权所有 【答案】（1）5；（2）10x2+17x﹣20． 【分析】（1）根据芳芳的做法，展开多项式乘以多项式，根据结果，列出方程，求出m的值； （2）将m的值代入，计算即可． 【解答】解：（1）根据题意得：（2x﹣m）（5x﹣4） ＝10x2﹣8x﹣5mx+4m ＝10x2+（﹣8﹣5m）x+4m ＝10x2﹣33x+20， ∴4m＝20， ∴m＝5； （2）当m＝5时， 原式＝（2x+5）（5x﹣4） ＝10x2﹣8x+25x﹣20 ＝10x2+17x﹣20． 24．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB于点E，AD＝AC，AF平分∠CAB交CE于点F．DF的延长线交AC于点G． （1）若∠B＝40°．求∠ADF的度数； （2）求证：FG＝FE． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【答案】（1）40°； （2）见解析． 【分析】（1）根据已知，利用SAS判定△ACF≌△ADF，从而得到对应角相等； （2）已知DF∥BC，AC⊥BC，则GF⊥AC，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到FG＝EF． 【解答】解：（1）∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF＝∠DAF． 在△ACF和△ADF中， ∵， ∴△ACF≌△ADF（SAS）． ∴∠ACF＝∠ADF． ∵∠ACB＝90°，CE⊥AB， ∴∠ACE+∠CAE＝90°，∠CAE+∠B＝90°， ∴∠ACF＝∠B， ∴∠ADF＝∠B＝40°． ②证明：∵∠ADF＝∠B， ∴DF∥BC， ∵BC⊥AC， ∴FG⊥AC． ∵FE⊥AB， 又AF平分∠CAB， ∴FG＝FE． 25．（10分）如图1，有A型、B型正方形卡片和C型长方形卡片各若干张． （1）用1张A型卡片，1张B型卡片，2张C型卡片拼成一个正方形，如图2，用两种方法计算这个正方形面积，可以得到一个等式，请你写出这个等式； （2）选取1张A型卡片，10张C型卡片，　25　张B型卡片，可以拼成一个正方形，这个正方形的边长用含a，b的代数式表示为 　（a+5b）　； （3）如图3，两个正方形边长分别为m、n，m+n＝10，mn＝19，求阴影部分的面积． 【考点】完全平方公式的几何背景；完全平方式．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）用两种方法表示图2的面积，即可得出等式； （2）由拼图可得a2+10ab+X是完全平方式，则X＝25b2，即a2+10ab+25b2＝（a+5b）2，从而得出答案； （3）表示阴影部分的面积，化成[（m+n）2﹣3mn]，再整体代入求值即可． 【解答】解：（1）方法1：大正方形的面积为（a+b）2， 方法2：图2中四部分的面积和为：a2+2ab+b2， 因此有（a+b）2＝a2+2ab+b2， （2）由面积拼图可知a2+10ab+25b2＝（a+5b）2， 故答案为：25，（a+5b）， （3）由图形面积之间的关系可得， S阴影＝m2﹣n（m﹣n） ＝m2﹣mn+n2 ＝[（m+n）2﹣3mn] ＝（102﹣3×19） ＝． 26．（10分）如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）求∠FAE的度数； （3）求证：CD＝2BF+DE． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据题意和题目中的条件可以找出△ABC≌△ADE的条件； （2）根据（1）中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到∠FAE的度数； （3）根据题意和三角形全等的知识，作出合适的辅助线即可证明结论成立． 【解答】证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°， ∴∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAD+∠DAE＝90°， ∴∠BAC＝∠DAE， 在△BAC和△DAE中， ， ∴△BAC≌△DAE（SAS）； （2）∵∠CAE＝90°，AC＝AE， ∴∠E＝45°， 由（1）知△BAC≌△DAE， ∴∠BCA＝∠E＝45°， ∵AF⊥BC， ∴∠CFA＝90°， ∴∠CAF＝45°， ∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝45°+90°＝135°； （3）延长BF到G，使得FG＝FB， ∵AF⊥BG， ∴∠AFG＝∠AFB＝90°， 在△AFB和△AFG中， ， ∴△AFB≌△AFG（SAS）， ∴AB＝AG，∠ABF＝∠G， ∵△BAC≌△DAE， ∴AB＝AD，∠CBA＝∠EDA，CB＝ED， ∴AG＝AD，∠ABF＝∠CDA， ∴∠G＝∠CDA， ∵∠GCA＝∠DCA＝45°， 在△CGA和△CDA中， ， ∴△CGA≌△CDA（AAS）， ∴CG＝CD， ∵CG＝CB+BF+FG＝CB+2BF＝DE+2BF， ∴CD＝2BF+DE． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/24 0:30:03；用户：18328501451；邮箱：18328501451；学号：43314264 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$