精品解析：安徽省芜湖市无为市 2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

九年级数学 上册21.1~24.1 说明：共8大题，计23小题，满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是特合题目要求的． 1. 对于一元二次方程，若二次项系数是2，则下列说法错误的是（ ） A. 二次项是 B. 一次项是 C. 常数项是1 D. 是它的一个根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的根，化为一般式可判断A，B，C，把代入方程验证可判断D． 【详解】解：∵， ∴． A．二次项是，正确； B．一次项是，正确； C．常数项是1，正确； D．当时，，所以不是它的一个根，故不正确； 故选D． 2. 若关于的函数的图象是抛物线，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握形如（为常数，且）的函数叫做二次函数，其图象为抛物线是解题关键．根据据二次函数的定义求解即可． 【详解】解：∵关于的函数的图象是抛物线， ∴，， ∴． 故选A． 3. 下列运动属于旋转的是（ ） A. 运动员投掷标枪 B. 火箭升空 C. 飞驰的动车 D. 钟表的钟摆的运动 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转的定义，熟练掌握旋转的定义是解题的关键； 在平面内，把一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转． 【详解】解：根据旋转的定义可以知道钟表的钟摆的运动是旋转； 运动员投掷标枪、火箭升空的运动、飞驰的动车都是平移， 故选：D 4. 如图，在中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了同弧所对的圆周角相等，利用同弧所对的圆周角相等得到． 【详解】解：∵ ∴． 故选：C． 5. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】题目主要考查抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键． 根据与y轴交点坐标的特点，即时，求解即可． 【详解】解：， 当时，， ∴与轴的交点坐标为， 故选：B． 6. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. 0 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式，解出c即可． 【详解】根据题意得：， 解得：． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，对于一般形式有：（1）当，方程有两个不相等的实数根；（2）当，方程有两个相等的实数根；（3）当，方程没有实数根． 7. 如图，是的直径，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键． 根据圆周角定理得出，再根据平角的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：B． 8. 在平面直角坐标系中，将抛物线绕顶点旋转得到新抛物线，再将新抛物线沿轴翻折得到抛物线，则，，的值分别是（ ） A. 2，，11 B. 2，，5 C. ，，11 D. ，8，5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与几何变换，由题意得出，结合题意得出抛物线的顶点坐标为，求出点关于轴对称的点的坐标为，结合二次函数的性质即可得解，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数关于轴对称的图象，再绕图象的顶点旋转，所得抛物线与抛物线的开口方向相同， ∴， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵点关于轴对称的点的坐标为， ∴最后得到的抛物线的解析式为， ∴． 故选：A． 9. 如图，这是的正方形网格，选择一空白小正方形，其与阴影部分组成的图形是中心对称图形的情况有（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可． 【详解】解：如图所示： 共有2种方法， 故选：B． 10. 已知二次函数的图象如图所示，是函数图象上的两点，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据二次函数与x轴有两个不相同的交点即可判断A；根据当时，，即可判断B；由于的位置不确定，并不能判断的大小关系，即可判断C；根据对称性即可判断D． 【详解】解：A、由函数图象可知，二次函数与x轴有两个不相同的交点，则，原结论错误，不符合题意； B、∵当时，， ∴，原结论错误，不符合题意； C、∵并不确定的位置， ∴由不能得到，原结论错误，不符合题意； D、∵对称轴为直线， ∴若，则，原结论正确，符合题意； 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 一元二次方程的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】先移项，再直接开平方即可求解． 【详解】解：移项，得：， 直接开平方，得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直接开平方解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握平方根的定义． 12. 四边形是的内接四边形， ， 则____________． 【答案】##135度 【解析】 【分析】根据圆内接四边形对角互补，再结合已知条件求解即可． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴ ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形对角互补是解答本题的关键． 13. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意如下：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．设这批椽的数量为，则根据题意可列一元二次方程：______（化为一般式）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列一元二次方程，先求出每椽的价格，再计算出少拿一株椽后的运费，根据少拿一株椽后的运费恰好等于一株椽的价钱建立等式，即可得到答案． 【详解】解：设这批椽的数量为， 则每株椽的价格为：元， 根据题意得：， 整理得：， 故答案为：． 14. 从地面竖直向上抛出一小球，根据物理学规律，小球的高度（单位：与小球的运动时间（单位：之间的关系式是． （1）小球运动时的高度______小球运动时的高度．（填“>”“<”或“=”） （2）小球运动中的最大高度是______m． 【答案】 ①. ②. 45 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意列出函数关系式： （1）分别把和代入解析式求出h的值，再比较即可； （2）把解析式化成顶点式，求出顶点坐标即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， ， 小球运动时的高度＞小球运动时的高度； 故答案为：； （2）， 所以当时，h有最大值，最大值为45， 故答案为：45． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，等式左边利用提公因式法进行因式分解，进而求出方程的解即可． 【详解】解：原方程变形，得， 则或， 解得：． 16. 如图，将绕着顶点逆时针旋转后得到，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，角度的计算，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质得，再根据角的和差即可得出结果． 【详解】解：绕着顶点逆时针旋转后得到， ． ， ． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，其中的顶点的坐标分别为． （1）画出关于原点成中心对称的图形（点分别为的对应点），并直接写出点的坐标． （2）将绕点逆时针旋转得到（点分别为的对应点）画出，并直接写出点的坐标． 【答案】（1） 如图所示， 点的坐标为 （2） 如图所示， 点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了作图-中心对称和旋转变换，熟练掌握中心对称图形的性质和旋转的性质是解题的关键． （1）根据中心对称图形的性质，分别作出A，B，C三点的对应点，再依次连接即可，然后根据直角坐标系写出坐标即可； （2）根据旋转的性质，分别作出A，B，C三点的对应点，再依次连接即可，然后根据直角坐标系写出坐标即可． 【小问1详解】 解：点的坐标为． 【小问2详解】 解：点的坐标为． 18. 化学是一门以实验为基础的学科，小华在化学老师的帮助下，学会了用高锰酸钾制取氧气的实验，回到班上后，第一节课手把手教会了同一个学习小组的名同学做该实验，第二节课小华因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班43名同学恰好都会做这个实验了．求的值． 【答案】的值为6 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解题目中数量关系，掌握一元二次方程的运用是解题的关键． 小华第一节课手把手教会了同一个学习小组的名同学做该实验，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，全班43名同学恰好都会做，由此数量关系列式即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得（不符合题意，舍去）， 答：的值为6． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． （1）利用图象回答：当时，请直接写出的取值范围． （2）将该抛物线向右平移个单位长度，该函数图象恰好经过原点，请直接写出的值． （3）将线段绕着点顺时针旋转后，点的对应点恰好是抛物线与轴的交点，求该抛物线的解析式． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，待定系数法求函数解析式，一元二次方程，平移变换等知识， （1）根据图象直接写出的取值范围即可； （2）设抛物线，再写出抛物线向右平移个单位长度后的解析式，再由函数图象恰好经过原点，列关于m的一元二次方程，解方程即可； （3）由题意得，进而可得，设抛物线，将代入得出a的值，进而可得抛物线的解析式． 【小问1详解】 解：由图象可得，当时，； 【小问2详解】 解：∵抛物线经过点和点， ∴可设抛物线， 将抛物线向右平移个单位长度后得，， ∵平移后的函数图象恰好经过原点， ∴， ∵， ∴， 解得：或， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：由题意得，， ∵， ∴， 设抛物线， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为． 20. 如图，在⊙O中，是上的点（不与点重合），连接并延长至点，连接并延长至点．连接． （1）求证：． （2）若的面积为27，求的半径． 【答案】（1） 证明：点均在上， 四边形为圆内接四边形， ． 又． ∴， ， 又， （2）的半径为5 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理的推论，垂径定理，勾股定理等知识．正确作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键． （1）由四边形为圆内接四边形，得到，进而可得，再根据同弧(或等弧)所对圆周角相等得出，由对顶角相等可得，进而证明结论； （2）过点作于点，连接，根据垂径定理可知点O在上，，由求出，设，则．根据在中， ，列方程即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，过点作于点． 为的垂直平分线， 点在上， ． ，即， ，解得． 设，则． 在中，由勾股定理得， 即，解得， 的半径为5． 六、（本题满分12分） 21. 如图，在等边中，为的中点，是上的一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）求证：三点共线． （2）若，求的面积． 【答案】（1） 证明：如图，过点作，交于点． 是等边三角形， ． ， ， 是等边三角形， ． 是的中点， ， ． 旋转， ， ， 即． 在和中，， ， ． ， ， 三点共线． （2）的面积为 【解析】 【分析】（1）过点作，交于点，根据等边三角形的性质及平行线的性质可推出是等边三角形，再根据等边三角形的性质及中点的定义可得出，然后根据旋转的性质及角的关系再利用可证明，最后根据全等三角形的性质及角的关系即可得证； （2）如图，连接，先根据全等三角形的性质及等量代换可得出，再根据等边三角形的性质可得出，然后根据勾股定理即可得出，最后根据三角形的面积公式即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接． 由（1）知， ． ， ， ． 由（1）知为等边三角形， ， 为等边三角形， ， ． ， ． 是的中点， ， 在中，由勾股定理得， 的面积为． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、旋转的性质及勾股定理，熟练掌握性质是解题的关键． 七、（本题满分12分） 22. 如图1，草坪地面上有一个可垂直升降的草坪喷灌器，喷水口可上下移动，喷出的抛物线形水线也随之上下平移，图2是其示意图．开始喷水后，若喷水口在点处，水线落地点为，；若喷水口上升到点处，水线落地点为． （1）若喷水口在点处，求水线最高点与点之间的水平距离． （2）当喷水口在点处时，求水线的最大高度． （3）若喷水口从点处向上平移到点处，水线落地点为，求的长． 【答案】（1）水线最高点与点之间的水平距离为 （2）当喷水口在点处时，水线的最大高度为 （3）的长为 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，正确理解题意是解题的关键： （1）以为单位长度，点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．得出点的坐标为，点坐标为，点的坐标为，进而可得出答案； （2）设喷水口在点处时，喷出的抛物线形水线的解析式为．将坐标代入即可得出答案； （3）根据抛物线形水线的解析式为，当时，求出，进而可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，以为单位长度，点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系． ， 点的坐标为，点坐标为， 若喷水口在点处，水线抛物线的对称轴为直线． 点的坐标为， 水线最高点与点之间的水平距离为． 【小问2详解】 设喷水口在点处时，喷出的抛物线形水线的解析式为． 经过点，对称轴与过点的抛物线的对称轴相同， 解得 ． 当时，， 当喷水口在点处时，水线的最大高度为． 【小问3详解】 喷水口从点处向上平移到点处， 抛物线形水线的解析式为． 当时， 解得， 点的坐标为 的长为． 八、（本题满分14分） 23. 综合与实践 在中，，将线段绕点逆时针旋转至，旋转角记为，连接，过点作，交直线于点，连接． 特例感知 （1）如图1，当时，的度数为______． 类比迁移 （2）如图2，当时． ①求证：． ②求证：． 拓展延伸 （3）如图3，当，且时，求的长． 【答案】（1）； （2）①证明：∵旋转 ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴在等腰中，， ∴， ∵，即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ②证明：如图所示，过点作，交于点， ∴， ∴， ∴， 由①可知，， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴， 在等腰直角中，， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可得是等边三角形，，可得，是等腰三角形，则有，所以，根据，可得是等腰直角三角形，由即可求解； （2）①根据旋转的性质可得是等腰三角形，得到，，由题意可得，是等腰三角形，得到，则有，根据，得到是等腰直角三角形，由此即可求解； ②如图所示，过点作，交于点，可证，得到，在等腰直角中，，由，即可求证； （3）如图所示，过点作延长线于点，可证，得到，，，则，根据，，设点到的高为，则有，可得，由此即可求解． 【详解】解：特例感知（1）将线段绕点逆时针旋转至，旋转角记为，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 类比迁移（2）①略 ②略 拓展延伸（3）如图所示，过点作延长线于点， ∴， ∴， ∴， 在四边形中，，即， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴，则， ∵，，设点到的高为， ∴，， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，理解旋转中图形的变化，角度的关系，掌握全等三角形的判定和性质，构造三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 上册21.1~24.1 说明：共8大题，计23小题，满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是特合题目要求的． 1. 对于一元二次方程，若二次项系数是2，则下列说法错误的是（ ） A. 二次项是 B. 一次项是 C. 常数项是1 D. 是它的一个根 2. 若关于的函数的图象是抛物线，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 0 3. 下列运动属于旋转的是（ ） A. 运动员投掷标枪 B. 火箭升空 C. 飞驰的动车 D. 钟表的钟摆的运动 4. 如图，在中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. 0 B. 3 C. 6 D. 9 7. 如图，是的直径，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，将抛物线绕顶点旋转得到新抛物线，再将新抛物线沿轴翻折得到抛物线，则，，的值分别是（ ） A. 2，，11 B. 2，，5 C. ，，11 D. ，8，5 9. 如图，这是的正方形网格，选择一空白小正方形，其与阴影部分组成的图形是中心对称图形的情况有（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 10. 已知二次函数的图象如图所示，是函数图象上的两点，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 一元二次方程的解为________． 12. 四边形是的内接四边形， ， 则____________． 13. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意如下：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．设这批椽的数量为，则根据题意可列一元二次方程：______（化为一般式）． 14. 从地面竖直向上抛出一小球，根据物理学规律，小球的高度（单位：与小球的运动时间（单位：之间的关系式是． （1）小球运动时的高度______小球运动时的高度．（填“>”“<”或“=”） （2）小球运动中的最大高度是______m． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 16. 如图，将绕着顶点逆时针旋转后得到，若，求的度数． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，其中的顶点的坐标分别为． （1）画出关于原点成中心对称的图形（点分别为的对应点），并直接写出点的坐标． （2）将绕点逆时针旋转得到（点分别为的对应点）画出，并直接写出点的坐标． 18. 化学是一门以实验为基础的学科，小华在化学老师的帮助下，学会了用高锰酸钾制取氧气的实验，回到班上后，第一节课手把手教会了同一个学习小组的名同学做该实验，第二节课小华因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班43名同学恰好都会做这个实验了．求的值． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． （1）利用图象回答：当时，请直接写出的取值范围． （2）将该抛物线向右平移个单位长度，该函数图象恰好经过原点，请直接写出的值． （3）将线段绕着点顺时针旋转后，点的对应点恰好是抛物线与轴的交点，求该抛物线的解析式． 20. 如图，在⊙O中，是上的点（不与点重合），连接并延长至点，连接并延长至点．连接． （1）求证：． （2）若的面积为27，求的半径． 六、（本题满分12分） 21. 如图，在等边中，为的中点，是上的一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）求证：三点共线． （2）若，求的面积． 七、（本题满分12分） 22. 如图1，草坪地面上有一个可垂直升降的草坪喷灌器，喷水口可上下移动，喷出的抛物线形水线也随之上下平移，图2是其示意图．开始喷水后，若喷水口在点处，水线落地点为，；若喷水口上升到点处，水线落地点为． （1）若喷水口在点处，求水线最高点与点之间的水平距离． （2）当喷水口在点处时，求水线的最大高度． （3）若喷水口从点处向上平移到点处，水线落地点为，求的长． 八、（本题满分14分） 23. 综合与实践 在中，，将线段绕点逆时针旋转至，旋转角记为，连接，过点作，交直线于点，连接． 特例感知 （1）如图1，当时，的度数为______． 类比迁移 （2）如图2，当时． ①求证：． ②求证：． 拓展延伸 （3）如图3，当，且时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $