北京市海淀区教师进修学校附属实验学校 2024-2025学年上学期八年级期中数学试卷

2024-2025学年北京市海淀区教师进修学校附属实验学校八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：（每题2分，共20分） 1．（2分）一个三角形两边的长分别是3和5，则这个三角形第三边的长可能是（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．4 2．（2分）下列图中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（2分）下列运算正确的是（　　） A．x3+x3＝x6 B．x2x3＝x6 C．（x2）3＝x6 D．x6÷x3＝x2 4．（2分）如图∠1，∠2是四边形ABCD的外角，若∠1＝72°，∠2＝108°，则∠A+∠C＝（　　） A．160° B．170° C．180° D．190° 5．（2分）如图，三条公路两两相交，现计划在△ABC中内部修建一个探照灯，要求探照灯的位置到这三条公路的距离都相等，则探照灯位置是△ABC（　　）的交点． A．三条角平分线 B．三条中线 C．三条高的交点 D．三条垂直平分线 6．（2分）如图，AD是△ABC的中线，点E，F分别在AD和AD的延长线上，且DE＝DF，连接BF，CE，则下列说法错误的是（　　） A．△BDF≌△CDE B．△ABD和△ACD周长相等 C．BF∥CE D．△ABD和△ACD面积相等 7．（2分）已知xm＝6，xn＝3，则x2m﹣n的值为（　　） A．9 B．39 C．12 D．108 8．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝30°，将△ABC沿直线l折叠，使点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（　　） A．30° B．40° C．80° D．60° 9．（2分）如图，P为△ABC内一点，过点P的线段MN分别交AB、BC于点M、N，且M、N分别在PA、PC的中垂线上．若∠ABC＝80°，则∠APC的度数为（　　） A．120° B．125° C．130° D．135° 10．（2分）如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复地轴对称变换，若原来点C的坐标是（3，1），则经过第2024次变换后点C的对应点的坐标为（　　） A．（3，1） B．（﹣3，1） C．（﹣3，﹣1） D．（3，﹣1） 二、填空题：（每题3分，共18分） 11．（3分）如图，当自行车停车时，两个轮子和一个支撑脚着地，自行车就不会倒，其中蕴含的数学原理是 　 　． 12．（3分）已知x2+16x+k是完全平方式，则常数k等于　 　． 13．（3分）若点P（m，3）与点Q（1，n）关于y轴对称，则m＝ 　 　；n＝ 　 　． 14．（3分）若x﹣m与2x+3的乘积中不含一次项，则m的值为 　 　． 15．（3分）如图，△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，作BD垂直AD于D，△ACD的面积为8，则△ABC的面积为 　 　． 16．（3分）如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC＝BC，AD＝AO，若∠BAC＝100°，则∠BCA的度数为 　 　． 三、解答题：（共62分） 17．（10分）计算： （1）x3•x5﹣（2x4）2+x10÷x2； （2）[（m+n）（m﹣n）+（m﹣n）2﹣4m（m﹣n）]÷2m． 18．（5分）已知3x2﹣x﹣1＝0，求代数式（2x+5）（2x﹣5）+2x（x﹣1）的值． 19．（6分）如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）． （1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；（要求A与A1，B与B1，C与C1相对应） （2）若有一格点P到点A，B的距离相等，则网格中满足条件的点P有 　 　个； （3）求△ABC的面积． （4）在直线l上找到一点Q，使QB+QC的值最小． 20．（5分）如图，在△ABC中，AD是高，BE是角平分线，它们相交于点F，∠BAC＝58°，∠C＝72°，求∠DAC和∠AFB的度数． 21．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，过D作∠EDF＝∠B，分别与AB，AC相交于点E和点F． （1）求证：∠BED＝∠FDC； （2）若DE＝DF，求证：BE＝CD． 22．（7分）（1）填空： 　 　＝+　 　； （2）若，则＝ 　 　； （3）若a2﹣3a+1＝0．求的值． 23．（6分）在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形． （1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式； （2）利用（1）中的等式解决下列问题． ①已知a2+b2＝10，a+b＝6，求ab的值； ②已知（2021﹣c）（c﹣2019）＝1，求（2021﹣c）2+（c﹣2019）2的值． 24．（6分）如图，在长方形纸片ABCD中，点P在边BC上，将长方形纸片沿AP折叠后，点B的对应点为点B′，PB′交AD于点Q． （1）判断∠DAP和∠APQ的大小关系，并说明理由； （2）连结PD，若PD平分∠QPC，∠PDA＝55°，求∠APB的度数． 25．（7分）在△ABC中，AO、BO分别平分∠BAC、∠ABC． （1）如图1，若∠C＝32°，则∠AOB＝ 　 　； （2）如图2，连结OC，求证：OC平分∠ACB； （3）如图3，若∠ABC＝2∠ACB，AB＝4，AC＝7，求OB的长． 26．（5分）（1）【问题提出】如图1，在Rt△ABC和Rt△CDE，已知∠ACD＝∠B＝∠E＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在一条直线上，AB＝5，DE＝6.5，则BE的长度为 　 　． （2）【问题提出】如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积． （3）【问题解决】某市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境．如图3所示，在河流BD的周边规划一个四边形ABCD巨无霸森林公园，按设计要求，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，AC＝BC，△ACD面积为12km2，且CD的长为6km，则河流另一边森林公园△BCD的面积为 　 　km2． 2024-2025学年北京市海淀区教师进修学校附属实验学校八年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：（每题2分，共20分） 1．（2分）一个三角形两边的长分别是3和5，则这个三角形第三边的长可能是（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．4 【考点】三角形三边关系．版权所有 【答案】D 【分析】先根据三角形的三边关系求出x的取值范围，再求出符合条件的x的值即可． 【解答】解：设三角形第三边的长为x，则： 5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8， 只有选项D符合题意． 故选：D． 2．（2分）下列图中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【考点】轴对称图形．版权所有 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 【解答】解：选项A、B、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 故选：C． 3．（2分）下列运算正确的是（　　） A．x3+x3＝x6 B．x2x3＝x6 C．（x2）3＝x6 D．x6÷x3＝x2 【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．版权所有 【答案】C 【分析】原式各项计算得到结果，即可做出判断． 【解答】解：A、原式＝2x3，错误； B、原式＝x5，错误； C、原式＝x6，正确； D、原式＝x3，错误． 故选：C． 4．（2分）如图∠1，∠2是四边形ABCD的外角，若∠1＝72°，∠2＝108°，则∠A+∠C＝（　　） A．160° B．170° C．180° D．190° 【考点】多边形内角与外角．版权所有 【答案】C 【分析】根据∠ABC＝180°﹣∠1，∠ADC＝180°﹣∠2，∠A+∠C＝360°﹣∠ABC﹣∠ADC，计算求解即可． 【解答】解：由题意知，∠ABC＝180°﹣∠1＝108°，∠ADC＝180°﹣∠2＝72°， ∴∠A+∠C＝360°﹣∠ABC﹣∠ADC＝180°， 故选：C． 5．（2分）如图，三条公路两两相交，现计划在△ABC中内部修建一个探照灯，要求探照灯的位置到这三条公路的距离都相等，则探照灯位置是△ABC（　　）的交点． A．三条角平分线 B．三条中线 C．三条高的交点 D．三条垂直平分线 【考点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．版权所有 【答案】A 【分析】根据角平分线的性质进行判断． 【解答】解：∵探照灯的位置到这三条公路的距离都相等， ∴探照灯位置是△ABC三条角平分线的交点． 故选：A． 6．（2分）如图，AD是△ABC的中线，点E，F分别在AD和AD的延长线上，且DE＝DF，连接BF，CE，则下列说法错误的是（　　） A．△BDF≌△CDE B．△ABD和△ACD周长相等 C．BF∥CE D．△ABD和△ACD面积相等 【考点】全等三角形的判定；三角形的面积．版权所有 【答案】B 【分析】本题先证明△BDF≌△CDE可判断A，由全等三角形的性质可得∠DBF＝∠DCE，可判断C，由AD为三角形的中线可判断B，D，从而可得答案． 【解答】解：∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， 又∠CDE＝∠BDF，DE＝DF， ∴△BDF≌△CDE，故A不符合题意． ∴∠DBF＝∠DCE， ∴BF∥CE，故C不符合题意； ∵AB≠AC，BD＝CD， ∴△ABD和△ACD周长不相等，△ABD和△ACD面积相等，故B符合题意，D不符合题意， 故选：B． 7．（2分）已知xm＝6，xn＝3，则x2m﹣n的值为（　　） A．9 B．39 C．12 D．108 【考点】同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方．版权所有 【答案】C 【分析】先将x2m﹣n变形为（xm）2÷xn，然后将xm＝6，xn＝3代入求解即可． 【解答】解：∵xm＝6，xn＝3， ∴x2m﹣n ＝（xm）2÷xn ＝62÷3 ＝12． 故选：C． 8．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝30°，将△ABC沿直线l折叠，使点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（　　） A．30° B．40° C．80° D．60° 【考点】轴对称的性质；三角形的外角性质．版权所有 【答案】D 【分析】由轴对称的性质得出∠C＝∠D，再由∠1＝∠C+∠3，∠3＝∠2+∠D，即可得到∠1＝∠2+∠C+∠D＝∠2+2∠C，从而求出答案． 【解答】解：由题意得：∠C＝∠D， ∵∠1＝∠C+∠3，∠3＝∠2+∠D， ∴∠1＝∠2+∠C+∠D＝∠2+2∠C， ∴∠1﹣∠2＝2∠C＝60°． 故选：D． 9．（2分）如图，P为△ABC内一点，过点P的线段MN分别交AB、BC于点M、N，且M、N分别在PA、PC的中垂线上．若∠ABC＝80°，则∠APC的度数为（　　） A．120° B．125° C．130° D．135° 【考点】线段垂直平分线的性质．版权所有 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理求出∠BMN+∠BNM，根据线段垂直平分线的性质得到MA＝MP，NC＝NP，根据等腰三角形的性质得到∠MPA＝∠MAP，∠NPC＝∠NCP，计算即可． 【解答】解：∵∠ABC＝80°， ∴∠BMN+∠BNM＝180°﹣80°＝100°， ∵M、N分别在PA、PC的中垂线上， ∴MA＝MP，NC＝NP， ∴∠MPA＝∠MAP，∠NPC＝∠NCP， ∴∠MPA+∠NPC＝（∠BMN+∠BNM）＝50°， ∴∠APC＝180°﹣50°＝130°， 故选：C． 10．（2分）如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复地轴对称变换，若原来点C的坐标是（3，1），则经过第2024次变换后点C的对应点的坐标为（　　） A．（3，1） B．（﹣3，1） C．（﹣3，﹣1） D．（3，﹣1） 【考点】坐标与图形变化﹣对称；规律型：点的坐标．版权所有 【答案】A 【分析】由题意知，每经过4次变换后点C回到原来的位置，且经过第2024次变换与经过第4次变换后点C的对应点相同，进而可得答案． 【解答】解：由题意知，每经过4次变换后点C回到原来的位置，坐标是（3，1）． ∵2024＝4×506， ∴经过第2024次变换与经过第4次变换后点C的对应点相同， ∴经过第2024次变换后点C的对应点的坐标为（3，1）． 故选：A． 二、填空题：（每题3分，共18分） 11．（3分）如图，当自行车停车时，两个轮子和一个支撑脚着地，自行车就不会倒，其中蕴含的数学原理是 　三角形具有稳定性　． 【考点】三角形的稳定性．版权所有 【答案】三角形具有稳定性． 【分析】根据三角形具有稳定性解答． 【解答】解：蕴含的数学原理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 12．（3分）已知x2+16x+k是完全平方式，则常数k等于　64　． 【考点】完全平方式．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到k的值． 【解答】解：∵x2+16x+k是完全平方式， ∴k＝64． 故答案为：64 13．（3分）若点P（m，3）与点Q（1，n）关于y轴对称，则m＝ 　﹣1　；n＝ 　3　． 【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】直接利用关于y轴对称点的性质，进而得出答案． 【解答】解：∵点P（m，3）与点Q（1，n）关于y轴对称， ∴m＝﹣1，n＝3， 故答案为：﹣1，3． 14．（3分）若x﹣m与2x+3的乘积中不含一次项，则m的值为 　　． 【考点】多项式乘多项式；合并同类项．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意列出相应的式子，利用多项式乘多项式的法则进行运算，再根据不含一次项，则一次项的系数为0，即可求m的值． 【解答】解：由题意得：（x﹣m）（2x+3） ＝2x2+3x﹣2mx﹣3m ＝2x2+（3﹣2m）x﹣3m， ∵式子不含一次项， ∴3﹣2m＝0， 解得：m＝． 故答案为：． 15．（3分）如图，△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，作BD垂直AD于D，△ACD的面积为8，则△ABC的面积为 　16　． 【考点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．版权所有 【答案】16． 【分析】如图所示，延长BD交AC于E，利用ASA证明△ADB≌△ADE，得到BD＝DE，进而推出S△ADB＝S△ADE，S△EDC＝S△BDC，即可得到答案． 【解答】解：如图所示，延长BD交AC于E， ∵AD为∠BAC的角平分线，AD⊥BD， ∴∠BAD＝∠EAD，∠ADB＝∠ADE＝90°， 又∵AD＝AD， ∴△ADB≌△ADE（ASA）， ∴BD＝DE， ∴S△ADB＝S△ADE，S△EDC＝S△BDC， ∵S△ABC＝S△ADB+S△ADE+S△EDC+S△BDC， ∴， 即S△ABC＝2S△ACD＝16， 故答案为：16． 16．（3分）如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC＝BC，AD＝AO，若∠BAC＝100°，则∠BCA的度数为 　30°　． 【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】由角平分线的定义得∠BAO＝∠CAO，∠ABO＝∠CBO，∠BCO＝DCO，边角边证明△BCO≌△DCO，其性质求得∠CBO＝∠D；等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理求得∠BCA的度数为30°． 【解答】解：∵AO、BO、CO是△ABC三个内角的平分线， ∴∠BAO＝∠CAO，∠ABO＝∠CBO，∠BCO＝∠DCO， 在△BCO和△DCO中， ， ∴△BCO≌△DCO（SAS）， ∴∠CBO＝∠D， 又∵∠BAC＝100°， ∴∠CAO＝＝， 又∵AD＝AO， ∴∠D＝∠AOD， 又∵∠CAO＝∠D+∠AOD， ∴∠D＝＝＝25°， ∴∠CBO＝25°， ∴∠CBA＝50°， 又∵∠BAC+∠ABC+∠BCA＝180°， ∴∠BCA＝180°﹣100°﹣50°＝30°， 故答案为30°． 三、解答题：（共62分） 17．（10分）计算： （1）x3•x5﹣（2x4）2+x10÷x2； （2）[（m+n）（m﹣n）+（m﹣n）2﹣4m（m﹣n）]÷2m． 【考点】整式的混合运算．版权所有 【答案】（1）﹣2x8； （2）﹣m+n． 【分析】（1）先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答； （2）先利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式的法则计算括号里，再算括号外，即可解答． 【解答】解：（1）x3•x5﹣（2x4）2+x10÷x2 ＝x8﹣4x8+x8 ＝﹣2x8； （2）[（m+n）（m﹣n）+（m﹣n）2﹣4m（m﹣n）]÷2m ＝（m2﹣n2+m2﹣2mn+n2﹣4m2+4mn）÷2m ＝（﹣2m2+2mn）÷2m ＝﹣m+n． 18．（5分）已知3x2﹣x﹣1＝0，求代数式（2x+5）（2x﹣5）+2x（x﹣1）的值． 【考点】整式的混合运算—化简求值．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】首先利用多项式乘以多项式、多项式乘以单项式进行计算，然后再合并同类项，化简后，再代入求值即可． 【解答】解：原式＝4x2﹣25+2x2﹣2x＝6x2﹣2x﹣25， ∵3x2﹣x﹣1＝0， ∴3x2﹣x＝1． ∴原式＝2（3x2﹣x）﹣25＝2×1﹣25＝﹣23． 19．（6分）如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）． （1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；（要求A与A1，B与B1，C与C1相对应） （2）若有一格点P到点A，B的距离相等，则网格中满足条件的点P有 　4　个； （3）求△ABC的面积． （4）在直线l上找到一点Q，使QB+QC的值最小． 【考点】作图﹣轴对称变换；轴对称﹣最短路线问题；线段垂直平分线的性质；勾股定理．版权所有 【答案】（1）见解答； （2）4； （3）5； （6）见解答． 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可； （2）利用网格，作线段AB的垂直平分线，所经过的格点即为满足条件的点P的位置； （3）根据割补法即可求得三角形的面积； （4）连接CB1，交直线l于点Q，连接BQ，此时QB+QC的值最小． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求； （2）由图可知，P1，P2，P3，P4满足到点A，B的距离相等， ∴网格中满足条件的点P有4个． 故答案为：4； （3）S＝5； （4）如图，点Q即为所求． 20．（5分）如图，在△ABC中，AD是高，BE是角平分线，它们相交于点F，∠BAC＝58°，∠C＝72°，求∠DAC和∠AFB的度数． 【考点】三角形内角和定理．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】由高线可得∠ADC＝90°，由三角形的内角和可求得∠ABC＝50°，∠DAC＝18°，从而可求得∠BAD＝40°，再利用角平分线的定义可得∠ABF＝25°，再次利用三角形的内角和即可求∠AFB的度数． 【解答】解：∵AD是高， ∴∠ADC＝90°， ∵∠BAC＝58°，∠C＝72°， ∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝50°， ∠DAC＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝18°， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝40°， ∵BE是∠ABC的平分线， ∴∠ABF＝∠ABC＝25°， ∴∠AFB＝180°﹣∠ABF﹣∠BAD＝115°． 21．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，过D作∠EDF＝∠B，分别与AB，AC相交于点E和点F． （1）求证：∠BED＝∠FDC； （2）若DE＝DF，求证：BE＝CD． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据三角形的内角和定理和平角的定义即可得到结论； （2）根据全等三角形 的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】证明：（1）∵∠BED＝180°﹣∠B﹣∠BDE，∠FDC＝180°﹣∠EDF﹣∠BDE，∠EDF＝∠B， ∴∠BED＝∠FDC； （2）∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 在△BDE与△CFD中， ， ∴△DBE≌△CFD（AAS）， ∴BE＝CD． 22．（7分）（1）填空： 　2　＝+　2　； （2）若，则＝ 　23　； （3）若a2﹣3a+1＝0．求的值． 【考点】分式的化简求值；完全平方公式．版权所有 【答案】（1）2，2； （2）23； （3）7． 【分析】（1）根据完全平方公式计算即可； （2）根据（1）中结论计算，得到答案； （3）根据等式的性质得到a+＝3，计算即可． 【解答】解：（1）∵（x+）2＝x2+2+，（x﹣）2＝x2﹣2+， ∴x2+＝（x+）2﹣2＝（x﹣）2+2， 故答案为：2，2； （2）∵a+＝5， ∴（a+）2＝25， ∴a2+＝（a+）2﹣2＝23， 故答案为：23； （3）∵a2﹣3a+1＝0， ∴a2+1＝3a， ∴a+＝3， ∴（a+）2＝9， ∴a2+＝（a+）2﹣2＝7． 23．（6分）在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形． （1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式； （2）利用（1）中的等式解决下列问题． ①已知a2+b2＝10，a+b＝6，求ab的值； ②已知（2021﹣c）（c﹣2019）＝1，求（2021﹣c）2+（c﹣2019）2的值． 【考点】整式的混合运算—化简求值；完全平方公式的几何背景；完全平方式．版权所有 【答案】（1）x2+y2＝（x+y）2﹣2xy； （2）①13； ②2． 【分析】（1）利用面积法进行计算，即可解答； （2）①利用（1）的结论可得：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，然后进行计算即可解答； ②设2021﹣c＝a，c﹣2019＝b，则a+b＝2，ab＝1，然后利用（1）的结论进行计算即可解答． 【解答】解：（1）由题意得：阴影部分的面积＝x2+y2＝（x+y）2﹣2xy， 即x2+y2＝（x+y）2﹣2xy； （2）①由（1）可得：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab， ∵a2+b2＝10，a+b＝6， ∴10＝36﹣2ab，解得：ab＝13； ②设2021﹣c＝a，c﹣2019＝b， ∴a+b＝2021﹣c+c﹣2019＝2， ∵（2021﹣c）（c﹣2019）＝1， ∴ab＝1， ∵（2021﹣c）2+（c﹣2019）2＝a2+b2 ＝（a+b）2﹣2ab ＝4﹣2×1 ＝4﹣2 ＝2． 24．（6分）如图，在长方形纸片ABCD中，点P在边BC上，将长方形纸片沿AP折叠后，点B的对应点为点B′，PB′交AD于点Q． （1）判断∠DAP和∠APQ的大小关系，并说明理由； （2）连结PD，若PD平分∠QPC，∠PDA＝55°，求∠APB的度数． 【考点】翻折变换（折叠问题）；平行线的性质．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）利用折叠的性质可得∠APB＝∠APQ，然后利用长方形的性质可得AD∥BC，从而可得∠APB＝∠DAP，进而可得∠DAP＝∠APQ，即可解答； （2）先利用角平分线的性质可得∠DPC＝∠DPQ，然后利用平行线的性质可得∠DPC＝∠PDA＝55°，从而可得∠DPQ＝∠DPC＝55°，再利用平角定义可得∠BPQ＝70°，从而可得∠APB＝35°，即可解答． 【解答】解：（1）∠DAP＝∠APQ， 理由：∵长方形纸片ABCD沿AP折叠， ∴∠APB＝∠APQ， ∵四边形ABCD是长方形， ∴AD∥BC， ∴∠APB＝∠DAP， ∴∠DAP＝∠APQ； （2）∵PD平分∠QPC， ∴∠DPC＝∠DPQ， ∵AD∥BC， ∴∠DPC＝∠PDA＝55°， ∴∠DPQ＝∠DPC＝55°， ∴∠BPQ＝180°﹣∠DPC﹣∠DPQ＝70°， ∵∠APB＝∠QPA， ∴． 25．（7分）在△ABC中，AO、BO分别平分∠BAC、∠ABC． （1）如图1，若∠C＝32°，则∠AOB＝ 　106°　； （2）如图2，连结OC，求证：OC平分∠ACB； （3）如图3，若∠ABC＝2∠ACB，AB＝4，AC＝7，求OB的长． 【考点】三角形综合题．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据三角形的内角和定理得到∠CAB+∠CBA＝180°﹣∠C＝148°，根据角平分线的定义得到∠BAO+∠ABO＝（∠BAC+∠ABC）＝，根据三角形 的内角和定理得到∠AOB＝180°﹣（∠BAO+∠ABO）＝180°﹣74°＝106°； （2）如图2，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，OG⊥BC于G，根据角平分线的性质和角平分线的定义即可得到结论； （3）解：在AC上截取AM＝AB，连接OM，根据角平分线的定义得到∠BAO＝∠MAO，根据全等三角形的性质得到OM＝OB，∠AMO＝∠ABO，根据等腰三角形 的判定和性质即可得到结论． 【解答】（1）解：∵∠C＝32°， ∴∠CAB+∠CBA＝180°﹣∠C＝148°， ∵AO、BO分别平分∠BAC、∠ABC， ∴∠BAO＝BAC，∠ABO＝ABC， ∴∠BAO+∠ABO＝（∠BAC+∠ABC）＝， ∴∠AOB＝180°﹣（∠BAO+∠ABO）＝180°﹣74°＝106°， 故答案为：106°； （2）证明：如图2，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，OG⊥BC于G， ∵AO、BO分别平分∠BAC、∠ABC， ∴OE＝OF，OE＝OG， ∴OF＝OG， ∴OC平分∠ACB； （3）解：在AC上截取AM＝AB，连接OM， ∵AO平分∠BAC， ∴∠BAO＝∠MAO， ∵AO＝AO， ∴△BAO≌△MAO（SAS）， ∴OM＝OB，∠AMO＝∠ABO， ∵BO平分∠ABC，OC平分∠ACB， ∴∠ABO＝ABC，∠ACO＝ACB， ∵∠ABC＝2∠ACB， ∴∠ABO＝2∠ACO， ∴∠AMO＝∠MOC+∠MCO＝2∠ACO， ∴∠MOC＝∠MCO， ∴OM＝CM＝AC﹣AM＝AC﹣AB＝3， ∴OB＝3． 26．（5分）（1）【问题提出】如图1，在Rt△ABC和Rt△CDE，已知∠ACD＝∠B＝∠E＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在一条直线上，AB＝5，DE＝6.5，则BE的长度为 　11.5　． （2）【问题提出】如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积． （3）【问题解决】某市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境．如图3所示，在河流BD的周边规划一个四边形ABCD巨无霸森林公园，按设计要求，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，AC＝BC，△ACD面积为12km2，且CD的长为6km，则河流另一边森林公园△BCD的面积为 　6　km2． 【考点】四边形综合题．版权所有 【答案】（1）11.5； （2）8； （3）6． 【分析】（1）证明△ABC≌△CED（AAS），得AB＝CE＝5，BC＝ED＝6.5，进而可以解决问题； （2）过D作DE⊥BC交BC延长线于E，证明△ABC≌△CED（AAS），得BC＝ED＝4，进而可以求△BCD的面积； （3）过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD交DC延长线于F，根据△ACD面积为12km2，且CD的长为6km，得AE＝4km，证明△ADE是等腰直角三角形，再根据∠ABC＝∠CAB＝45°，可得∠ACB＝90°，AC＝BC，证明△ACE≌△CBF（AAS），可得BF＝CE＝2km，进而可以解决问题． 【解答】解：（1）∵∠ACD＝∠B＝90°， ∴∠A＝90°﹣∠ACB＝∠DCE， 在△ABC和△CED中， ， ∴△ABC≌△CED（AAS）， ∴AB＝CE＝5，CB＝DE＝6.5， ∴BE＝CB+CE＝11.5； 故答案为：11.5； （2）如图，过D作DE⊥BC交BC延长线于E， ∵CD⊥AC， ∴∠E＝∠ACD＝90°， ∴∠ACB＝90°﹣∠DCE＝∠CDE， 在△ABC和△CED中， ， ∴△ABC≌△CED（AAS）， ∴BC＝ED＝4， ∴S△BCD＝BC•DE＝8； （3）如图，过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD交DC延长线于F， ∵△ACD面积为12km2，且CD的长为6km， ∴6•AE＝12， ∴AE＝4km， ∵∠ADC＝45°，AE⊥CD， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴DE＝AE＝4km， ∴CE＝CD﹣DE＝2km， ∵∠ABC＝∠CAB＝45°， ∴∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠ACE＝90°﹣∠BCF＝∠CBF， 在△ACE和△CBF中， ， ∴△ACE≌△CBF（AAS）， ∴BF＝CE＝2km， ∴S△BCD＝CD•BF＝6×2＝6（km2）． ∴河流另一边森林公园△BCD的面积为6km2． 故答案为：6． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/24 0:03:49；用户：15008208124；邮箱：15008208124；学号：60148633 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$