2025年贵州省九年级中考数学命题探究-第五章 四边形（学生版+教用）

2025年贵州中考命题探究- 第五章 四边形 学生版 第22节 平行四边形与多边形 2022年版课标重要变化 了解多边形（本标准中多边形指凸多边形）（新增）的概念（改动）及多边形的顶点、边、内角、外角与对角线等概念（删除） 核心考点 精讲练 考点1 平行四边形的性质与判定（重点） 例1 如图1，已知的对角线，相交于点. 例1题图 （1） ① 若 ，则____________； ② 若,,则的取值范围为________________; ③ 若,,，则的周长为______________,面积为________. （2） 为边上的一点，连接. ① 如图2，若为边的中点， ， ，则____________； ② 如图3，连接，若，的周长为15，则的周长为__________； ③ 如图4，若点在上，且,连接,求证：，，三点共线. 例1题图4 变式1．如图，四边形的对角线，相交于点.下列条件能判定四边形为平行四边形的是______.（填序号） 变式1图 ，且；，且；，且；，且；且；为，的中点；，且平分. 知识精讲 1.平行四边形的性质 边 对边平行且相等 角 对角相等，邻角互补 对角线 对角线互相平分 对称性 是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点，过对称中心的直线平分平行四边形的面积和周长 面积 （表示一条边长，表示此边上的高） 2.平行四边形的判定 边 ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义） ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 考点2 多边形的性质 例2 （1） 八边形的内角和是______________，外角和度数为____________，从一个顶点出发可以画出________条对角线，它们把八边形分成________个三角形； （2） 若正多边形的一个内角是 ，则这个正多边形的边数是__________，若正多边形的一个外角是 ，则这个正多边形的内角和是____________； （3） 若一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为________. 变式2．如图，将直尺叠放在正五边形徽章上，若直尺的下沿于点，且经过点，直尺的上沿经过点，则的度数为____________. 变式2图 知识精讲 1.多边形的性质 （1）内角和：边形的内角和为 （2）外角和：边形的外角和为 （3）对角线：过边形的一个顶点可以引条对角线，把这个边形分成个三角形，边形共有条对角线 2.正多边形的性质 （1）正边形的各条边相等 （2）各个内角相等，正边形的每个内角的度数为 （3）各个外角相等，正边形的每个外角的度数为 （4）正多边形都是轴对称图形，其中边数为偶数的正多边形也是中心对称图形，正边形有条对称轴 贵州真题 随堂测 （建议用时：25分钟） 命题点1 平行四边形的性质与判定（必考） 1．[2024贵州8题3分]如图，的对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） 第1题图 A. B. C. D. 2．（北师八下P159 T10改编）如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点.若，，则的长是（ ） 第2题图 A. 1 B. 2 C. 2.5 D. 3 3．如图，在中， ，，，点为边上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则长度的最小值为________.［解析见P172］ 第3题图 4．[2024遵义市红花岗区模拟改编]如图，在中， ，点是边的中点，交的延长线于点. 第4题图 （1） 求证：； （2） 若 ，，连接，求四边形的面积. 5．如图1，在四边形中，和相交于点，，. 第5题图1 （1） 求证：四边形是平行四边形； （2） 如图2，，，分别是，，的中点，连接，，.若，，，求的周长. 第5题图2 命题点2 多边形的性质 6．[2024铜仁市万山区模拟]正十二边形的外角和为（ ） A. B. C. D. 7．[2024贵阳市南明区模拟]风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统建筑屋檐下.如图是六角形风铃的平面示意图，其底部可抽象为正六边形，连接，则的度数为（ ） 第7题图 A. B. C. D. 第23节 矩形、菱形、正方形 2022年版课标重要变化 ①理解平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，以及它们之间的关系（新增） ②理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系（新增） 核心考点 精讲练 考点1 矩形、菱形、正方形的性质与判定（重点） 矩形 菱形 正方形 图形 （，为两邻边长） （为边长，为该边上的高，,为对角线的长） （为边长，为对角线的长） 边 对边平行且相等 对边平行，四条边都相等 对边平行，四条边都相等 角 四个角都是直角 对角相等 四个角都是直角 对角线 对角线互相平分且相等 对角线互相垂直且平分，每条对角线平分一组对角 对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角 对称性 既是轴对称图形，又是中心对称图形 面积 判定 ①有三个角是直角的四边形是矩形②有一个角是直角的平行四边形是矩形 ③对角线相等的平行四边形是矩形 ①四条边相等的四边形是菱形 ②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 ③有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ④对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ①有一组邻边相等的矩形是正方形 ②对角线互相垂直的矩形是正方形 ③有一个角是直角的菱形是正方形 ④对角线相等的菱形是正方形 考点2 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系 边、角的特点 对角线的特点 考点3 中点四边形 概念 顺次连接四边形各边的中点所得的四边形叫做中点四边形 原图形 任意四边形 矩形 菱形 正方形 对角线相等的四边形 对角线互相垂直的四边形 对角线互相垂直且相等的四边形 中点四边形的形状 平行四边形 菱形 矩形 正方形 菱形 矩形 正方形 考点4 梯形［2022年版课标新增］ 概念 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形 分类 ①等腰梯形：在同一底边上的两个内角相等的梯形 ②直角梯形：有一个角是直角的梯形 性质 梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半 面积 （上底下底）高 第1课时 矩 形 重难点突破 例1 已知在四边形中,对角线和交于点. （1） 若增加下列条件中的一个,可使四边形为矩形,则这个条件可以是____.（填序号） ;②四边形是平行四边形,;,;,, ;, . （2） 若四边形为矩形,回答下列问题. ① 如图1,若,,则__________ ,的长为________. 例1题图 ② 如图2,点是边上一动点. 若,,则的最小值为________, 若,, ,则的长为____________. 变式1．[2022铜仁2题]如图，在矩形中，，，，则的坐标为（ ） 变式1图 A. B. C. D. 例2 [2024贵州20题10分]如图，四边形的对角线与相交于点，， ，有下列条件：，. 例2题图 （1） 请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是矩形； （2） 在（1）的条件下，若，，求四边形的面积. 贵州真题 随堂测 （建议用时：20分钟） 命题点 矩形的性质与判定（5年4考） 1．[2023贵州20题10分]如图，在中， ，延长至，使得，过点，分别作，，与相交于点．下面是两位同学的对话： 第1题图 （1） 请你选择一位同学的说法，并进行证明； （2） 连接，若,，求的长． 2．如图，在矩形中，点在上，，且，垂足为. 第2题图 （1） 求证：； （2） 若，，求四边形的面积. 3．[2022六盘水19题]如图，在平行四边形中，平分，平分. 第3题图 （1） 求证：； （2） 当满足什么条件时，四边形是矩形？请写出证明过程. 温馨提示 请完成《课后提升练》P52习题 第2课时 菱 形 重难点突破 例1 已知四边形为菱形,对角线,交于点. （1） 若 ,则__________ ； （2） 如图1，若,，，分别是，的中点. 图1 ① 菱形的周长为__________; ② ,间的距离为____________； ③ 连接，则的长为________; ④ 连接，则的长为________. （3） 如图2，若菱形的边长为4, ，点是边上一动点（不与点,重合）,过点作交于点,连接. 图2 ① 当是等腰三角形时,的长为____________________; ② 过点分别向直线,作垂线,垂足分别为点,，连接,当取得最小值时,的长为________. 变式1．如图，在四边形中，， ，，连接，的平分线交，分别于点，.若，，则的长为（ ） 变式1图 A. 4 B. C. D. 例2 [2024贵阳市南明区模拟]如图，四边形是平行四边形，点，分别是边，的中点，. 例2题图 （1） 求证：四边形是菱形； （2） 若 ，平行线与间的距离是，求平行四边形的面积. 贵州真题 随堂测 （建议用时：15分钟） 命题点 菱形的性质与判定（5年4考） 1．[2020贵阳7题3分]菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（ ） A. 5 B. 20 C. 24 D. 32 2．[2024安顺模拟]（北师九上P9 T3改编）如图，在菱形中，，，，垂足为，与交于点，则的值为（ ） 第2题图 A. B. C. D. 3．[2021贵阳14题4分]如图，在平面直角坐标系中，菱形对角线的交点坐标是，点的坐标是，且，则点的坐标是______________. 第3题图 4．[2023贵州模拟15题4分]如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形.若， ，则，两点间的距离为________. 第4题图 5．[2022黔东南州15题]（人教八下P67 T5改编）如图，矩形的对角线，相交于点，，.若，则四边形的周长是__________. 第5题图 6．[2022铜仁14题]如图，四边形为菱形， ，延长到点，在内作射线，使得 ，过点作，垂足为.若，则的长为__________（结果保留根号）. 第6题图 7．[2024贵阳市乌当区模拟]如图，矩形的对角线，交于点，延长到点，使，延长到点，使，连接，，. 第7题图 （1） 求证：四边形是菱形； （2） 若，，求四边形的面积. 第3课时 正方形 重难点突破 例1 （1） 已知四边形为平行四边形. ① 若 ,则要使平行四边形为正方形,需添加的条件为______________________________; ② 连接,,若,则要使平行四边形为正方形,需添加的条件为____________________________________. （2） 如图1,若四边形为正方形,是上一点,连接,交于点,且. 例1题图1 ① 的长为__________，____________; ② 若是的中点,则的长为________,____________; （3） 若四边形为正方形,连接,交于点. ① 如图2,点,分别是,上的点,连接,,,.若四边形是菱形,且,则__________,______________________; 图2 ② 如图3,是的中点,是上一点,为对角线上一点.若，,则的最小值为________. 图3 变式1．[2022贵阳21题10分]如图，在正方形中，为上一点，连接，的垂直平分线交于点，交于点，垂足为，点在上，且. 变式1图 （1） 求证：； （2） 若，，求的长. 例2 [2024云南改编]如图，在四边形中，点，，，分别是各边的中点，且，，四边形是矩形，则四边形的形状是____. 例2题图 贵州真题 随堂测 （建议用时：20分钟） 命题点 正方形的性质与判定（5年5考） 1．[2022贵阳8题3分]如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形.若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是（ ） 第1题图 A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 2．[2024遵义市红花岗区模拟]如图，是等腰直角三角形， ，是的中点，连接并延长至，使得，连接和.①以点为圆心，的长为半径画弧交于点;②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点;③作射线交于点，连接.若，则的长为（ ） 第2题图 A. 2 B. C. D. 3．[2022黔东南州9题]如图，在边长为2的等边三角形的外侧作正方形，过点作，垂足为，则的长为（ ） 第3题图 A. B. C. D. 4．[2024贵州模拟18题10分]如图，在矩形中，点，分别在，上，连接，，. 第4题图 （1） 试判断四边形的形状，并说明理由； （2） 若，，求矩形的周长. 5．将正方形和菱形按照如图所示摆放，顶点与顶点重合，菱形的对角线经过点，点，分别在，上. 第5题图 （1） 求证：； （2） 若，求的长. 提分专题 六 构造直角三角形解决，倍的线段数量关系 类型1 构造含45° 角的直角三角形 题中有 角 作垂线构造等腰直角三角形 题中无 角 寻找直角，作腰相等构造等腰直角三角形 类型2 构造含45° 角的直角三角形 题中有 角 作垂线构造含角的直角三角形 题中无 角 寻找直角，截长补短构造含角的直角三角形 针对训练 1．如图，在中，，点，，分别在边，，上，且，.若，则的长为______. 第1题图 2．如图，在正方形中，，分别为，的中点，与交于点，连接.若，，则__________. 第2题图 3．如图，在中， ， ，点是边上一点，过点作，过点作的垂线交于点，连接.若，则__________. 第3题图 4．[2023贵州16题4分]如图，在矩形中，点为矩形内一点，且，, , ，则四边形的面积是____________． 第4题图 圆知识脉络图 2025年贵州中考命题探究- 第五章 四边形 教师版 第22节 平行四边形与多边形 2022年版课标重要变化 了解多边形（本标准中多边形指凸多边形）（新增）的概念（改动）及多边形的顶点、边、内角、外角与对角线等概念（删除） 核心考点 精讲练 考点1 平行四边形的性质与判定（重点） 例1 如图1，已知的对角线，相交于点. 例1题图 （1） ① 若 ，则____________； ② 若,,则的取值范围为________________; ③ 若,,，则的周长为______________,面积为________. （2） 为边上的一点，连接. ① 如图2，若为边的中点， ， ，则____________； ② 如图3，连接，若，的周长为15，则的周长为__________； ③ 如图4，若点在上，且,连接,求证：，，三点共线. 例1题图4 【答案】① ② ③ ； （2） ① ② ③ 证明: 四边形是平行四边形, ,,. 又,,, ,. , , ,,三点共线. 变式1．如图，四边形的对角线，相交于点.下列条件能判定四边形为平行四边形的是______.（填序号） 变式1图 ，且；，且；，且；，且；且；为，的中点；，且平分. 【答案】①②③⑤⑥ 知识精讲 1.平行四边形的性质 边 对边平行且相等 角 对角相等，邻角互补 对角线 对角线互相平分 对称性 是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点，过对称中心的直线平分平行四边形的面积和周长 面积 （表示一条边长，表示此边上的高） 2.平行四边形的判定 边 ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义） ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 考点2 多边形的性质 例2 （1） 八边形的内角和是______________，外角和度数为____________，从一个顶点出发可以画出________条对角线，它们把八边形分成________个三角形； （2） 若正多边形的一个内角是 ，则这个正多边形的边数是__________，若正多边形的一个外角是 ，则这个正多边形的内角和是____________； （3） 若一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为________. 【答案】（1） ；；； （2） ； （3） 变式2．如图，将直尺叠放在正五边形徽章上，若直尺的下沿于点，且经过点，直尺的上沿经过点，则的度数为____________. 变式2图 【答案】 知识精讲 1.多边形的性质 （1）内角和：边形的内角和为 （2）外角和：边形的外角和为 （3）对角线：过边形的一个顶点可以引条对角线，把这个边形分成个三角形，边形共有条对角线 2.正多边形的性质 （1）正边形的各条边相等 （2）各个内角相等，正边形的每个内角的度数为 （3）各个外角相等，正边形的每个外角的度数为 （4）正多边形都是轴对称图形，其中边数为偶数的正多边形也是中心对称图形，正边形有条对称轴 贵州真题 随堂测 （建议用时：25分钟） 命题点1 平行四边形的性质与判定（必考） 1．[2024贵州8题3分]如图，的对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） 第1题图 A. B. C. D. 【答案】B 2．[2021贵阳11题3分]（北师八下P159 T10改编）如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点.若，，则的长是（ ） 第2题图 A. 1 B. 2 C. 2.5 D. 3 【答案】B 3．[2022毕节18题]如图，在中， ，，，点为边上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则长度的最小值为________.［解析见P172］ 第3题图 【答案】 4．[2024遵义市红花岗区模拟改编]如图，在中， ，点是边的中点，交的延长线于点. 第4题图 （1） 求证：； （2） 若 ，，连接，求四边形的面积. 【答案】 （1） 证明： 点是边的中点， . ， . 在和中，， ， . （2） 解： ， ，， ，. 由（1）知. 又， 四边形是平行四边形， 四边形的面积. 5．[2022毕节26题]如图1，在四边形中，和相交于点，，. 第5题图1 （1） 求证：四边形是平行四边形； （2） 如图2，，，分别是，，的中点，连接，，.若，，，求的周长. 第5题图2 【答案】 （1） 证明：，. 在与中，, ， ， 四边形是平行四边形. （2） 解：如图2，连接， 图2 四边形是平行四边形， ，，，， . ， ，. 是的中点， ，， ， . 是的中点， ， . 点，分别是，的中点， 是的中位线， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， 的周长为. 命题点2 多边形的性质 6．[2024铜仁市万山区模拟]正十二边形的外角和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 7．[2024贵阳市南明区模拟]风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统建筑屋檐下.如图是六角形风铃的平面示意图，其底部可抽象为正六边形，连接，则的度数为（ ） 第7题图 A. B. C. D. 【答案】C 温馨提示 请完成《课后提升练》P50～51习题 第23节 矩形、菱形、正方形 2022年版课标重要变化 ①理解平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，以及它们之间的关系（新增） ②理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系（新增） 核心考点 精讲练 考点1 矩形、菱形、正方形的性质与判定（重点） 矩形 菱形 正方形 图形 （，为两邻边长） （为边长，为该边上的高，,为对角线的长） （为边长，为对角线的长） 边 对边平行且相等 对边平行，四条边都相等 对边平行，四条边都相等 角 四个角都是直角 对角相等 四个角都是直角 对角线 对角线互相平分且相等 对角线互相垂直且平分，每条对角线平分一组对角 对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角 对称性 既是轴对称图形，又是中心对称图形 面积 判定 ①有三个角是直角的四边形是矩形②有一个角是直角的平行四边形是矩形 ③对角线相等的平行四边形是矩形 ①四条边相等的四边形是菱形 ②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 ③有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ④对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ①有一组邻边相等的矩形是正方形 ②对角线互相垂直的矩形是正方形 ③有一个角是直角的菱形是正方形 ④对角线相等的菱形是正方形 考点2 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系 边、角的特点 对角线的特点 考点3 中点四边形 概念 顺次连接四边形各边的中点所得的四边形叫做中点四边形 原图形 任意四边形 矩形 菱形 正方形 对角线相等的四边形 对角线互相垂直的四边形 对角线互相垂直且相等的四边形 中点四边形的形状 平行四边形 菱形 矩形 正方形 菱形 矩形 正方形 考点4 梯形［2022年版课标新增］ 概念 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形 分类 ①等腰梯形：在同一底边上的两个内角相等的梯形 ②直角梯形：有一个角是直角的梯形 性质 梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半 面积 （上底下底）高 第1课时 矩 形 重难点突破 例1 已知在四边形中,对角线和交于点. （1） 若增加下列条件中的一个,可使四边形为矩形,则这个条件可以是____.（填序号） ;②四边形是平行四边形,;,;,, ;, . （2） 若四边形为矩形,回答下列问题. ① 如图1,若,,则__________ ,的长为________. 例1题图 ② 如图2,点是边上一动点. 若,,则的最小值为________, 若,, ,则的长为____________. 【答案】（1） ①③④ （2） ① ； ② ；或4 变式1．[2022铜仁2题]如图，在矩形中，，，，则的坐标为（ ） 变式1图 A. B. C. D. 【答案】D 例2 [2024贵州20题10分]如图，四边形的对角线与相交于点，， ，有下列条件：，. 例2题图 （1） 请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是矩形； （2） 在（1）的条件下，若，，求四边形的面积. 【答案】 （1） 解：答案不唯一，若选择①，证明如下： ，， 四边形是平行四边形. ， 四边形是矩形. （2） 四边形是矩形， . ，，， 四边形的面积. 贵州真题 随堂测 （建议用时：20分钟） 命题点 矩形的性质与判定（5年4考） 1．[2023贵州20题10分]如图，在中， ，延长至，使得，过点，分别作，，与相交于点．下面是两位同学的对话： 第1题图 （1） 请你选择一位同学的说法，并进行证明； （2） 连接，若,，求的长． 【答案】 （1） 解：答案不唯一，若选择小星的说法，证明如下：如解图1，连接，，， 四边形是平行四边形，，.又，点在的延长线上，， 四边形是平行四边形. 又 ， 四边形是矩形，. 图1 （2） 如解图2，连接，，，，.在中，，，解得. 图2 2．[2021贵阳19题10分]如图，在矩形中，点在上，，且，垂足为. 第2题图 （1） 求证：； （2） 若，，求四边形的面积. 【答案】 （1） 证明：在矩形中， ，， . ， . 在和中， . （2） 解：，, , ，，. 3．[2022六盘水19题]如图，在平行四边形中，平分，平分. 第3题图 （1） 求证：； （2） 当满足什么条件时，四边形是矩形？请写出证明过程. 【答案】（1） 证明： 四边形是平行四边形，，，，平分，平分，，，.在和中，，. （2） 解：当满足时，四边形是矩形，证明如下：由（1）可知，，， 四边形是平行四边形.，平分，， ， 四边形是矩形. 温馨提示 请完成《课后提升练》P52习题 第2课时 菱 形 重难点突破 例1 已知四边形为菱形,对角线,交于点. （1） 若 ,则__________ ； （2） 如图1，若,，，分别是，的中点. 图1 ① 菱形的周长为__________; ② ,间的距离为____________； ③ 连接，则的长为________; ④ 连接，则的长为________. （3） 如图2，若菱形的边长为4, ，点是边上一动点（不与点,重合）,过点作交于点,连接. 图2 ① 当是等腰三角形时,的长为____________________; ② 过点分别向直线,作垂线,垂足分别为点,，连接,当取得最小值时,的长为________. 【答案】（1） （2） ① ② ③ ④ （3） ① 或 ② 变式1．如图，在四边形中，， ，，连接，的平分线交，分别于点，.若，，则的长为（ ） 变式1图 A. 4 B. C. D. 【答案】D 例2 [2024贵阳市南明区模拟]如图，四边形是平行四边形，点，分别是边，的中点，. 例2题图 （1） 求证：四边形是菱形； （2） 若 ，平行线与间的距离是，求平行四边形的面积. 【答案】 （1） 证明： 四边形是平行四边形， ，. 点，分别是边，的中点， ， 四边形是平行四边形. ， 四边形是菱形. （2） 解：如解图，过点作于点，连接. 例2题解图 点是边的中点，. 由（1）知四边形是菱形， ,， 易得为直角三角形， . 四边形是平行四边形， ， ， ， . 由题意知，， ， . , ， . ，，， . 贵州真题 随堂测 （建议用时：15分钟） 命题点 菱形的性质与判定（5年4考） 1．[2020贵阳7题3分]菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（ ） A. 5 B. 20 C. 24 D. 32 【答案】B 2．[2024安顺模拟]（北师九上P9 T3改编）如图，在菱形中，，，，垂足为，与交于点，则的值为（ ） 第2题图 A. B. C. D. 【答案】D 3．[2021贵阳14题4分]如图，在平面直角坐标系中，菱形对角线的交点坐标是，点的坐标是，且，则点的坐标是______________. 第3题图 【答案】 4．[2023贵州模拟15题4分]如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形.若， ，则，两点间的距离为________. 第4题图 【答案】 5．[2022黔东南州15题]（人教八下P67 T5改编）如图，矩形的对角线，相交于点，，.若，则四边形的周长是__________. 第5题图 【答案】 6．[2022铜仁14题]如图，四边形为菱形， ，延长到点，在内作射线，使得 ，过点作，垂足为.若，则的长为__________（结果保留根号）. 第6题图 【答案】 7．[2024贵阳市乌当区模拟]如图，矩形的对角线，交于点，延长到点，使，延长到点，使，连接，，. 第7题图 （1） 求证：四边形是菱形； （2） 若，，求四边形的面积. 【答案】 （1） 证明：，， 四边形是平行四边形. 四边形是矩形， ，， 四边形是菱形. （2） 解： 四边形是矩形， . ， ， 在中，， ， . 温馨提示 请完成《课后提升练》P53习题 第3课时 正方形 重难点突破 例1 （1） 已知四边形为平行四边形. ① 若 ,则要使平行四边形为正方形,需添加的条件为______________________________; ② 连接,,若,则要使平行四边形为正方形,需添加的条件为____________________________________. （2） 如图1,若四边形为正方形,是上一点,连接,交于点,且. 例1题图1 ① 的长为__________，____________; ② 若是的中点,则的长为________,____________; （3） 若四边形为正方形,连接,交于点. ① 如图2,点,分别是,上的点,连接,,,.若四边形是菱形,且,则__________,______________________; 图2 ② 如图3,是的中点,是上一点,为对角线上一点.若，,则的最小值为________. 图3 【答案】① （答案不唯一） ② （答案不唯一） （2） ① ； ② ； （3） ① ； ② 变式1．[2022贵阳21题10分]如图，在正方形中，为上一点，连接，的垂直平分线交于点，交于点，垂足为，点在上，且. 变式1图 （1） 求证：； （2） 若，，求的长. 【答案】 （1） 证明： 四边形为正方形，，， . ， 四边形是矩形， ，， . 的垂直平分线交于点，交于点，垂足为， ， . 在和中，, . （2） 解： ，是公共角， ，. ，，， ,，. 由（1）知，， . 例2 [2024云南改编]如图，在四边形中，点，，，分别是各边的中点，且，，四边形是矩形，则四边形的形状是____. 例2题图 【答案】菱形 贵州真题 随堂测 （建议用时：20分钟） 命题点 正方形的性质与判定（5年5考） 1．[2022贵阳8题3分]如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形.若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是（ ） 第1题图 A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】B 2．[2024遵义市红花岗区模拟]如图，是等腰直角三角形， ，是的中点，连接并延长至，使得，连接和.①以点为圆心，的长为半径画弧交于点;②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点;③作射线交于点，连接.若，则的长为（ ） 第2题图 A. 2 B. C. D. 【答案】A 3．[2022黔东南州9题]如图，在边长为2的等边三角形的外侧作正方形，过点作，垂足为，则的长为（ ） 第3题图 A. B. C. D. 【答案】D 4．[2024贵州模拟18题10分]如图，在矩形中，点，分别在，上，连接，，. 第4题图 （1） 试判断四边形的形状，并说明理由； （2） 若，，求矩形的周长. 【答案】 （1） 解：四边形为正方形，理由如下： 四边形是矩形， . ， ， 四边形为矩形. ， 四边形为正方形. （2） 四边形为正方形，. ，， 矩形的周长为. 5．[2022遵义19题]将正方形和菱形按照如图所示摆放，顶点与顶点重合，菱形的对角线经过点，点，分别在，上. 第5题图 （1） 求证：； （2） 若，求的长. 【答案】 （1） 证明： 四边形是正方形，四边形是菱形，点与点重合，， ， . 在和中，，. （2） 解：如图，过点作于点，则 . 四边形是正方形， ，， ， ，，（负值已舍去）， 在中，由勾股定理得. 四边形是菱形，， ， . 第5题图 温馨提示请完成《课后提升练》P54习题 提分专题 六 构造直角三角形解决，倍的线段数量关系 类型1 构造含45° 角的直角三角形 题中有 角 作垂线构造等腰直角三角形 题中无 角 寻找直角，作腰相等构造等腰直角三角形 类型2 构造含45° 角的直角三角形 题中有 角 作垂线构造含角的直角三角形 题中无 角 寻找直角，截长补短构造含角的直角三角形 针对训练 1．如图，在中，，点，，分别在边，，上，且，.若，则的长为______. 第1题图 【答案】 2．如图，在正方形中，，分别为，的中点，与交于点，连接.若，，则__________. 第2题图 【答案】 3．如图，在中， ， ，点是边上一点，过点作，过点作的垂线交于点，连接.若，则__________. 第3题图 【答案】 4．[2023贵州16题4分]如图，在矩形中，点为矩形内一点，且，, , ，则四边形的面积是____________． 第4题图 【答案】 圆知识脉络图 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $$