精品解析：山东省日照市2024-2025学年高一上学期11月期中校际联合考试数学试题

2024级高一上学期期中校际联合考试 数学试题 2024.11 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结桌，将试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解出集合，利用交集的定义可得出集合. 【详解】因为，，则. 故选：C. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可求解. 【详解】“，”的否定是： ，， 故选：D 3. 已知函数，下列区间中，一定包含零点的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据零点存在性定理即可求解. 【详解】由于均在上单调递增，故函数在上单调递增，且连续， ， 因此定包含零点的区间是， 故选：B 4. 用长的铁丝折成一个矩形，则该矩形面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设该矩形相邻的两边长为，列出等量关系，然后结合均值不等式求解即可. 【详解】设该矩形相邻的两边长为，则，即. 由，，则，得， 当且仅当时，等号成立. 故该矩形面积的最大值为. 故选：A. 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到，再解不等式组即可. 【详解】根据题意可得，解得且． 故选：C 6. 已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若，则的解集是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用的奇偶性与单调性求得与的解，从而分类讨论即可得解. 【详解】因为是定义在上的偶函数，所以， 又在上是增函数，， 当时，不成立； 当时，由，得，则，故或； 由，得，则，故或； 而由，得或，解得或， 即的解集为. 故选：A. 7. 关于x的方程有4个不同的解，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由可得，转化为与的图象有4个不同的交点，作出，数形结合即可求解. 【详解】由可得， 令 ， 若关于x的方程有4个不同的解， 则与的图象有4个不同的交点， 是偶函数， 当时， 在单调递增，在单调递减， 所以的图象如图所示： 当时， 若与的图象有4个不同的交点， 由图知， 故选：C 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 8. 已知函数定义域为，且，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件可得在上单调递增，再分类讨论即可求解． 【详解】函数的定义域为R， 当时，， 令函数，依题意，对任意的，恒成立， 因此函数在上单调递增， 当时，则，解得，因此； 当时，函数在单调递增，因此； 当时，则恒成立，因此， 实数a的取值范围是． 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据常见函数的奇偶性，和单调性，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，为非奇非偶函数，故A不符合， 对于B，为奇函数，且在区间上单调递增，B符合， 对于C，奇函数，且在区间上单调递增，C符合， 对于D，为偶函数，故D不符合， 故选：BC 10. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则的最小值为1 D. 若，，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据不等式的性质，即可求解AB，根据基本不等式即可求解CD. 【详解】对于A, 由于，则，故，，因此，A正确， 对于B，取，，但，故B错误， 对于C，，则，故， 当且仅当，即取等号，故C正确， 对于D，，由可得， 则 ， 当且仅当，即时取等号，故最小值为， 故选：ACD 11. 设，定义在R上的函数满足，且，，则（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，令，，又，即可求得，即可判断； 对于B，令，再由，，即可得，即可判断； 对于C，令，可得，从而为奇函数，即可判断； 对于D，可推得，即的周期为，则，即可判断． 【详解】对于A，令，，得， 因为，所以，故A正确； 对于B，令，代入可得， 因为，，所以， 从而，故B正确； 对于C，令，代入得， 又因为对，恒成立且不恒为0， 所以，从而得为奇函数， 又不恒等于0，故C错误； 对于D，因为，所以， 所以为的周期， 所以，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数则________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】代入即可求解. 【详解】，故， 故答案为： 13. 已知集合，且，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知当时满足，当时，两方程联立可求解. 【详解】根据题意可知集合，且， 所以当时满足，且当时满足， 联立，解之可得或. 实数的取值范围是或. 故答案为： 14. 记表示函数在区间上的最大值.当时，的最小值为________. 【答案】2 【解析】 【分析】因为，所以，的最大值只能在，， 处取得，所以原式可写为分段函数，由分段函数单调性判断最小值即可. 【详解】令，则， 设，因为，所以， 当时；当时；当时， 所以的最大值是在，中， ， 由分段函数可知，时单调递减，在时单调递增， 所以在内，时原式有最小值，最小值为. 故答案为：2. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若“”是“”的充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由并集的定义直接求解. （2）依题意有，分和两种情况，由集合的包含关系求实数m的取值范围. 【小问1详解】 若时，， 又，所以. 【小问2详解】 由题可得. 当时，有，即，满足题意； 当时，有，解得； 综上可知，m的取值范围为. 16. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求的解析式； （2）求不等式的解集. 【答案】（1） （2） 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 【解析】 【分析】（1）根据1，是方程的根，代入即可求解， （2）分类讨论即可求解. 【小问1详解】 ∵的解集为，所以1，是方程的根， ∴， ∴， ∴. 【小问2详解】 ； 令， 设方程的两个根为，，解得：，， （ⅰ）当时，无解； （ⅱ）当时，； （ⅲ）当时，； 综上所述： 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 17. 某民居有一阁楼，现要在阁楼（可视作如图所示的锐角三角形）上开一内接矩形窗户（阴影部分），设其一边长为x（单位：米）. （1）求窗户的面积，并求的最大值； （2）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%.若阁楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5平方米，则当边长x为多少米时窗户面积最小？最小是多少平方米？ 【答案】（1），，最大值为平方米 （2）x为米或米时，窗户面积最小，最小值为平方米 【解析】 【分析】（1）设矩形的另一边长为y，利用三角形相似把用表示，可求，并由二次函数的性质求的最大值； （2）由题意列不等式求的最小值并求此时的值. 【小问1详解】 设矩形的另一边长为y，由三角形相似得且，， 所以，即， 故窗户面积，， 故，， 所以当时，最大，最大值为平方米； 【小问2详解】 设地板面积为，解不等式组， 解得， 故当时，窗户面积最小， 此时由（1）可得或 故当x为米或米时，窗户面积最小，最小值为平方米 18. 已知函数的图象关于点对称的充要条件是是奇函数.给定函数. （1）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； （2）求函数图象的对称中心； （3）已知函数的图象关于点对称，且当时，.若不等式在区间上有解，求实数m的取值范围. 【答案】（1） 函数在上单调递增， 证明：任取，且，则 ， 所以且， 所以，即， 所以在上单调递增. （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）利用单调性定义按照步骤进行证明即可得在区间上单调递增； （2）根据成中心对称图形的充要条件代入解方程组可得对称中心； （3）依题意利用对称中心并对函数的对称轴进行分类讨论，得出两函数对应值域的包含关系解不等式即可得实数m的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设函数图象的对称中心为， 则， 即， 整理得， 于是，解得， 所以的对称中心为. 【小问3详解】 因为的图象关于点对称，由题可知：， 任取，则，所以， 故，； 所以在上有解，转化为在能成立， 令，， 所以原问题等价于，； ①当时，不成立； ②时，即，此时， 解得：或，与无交集，舍去； ③当，即时，符合题意， 综上，. 【点睛】关键点点睛：本题中的有解问题关键在于利用对称中心得出两函数在对应定义域内的转化关系，得出相应不等式即可解得实数的取值范围. 19. 对于给定的非空数集，定义集合， ，当时，称A具有孪生性质. （1）若集合，求集合，； （2）若集合，，且，求证：； （3）若集合，且集合C具有孪生性质，记为集合C中元素的个数，求的最大值. 【答案】（1），. （2） 由于集合，， 则集合的元素在0，，，中产生， 且，， 而，故B中最大元素属于，而为4个元素中的最大者， 故，即， 故，故中的4个元素为0，，，且与0，或或重复， 而，故即， （3）1350 【解析】 【分析】（1）根据集合定义计算即可； （2）根据集合定义计算结合集合相等即可得出得证； （3）根据集合定义先求出的最大值，再根据孪生性质证明即可. 【小问1详解】 因为集合， 所以由1+1=2，1+6=7，6+6=12，可得， ，，，可得. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设满足题意，设， 则， ∴，又，∴， ∵，∴，即， ∴， 中最小的元素为0，最大的元素为，， ∴，即， ∴. 实际上当时满足题意， 证明如下：设，， 则，， 依题意有，即，故m的最小值为675， 于是当时，C中元素最多， 即时满足题意， 综上所述，集合C中元素的个数的最大值是1350. 【点睛】关键点点睛：解题证明的关键点是应用孪生性质得出不等关系证明集合元素个数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高一上学期期中校际联合考试 数学试题 2024.11 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结桌，将试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知函数，下列区间中，一定包含零点的区间是（ ） A. B. C. D. 4. 用长的铁丝折成一个矩形，则该矩形面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若，则的解集是（　　） A. B. C. D. 7. 关于x的方程有4个不同的解，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数定义域为，且，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则的最小值为1 D. 若，，则的最小值为 11. 设，定义在R上的函数满足，且，，则（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数则________. 13. 已知集合，且，则实数的取值范围是__________. 14. 记表示函数在区间上的最大值.当时，的最小值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若“”是“”的充分条件，求实数m的取值范围. 16. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求的解析式； （2）求不等式的解集. 17. 某民居有一阁楼，现要在阁楼（可视作如图所示的锐角三角形）上开一内接矩形窗户（阴影部分），设其一边长为x（单位：米）. （1）求窗户的面积，并求的最大值； （2）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%.若阁楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5平方米，则当边长x为多少米时窗户面积最小？最小是多少平方米？ 18. 已知函数的图象关于点对称的充要条件是是奇函数.给定函数. （1）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； （2）求函数图象的对称中心； （3）已知函数的图象关于点对称，且当时，.若不等式在区间上有解，求实数m的取值范围. 19. 对于给定的非空数集，定义集合， ，当时，称A具有孪生性质. （1）若集合，求集合，； （2）若集合，，且，求证：； （3）若集合，且集合C具有孪生性质，记为集合C中元素的个数，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $