2025年贵州省数学中考命题探究-第二章 方程（组）与不等式（组）

2025年贵州中考命题探究- 第二章 方程（组）与不等式（组） 学生版 第4节 一次方程（组）及其应用 2022年版课标重要变化 ①能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程（改动） ②理解方程解的意义（新增） ③掌握代入消元法和加减消元法（删除），能解二元一次方程组 核心考点 精讲练 考点1 等式的基本性质 例1 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. ，则 知识精讲 性质1：若，则 性质2：若，则； 若，，则 考点2 一次方程（组）及其解法 例2 （1） 若是关于的一元一次方程，则的值为__________； （2） 若是关于，的二元一次方程，则的值为__________. 变式2-1． （1） 若是关于的一元一次方程的解，则__________； （2） 已知是关于，的方程的一个解，则________; （3） 已知关于，的方程组的解满足，则________. 变式2-2．解下列方程（组） （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 知识精讲 1.一元一次方程 （1）方程：含有未知数的等式 （2）方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值 （3）一元一次方程 ①概念：只含有一个未知数，且未知数的次数是的整式方程 ②一般形式：，是常数，且 2.解一元一次方程的步骤 去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化为1 3.二元一次方程（组） （1）二元一次方程 ①概念：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是的整式方程 ②一般形式：，，是常数，且， （2）二元一次方程组 ①概念：共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程 ②一般形式： 4.解二元一次方程组 （1）基本思想 消元法，将二元一次方程组转化为一元一次方程 （2）求解方法 ①代入消元法：将一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，再代入另一个方程求解 ②加减消元法：将方程的两边相加减，消去其中一个未知数再求解 考点3 一次方程（组）的实际应用（重点） 例3 某书店购进甲、乙两种图书共100本，甲、乙两种图书的进价分别为每本10元、30元，甲、乙两种图书的标价分别定为每本15元、40元. （1） 该书店用2300元购进了100本图书，则购进甲图书__________本，购进乙图书__________本； （2） 在（1）的条件下，该书店开展“教育优惠”活动，将甲图书打八折，乙图书也打折销售，为使甲、乙两种图书全部销售完后共获利460元，则乙图书应打__折出售. 变式3．[2024陕西]星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除.根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需；若爸爸单独完成，需.当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务，小峰和爸爸这次一共打扫了，求这次小峰打扫了多长时间. 知识精讲 1.购买问题 总价单价×数量 甲单价×甲数量乙单价×乙数量总价 2.利润问题 销售额售价×数量 售价标价×折扣 利润售价-进价 3.工程问题 工作总量工作效率×工作时间 4.行程问题 路程速度×时间 贵州真题 随堂测 （建议用时：15分钟） 命题点1 等式的基本性质（2024.11） 1．[2024贵州11题3分]小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“”“”“”三种物体，如图所示，天平都保持平衡.若设“”与“”的质量分别为，，则下列关系式正确的是（ ） 第1题图 A. B. C. D. 命题点2 一次方程（组）及其解法 2．小明解方程的步骤如下： 解：方程两边同乘6，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 以上解题步骤中，开始出错的一步是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 3．若，，则的值为________. 4．若，则的值是________. 命题点3 一次方程（组）的实际应用（必考） 5．[2023贵州9题3分]《孙子算经》中有这样一道题，大意为：今有100头鹿，每户分一头鹿后，还有剩余，将剩下的鹿按每3户共分一头，恰好分完，问：有多少户人家？若设有户人家，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6．为了增强学生的安全防范意识，某校初三（1）班班委举行了一次安全知识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分.小红一共得70分，则小红答对的个数为（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 7．中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两.问马、牛各价几何？”设马每匹两，牛每头两，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8．[2024贵州15题4分]在元朝朱世杰所著的《算术启蒙》中，记载了一道题，大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，则快马追上慢马需要的天数是__________. 9．“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”.如： 从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数，的系数与相应的常数项，即可表示方程，则 表示的方程是______________. 温馨提示 请完成《课后提升练》P9～10习题 第5节 分式方程及其应用 核心考点 精讲练 考点1 分式方程及其解法 例1 已知关于的分式方程. （1） 若该分式方程的解是，则________； （2） 若该分式方程有增根，则________； （3） 若该分式方程无解，则____________； （4） 若该分式方程的解是非负数，则的取值范围是____________________. 变式1．解分式方程： （1） ； （2） . 知识精讲 1.概念：分母中含有未知数的方程 2.增根：使分式方程的分母为0的根 3.解分式方程的一般步骤 （一化二解三检验四写根） 【点拨】 分式方程的增根与无解 （1）分式方程的增根是去分母后的整式方程的解，也是使分式方程的分母为零的解 （2）分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解 考点2 分式方程的实际应用（重点） 例2 [2024新疆]（北师八下P132 T11改编）某校九年级学生去距学校的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发，后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达.已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍，设甲车的速度为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 变式2-1．[2024绥化]一艘货轮在静水中的航速为，它以该航速沿江顺流航行所用时间，与以该航速沿江逆流航行所用时间相等，则江水的流速为（ ） A. B. C. D. 变式2-2．[2024贵阳市白云区模拟]为了美化环境，某地政府计划对辖区内的土地进行绿化，为了尽快完成任务，实际平均每月的绿化面积是原计划的1.5倍，结果提前2个月完成任务，求原计划平均每月的绿化面积. 甲同学所列的方程为； 乙同学所列的方程为. （1） 甲同学所列方程中的表示________________________________，乙同学所列方程中的表示__________________________________； （2） 任选甲、乙两同学的其中一个方法解答这个题目. 知识精讲 1.列分式方程解决实际问题的一般步骤 审题 设未知数 找等量关系 列分式方程 解分式方程 双检验 作答 双检验： ①检验是否为方程的解 ②检验是否符合实际意义 2.分式方程的应用的常考类型 （1）购买问题 数量 （2）行程问题 时间 （3）工程问题 工作时间 （4）航行问题 顺水速度静水速度水流速度 逆水速度静水速度-水流速度 贵州真题 随堂测 （建议用时：20分钟） 命题点1 分式方程及其解法 1．[2022毕节9题]小明解分式方程的过程如下. 解：去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 化系数为1，得 以上步骤中，开始出错的一步是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 2．[2024贵阳市南明区模拟]关于的方程的解是正数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 3．[2024毕节模拟]解分式方程： . 命题点2 分式方程的实际应用（5年3考） 4．[2022黔西南州9题]某农户承包的36亩水田和30亩旱地需要耕作.每天平均耕作旱地的亩数比耕作水田的亩数多4亩.该农户耕作完旱地所用的时间是耕作完水田所用时间的一半，求平均每天耕作水田的亩数.设平均每天耕作水田亩，则可以得到的方程为（ ） A. B. C. D. 5．[2024毕节模拟]为了丰富学生社会实践活动经历，某中学组织学生乘车去距学校的某古城参观学习，回程的平均速度比去程的平均速度快，回程路上所花时间比去程节省了，设去程的平均速度为，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6．[2023贵州19题10分]为推动乡村振兴，政府大力扶持小型企业.根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了，设更新设备前每天生产件产品.解答下列问题： （1） 更新设备后每天生产____________件产品（用含的式子表示）； （2） 更新设备前生产5000件产品比更新设备后生产6000件产品多用2天，求更新设备后每天生产多少件产品. 7．国发（2022）2号文发布后，贵州迎来了高质量快速发展，货运量持续增加.某物流公司有两种货车，已知每辆大货车的货运量比每辆小货车的货运量多4吨，且用大货车运送80吨货物所需车辆数与小货车运送60吨货物所需车辆数相同.每辆大、小货车货运量分别是多少吨？ 第6节 一元二次方程及其应用 2022年版课标重要变化 了解一元二次方程的根与系数的关系（删除“*”，改为必学） 核心考点 精讲练 考点1 一元二次方程及其解法（重点） 例1 已知是方程的一个根. （1） 常数的值为________； （2） 将该方程化为一般形式为____________________； （3） 将方程配方可得______________________； （4） 用公式法解该方程. 变式1-1．[2024凉山州]若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 变式1-2．关于的一元二次方程.若，则该方程必有一个根是（ ） A. B. C. D. 变式1-3．若是一元二次方程的根，则的值为________. 知识精讲 1.一元二次方程 （1）概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程 （2）一般形式： ， ，是常数，，其中，，分别是二次项、一次项和常数项，，分别是二次项系数和一次项系数 2.解一元二次方程 （1）直接开平方法 方程的根为 （2）配方法 ，方程的根为 （3）公式法 方程的根为 （4）因式分解法 ，方程的根为， 考点2 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系（重点） 例2 已知关于的方程. （1） 若该方程有实数根，则的取值范围为____________； （2） 若该方程为一元二次方程. ① 该方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为________________________； ② 该方程有两个相等的实数根，则的值为____________； ③ 该方程没有实数根，则的取值范围为____________. 变式2-1．已知一元二次方程的两根为，，则____________. 变式2-2．（北师九上P51 T3改编）已知关于的一元二次方程的一个根是2，则另一个根是__________，的值是__________. 变式2-3．已知，是一元二次方程的两个实数根，则________. 变式2-4．已知，是方程的两个实数根，且，则的值为________. 知识精讲 1.根的判别式 （1）一元二次方程根的判别式为 （2）根的判别式与根的情况： 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程没有实数根 2.根与系数的关系［2022年版课标由选学调整为必学］ 若一元二次方程有两个实数根，，则， 考点3 一元二次方程的实际应用 例3 某公司2月份销售新上市的产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同. （1） 求该公司销售产品每次的增长率； （2） 若产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价措施.经调查发现，产品每套每降0.5万元，公司平均每月可多售出20套.若该公司在5月份要获利70万元，则每套产品需降价多少万元？ 变式3-1．某班学生在毕业时，每个同学都要给其他同学写一份留言纪念，全班同学共写了1980份留言，若设全班同学有名学生，则可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 变式3-2．（人教九上P22 T4改编）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支.已知1个主干长出的枝干和小分支的总数是56，则这种植物每个枝干长出小分支的个数是________. 变式3-3．如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒.若该无盖纸盒的底面积为，设剪去小正方形的边长为，则可列方程为（ ） 变式3-3图 A. B. C. D. 知识精讲 1.变化率问题 设原来的量为，变化后的量为 （1）若连续两次增长，平均增长率为，则 （2）若连续两次下降，平均下降率为，则 2.病毒传播问题 若开始的数量为，每轮传播的数量为，则经过两轮传播后的数量为 3.循环赛问题 （1）单循环比赛： 每两队之间比赛一场，则队共比赛的场数为 （2）送礼物问题： 全班有人，每人向其他人送一份礼物，则共送出礼物的份数为 4.每每问题 若单价每涨价元，少卖出件，则涨价元少卖出的数量为 5.面积问题 贵州真题 随堂测 （建议用时：20分钟） 命题点1 一元二次方程及其解法［2024.5，贵阳2022.17（2）］ 1．[2024贵州5题3分]一元二次方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2．[2024黔东南州模拟]用配方法将方程变形为，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3．[2024贵阳市白云区模拟]若一元二次方程的一根为，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1或 D. 2或0 4．[2022贵阳17（2）题6分]在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法：它们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程. ；；；. 命题点2 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系（2023.15） 5．[2022黔东南州5题]已知关于的一元二次方程的两根分别记为，，若，则的值为（ ） A. 7 B. C. 6 D. 6．[2022安顺8题]定义新运算对于任意实数，满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如.若（为实数）是关于的方程，则它的根的情况是（ ） A. 有一个实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 7．[2023贵州15题4分]若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是________. 命题点3 一元二次方程的实际应用 8．[2024贵阳市南明区模拟]目前以等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展.某市2021年底有用户3万户，计划到2023年底全市用户数累计达到10万户.设全市用户这几年的平均增长率都为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9．[2024毕节模拟]（北师九上P55 T1改编）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利和减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件降价1元，则每天可多销售2件. （1） 商场若想每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2） 问在这次活动中，平均每天能否盈利1500元？若能，求出每件衬衫应降价多少元；若不能，请说明理由. 第7节 一元一次不等式（组）及不等式的应用 核心考点 精讲练 考点1 不等式的性质 例1 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 变式1．若不等式的解集为，则的取值范围是__________. 知识精讲 性质1：若，则 性质2：若，，则 性质3：若，，则 考点2 一元一次不等式的解法及解集表示（重点） 例 2 解不等式：，并将其解集在数轴上表示出来. 变式2-1．不等式的最大整数解为________. 变式2-2．[2024烟台]关于的不等式有正数解，的值可以是________________________（写出一个即可）. 变式2-3．[2024贵阳市花溪区模拟]如图，已知数轴上，两点表示的数分别是1和，求的取值范围. 变式2-3图 知识精讲 1.一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，且未知数的次数是的不等式 2.解一元一次不等式的步骤 去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化为1 3.一元一次不等式的解集表示 解集 图示 ， 向左画 ， 向右画 ， 用空心圆圈 ， 用实心圆点 考点3 一元一次不等式组的解法及解集表示 例3 [2024天津]解不等式组: 请结合题意填空，完成本题的解答. （Ⅰ） 解不等式①，得________； （Ⅱ） 解不等式②，得__________； （Ⅲ） 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （Ⅳ） 原不等式组的解集为____________. 变式3-1．若不等式组的解集为，则的取值范围是________. 变式3-2．已知关于的不等式组. （1） 若该不等式组无解，则的取值范围是________； （2） 若该不等式组有3个整数解，则的取值范围是____________. 知识精讲 1.一元一次不等式组的概念 由两个含有同一未知数的一元一次不等式所组成的不等式组 2.一元一次不等式组的解集 两个不等式的解集的公共部分 3.一元一次不等式组的解集表示 图示 解集 无解 口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到 考点4 一元一次不等式的实际应用（重点） 例4 [2024六盘水模拟]方程是刻画现实世界数量关系的一个有效模型，这个名词最早出现在我国古代数学专著《九章算术》中.请用方程思想解决下列问题： 某单位组织团建活动，需采购可乐、橙汁两种饮料，已知购买4箱可乐、2箱橙汁需320元，购买3箱可乐、1箱橙汁需210元. （1） 求可乐、橙汁每箱的价格； （2） 该单位计划经费不超过1100元，购买两种饮料共20箱，且橙汁不少于8箱，则共有哪几种购买方案？ 知识精讲 1.常用关键词 大于，多于，高于，超过 小于，少于，低于，不足 至少，不小于，不少于，不低于 最多，不大于，不多于，不超过 2.解题步骤 审题，找出不等关系 设未知数 列出不等式 解不等式 检验 作答 贵州真题 随堂测 （建议用时：15分钟） 命题点1 不等式及其性质（贵阳2020.8） 1．[2022六盘水3题]（北师八下P39 T4改编）如图是某桥洞的限高标志，则能通过此桥洞的车辆高度是（ ） 第1题图 A. B. C. D. 2．[2020贵阳8题3分]已知，下列式子不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 命题点2 一元一次不等式的解法及解集表示［2024.4，2023.17（2）］ 3．[2024贵州4题3分]不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4．[2023贵州17（2）题6分]已知，.若，求的取值范围. 命题点3 一元一次不等式组的解法及解集表示［贵阳2021.17（1）］ 5．[2021贵阳17（1）题6分]有三个不等式，，，请在其中任选两个不等式，组成一个不等式组，并求出它的解集. 6．[2022毕节22题]解不等式组:，并把解集在数轴上表示出来. 命题点4 一元一次不等式的实际应用（2024.21） 7．[2024贵州21题10分]为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践.经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物.如果种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名学生. 根据以上信息，解答下列问题： （1） 种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？ （2） 种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过55人，至少种植甲作物多少亩？ 2025年贵州中考命题探究- 第二章 方程（组）与不等式（组）教师版 第4节 一次方程（组）及其应用 2022年版课标重要变化 ①能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程（改动） ②理解方程解的意义（新增） ③掌握代入消元法和加减消元法（删除），能解二元一次方程组 核心考点 精讲练 考点1 等式的基本性质 例1 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. ，则 【答案】A 知识精讲 性质1：若，则 性质2：若，则； 若，，则 考点2 一次方程（组）及其解法 例2 （1） 若是关于的一元一次方程，则的值为__________； （2） 若是关于，的二元一次方程，则的值为__________. 【答案】（1） （2） 变式2-1． （1） 若是关于的一元一次方程的解，则__________； （2） 已知是关于，的方程的一个解，则________; （3） 已知关于，的方程组的解满足，则________. 【答案】（1） （2） （3） 变式2-2．解下列方程（组） （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 【答案】 （1） 解：去括号，得，移项，得， 合并同类项，得，系数化为1，得. （2） 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得，系数化为1，得. （3） ， 把①代入②，得，解得， 把代入①，解得， 故方程组的解为. （4） 将方程组整理得， ，得，解得， 把代入①，解得， 故方程组的解为. 知识精讲 1.一元一次方程 （1）方程：含有未知数的等式 （2）方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值 （3）一元一次方程 ①概念：只含有一个未知数，且未知数的次数是的整式方程 ②一般形式：，是常数，且 2.解一元一次方程的步骤 去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化为1 3.二元一次方程（组） （1）二元一次方程 ①概念：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是的整式方程 ②一般形式：，，是常数，且， （2）二元一次方程组 ①概念：共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程 ②一般形式： 4.解二元一次方程组 （1）基本思想 消元法，将二元一次方程组转化为一元一次方程 （2）求解方法 ①代入消元法：将一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，再代入另一个方程求解 ②加减消元法：将方程的两边相加减，消去其中一个未知数再求解 考点3 一次方程（组）的实际应用（重点） 例3 某书店购进甲、乙两种图书共100本，甲、乙两种图书的进价分别为每本10元、30元，甲、乙两种图书的标价分别定为每本15元、40元. （1） 该书店用2300元购进了100本图书，则购进甲图书__________本，购进乙图书__________本； （2） 在（1）的条件下，该书店开展“教育优惠”活动，将甲图书打八折，乙图书也打折销售，为使甲、乙两种图书全部销售完后共获利460元，则乙图书应打__折出售. 【答案】（1） ； （2） 九 变式3．[2024陕西]星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除.根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需；若爸爸单独完成，需.当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务，小峰和爸爸这次一共打扫了，求这次小峰打扫了多长时间. 解：设这次小峰打扫了，则爸爸打扫了， 根据题意，得，解得. 答：这次小峰打扫了. 知识精讲 1.购买问题 总价单价×数量 甲单价×甲数量乙单价×乙数量总价 2.利润问题 销售额售价×数量 售价标价×折扣 利润售价-进价 3.工程问题 工作总量工作效率×工作时间 4.行程问题 路程速度×时间 贵州真题 随堂测 （建议用时：15分钟） 命题点1 等式的基本性质（2024.11） 1．[2024贵州11题3分]小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“”“”“”三种物体，如图所示，天平都保持平衡.若设“”与“”的质量分别为，，则下列关系式正确的是（ ） 第1题图 A. B. C. D. 【答案】C 命题点2 一次方程（组）及其解法 2．[2022黔西南州5题]小明解方程的步骤如下： 解：方程两边同乘6，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 以上解题步骤中，开始出错的一步是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】A 3．[2022安顺14题]若，，则的值为________. 【答案】 4．[2022黔东南州14题]若，则的值是________. 【答案】 命题点3 一次方程（组）的实际应用（必考） 5．[2023贵州9题3分]《孙子算经》中有这样一道题，大意为：今有100头鹿，每户分一头鹿后，还有剩余，将剩下的鹿按每3户共分一头，恰好分完，问：有多少户人家？若设有户人家，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 6．[2022铜仁7题]为了增强学生的安全防范意识，某校初三（1）班班委举行了一次安全知识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分.小红一共得70分，则小红答对的个数为（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 【答案】B 7．[2022毕节11题]中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两.问马、牛各价几何？”设马每匹两，牛每头两，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 8．[2024贵州15题4分]在元朝朱世杰所著的《算术启蒙》中，记载了一道题，大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，则快马追上慢马需要的天数是__________. 【答案】天 9．[2022贵阳15题4分]“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”.如： 从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数，的系数与相应的常数项，即可表示方程，则 表示的方程是______________. 【答案】 温馨提示 请完成《课后提升练》P9～10习题 第5节 分式方程及其应用 核心考点 精讲练 考点1 分式方程及其解法 例1 已知关于的分式方程. （1） 若该分式方程的解是，则________； （2） 若该分式方程有增根，则________； （3） 若该分式方程无解，则____________； （4） 若该分式方程的解是非负数，则的取值范围是____________________. 【答案】（1） （2） （3） 或1 （4） 且 变式1．解分式方程： （1） ； （2） . 【答案】 （1） 解：两边同时乘， 得，解得， 检验：当时，， 原方程的解为. （2） 两边同时乘， 得，解得， 检验：当时，， 是原方程的增根， 原方程无解. 知识精讲 1.概念：分母中含有未知数的方程 2.增根：使分式方程的分母为0的根 3.解分式方程的一般步骤 （一化二解三检验四写根） 【点拨】 分式方程的增根与无解 （1）分式方程的增根是去分母后的整式方程的解，也是使分式方程的分母为零的解 （2）分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解 考点2 分式方程的实际应用（重点） 例2 [2024新疆]（北师八下P132 T11改编）某校九年级学生去距学校的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发，后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达.已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍，设甲车的速度为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 变式2-1．[2024绥化]一艘货轮在静水中的航速为，它以该航速沿江顺流航行所用时间，与以该航速沿江逆流航行所用时间相等，则江水的流速为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 变式2-2．[2024贵阳市白云区模拟]为了美化环境，某地政府计划对辖区内的土地进行绿化，为了尽快完成任务，实际平均每月的绿化面积是原计划的1.5倍，结果提前2个月完成任务，求原计划平均每月的绿化面积. 甲同学所列的方程为； 乙同学所列的方程为. （1） 甲同学所列方程中的表示________________________________，乙同学所列方程中的表示__________________________________； （2） 任选甲、乙两同学的其中一个方法解答这个题目. 【答案】（1） 原计划平均每月的绿化面积；实际完成这项工程需要的月数 （2） 解：答案不唯一，若选择甲同学的方法： 设原计划平均每月的绿化面积为， 则实际平均每月的绿化面积为. 由题意，得， 去分母，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：原计划平均每月的绿化面积是. 知识精讲 1.列分式方程解决实际问题的一般步骤 审题 设未知数 找等量关系 列分式方程 解分式方程 双检验 作答 双检验： ①检验是否为方程的解 ②检验是否符合实际意义 2.分式方程的应用的常考类型 （1）购买问题 数量 （2）行程问题 时间 （3）工程问题 工作时间 （4）航行问题 顺水速度静水速度水流速度 逆水速度静水速度-水流速度 贵州真题 随堂测 （建议用时：20分钟） 命题点1 分式方程及其解法 1．[2022毕节9题]小明解分式方程的过程如下. 解：去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 化系数为1，得 以上步骤中，开始出错的一步是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】B 2．[2024贵阳市南明区模拟]关于的方程的解是正数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 3．[2024毕节模拟]解分式方程： . 解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得， 经检验，是原方程的解. 命题点2 分式方程的实际应用（5年3考） 4．[2022黔西南州9题]某农户承包的36亩水田和30亩旱地需要耕作.每天平均耕作旱地的亩数比耕作水田的亩数多4亩.该农户耕作完旱地所用的时间是耕作完水田所用时间的一半，求平均每天耕作水田的亩数.设平均每天耕作水田亩，则可以得到的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 5．[2024毕节模拟]为了丰富学生社会实践活动经历，某中学组织学生乘车去距学校的某古城参观学习，回程的平均速度比去程的平均速度快，回程路上所花时间比去程节省了，设去程的平均速度为，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 6．[2023贵州19题10分]为推动乡村振兴，政府大力扶持小型企业.根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了，设更新设备前每天生产件产品.解答下列问题： （1） 更新设备后每天生产____________件产品（用含的式子表示）； （2） 更新设备前生产5000件产品比更新设备后生产6000件产品多用2天，求更新设备后每天生产多少件产品. 【答案】（1） （2） 解：由题意，得， 去分母，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （件）. 答：更新设备后每天生产125件产品. 7．[2022贵阳20题10分]国发（2022）2号文发布后，贵州迎来了高质量快速发展，货运量持续增加.某物流公司有两种货车，已知每辆大货车的货运量比每辆小货车的货运量多4吨，且用大货车运送80吨货物所需车辆数与小货车运送60吨货物所需车辆数相同.每辆大、小货车货运量分别是多少吨？ 解：设每辆小货车的货运量是吨，则每辆大货车的货运量是吨， 由题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， . 答：每辆大货车的货运量是16吨，每辆小货车的货运量是12吨. 温馨提示 请完成《课后提升练》P11~12习题 第6节 一元二次方程及其应用 2022年版课标重要变化 了解一元二次方程的根与系数的关系（删除“*”，改为必学） 核心考点 精讲练 考点1 一元二次方程及其解法（重点） 例1 已知是方程的一个根. （1） 常数的值为________； （2） 将该方程化为一般形式为____________________； （3） 将方程配方可得______________________； （4） 用公式法解该方程. 【答案】（1） （2） （3） （4） 解：， ，，， ， ， ，. 变式1-1．[2024凉山州]若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 【答案】A 变式1-2．关于的一元二次方程.若，则该方程必有一个根是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 变式1-3．若是一元二次方程的根，则的值为________. 【答案】 知识精讲 1.一元二次方程 （1）概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程 （2）一般形式： ， ，是常数，，其中，，分别是二次项、一次项和常数项，，分别是二次项系数和一次项系数 2.解一元二次方程 （1）直接开平方法 方程的根为 （2）配方法 ，方程的根为 （3）公式法 方程的根为 （4）因式分解法 ，方程的根为， 考点2 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系（重点） 例2 已知关于的方程. （1） 若该方程有实数根，则的取值范围为____________； （2） 若该方程为一元二次方程. ① 该方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为________________________； ② 该方程有两个相等的实数根，则的值为____________； ③ 该方程没有实数根，则的取值范围为____________. 【答案】（1） （2） ① 且 ② ③ 变式2-1．已知一元二次方程的两根为，，则____________. 【答案】 变式2-2．（北师九上P51 T3改编）已知关于的一元二次方程的一个根是2，则另一个根是__________，的值是__________. 【答案】； 变式2-3．已知，是一元二次方程的两个实数根，则________. 【答案】 变式2-4．已知，是方程的两个实数根，且，则的值为________. 【答案】 知识精讲 1.根的判别式 （1）一元二次方程根的判别式为 （2）根的判别式与根的情况： 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程没有实数根 2.根与系数的关系［2022年版课标由选学调整为必学］ 若一元二次方程有两个实数根，，则， 考点3 一元二次方程的实际应用 例3 某公司2月份销售新上市的产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同. （1） 求该公司销售产品每次的增长率； （2） 若产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价措施.经调查发现，产品每套每降0.5万元，公司平均每月可多售出20套.若该公司在5月份要获利70万元，则每套产品需降价多少万元？ 【答案】 （1） 解：设该公司销售产品每次的增长率为， 依题意,得， 解得，（不合题意，舍去）. 答：该公司销售产品每次的增长率为. （2） 设每套产品需降价万元，则平均每月可售出套， 依题意,得， 整理,得， 解得，. 为了尽量减少库存，则. 答：每套产品需降价1万元. 变式3-1．某班学生在毕业时，每个同学都要给其他同学写一份留言纪念，全班同学共写了1980份留言，若设全班同学有名学生，则可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 变式3-2．（人教九上P22 T4改编）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支.已知1个主干长出的枝干和小分支的总数是56，则这种植物每个枝干长出小分支的个数是________. 【答案】 变式3-3．如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒.若该无盖纸盒的底面积为，设剪去小正方形的边长为，则可列方程为（ ） 变式3-3图 A. B. C. D. 【答案】D 知识精讲 1.变化率问题 设原来的量为，变化后的量为 （1）若连续两次增长，平均增长率为，则 （2）若连续两次下降，平均下降率为，则 2.病毒传播问题 若开始的数量为，每轮传播的数量为，则经过两轮传播后的数量为 3.循环赛问题 （1）单循环比赛： 每两队之间比赛一场，则队共比赛的场数为 （2）送礼物问题： 全班有人，每人向其他人送一份礼物，则共送出礼物的份数为 4.每每问题 若单价每涨价元，少卖出件，则涨价元少卖出的数量为 5.面积问题 贵州真题 随堂测 （建议用时：20分钟） 命题点1 一元二次方程及其解法［2024.5，贵阳2022.17（2）］ 1．[2024贵州5题3分]一元二次方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 2．[2024黔东南州模拟]用配方法将方程变形为，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 3．[2024贵阳市白云区模拟]若一元二次方程的一根为，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1或 D. 2或0 【答案】A 4．[2022贵阳17（2）题6分]在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法：它们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程. ；；；. 解：， ， ， ，. ， ， ，. ， 两边都加上4，得， 即， ， ，. ，即， 直接开平方得， ，. 命题点2 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系（2023.15） 5．[2022黔东南州5题]已知关于的一元二次方程的两根分别记为，，若，则的值为（ ） A. 7 B. C. 6 D. 【答案】B 6．[2022安顺8题]定义新运算对于任意实数，满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如.若（为实数）是关于的方程，则它的根的情况是（ ） A. 有一个实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】B 7．[2023贵州15题4分]若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是________. 【答案】 命题点3 一元二次方程的实际应用 8．[2024贵阳市南明区模拟]目前以等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展.某市2021年底有用户3万户，计划到2023年底全市用户数累计达到10万户.设全市用户这几年的平均增长率都为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 9．[2024毕节模拟]（北师九上P55 T1改编）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利和减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件降价1元，则每天可多销售2件. （1） 商场若想每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2） 问在这次活动中，平均每天能否盈利1500元？若能，求出每件衬衫应降价多少元；若不能，请说明理由. 【答案】 （1） 解：设每件衬衫应降价元， 则每件盈利元，每天可以售出件， 由题意，得， 即， 解得，. 为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存， 则的值应为20. 每件衬衫应降价20元. （2） 平均每天不能盈利1500元，理由如下： 由题意，得， 整理，得， ， 该方程无解， 平均每天不能盈利1500元. 温馨提示 请完成《课后提升练》P13～14习题 第7节 一元一次不等式（组）及不等式的应用 核心考点 精讲练 考点1 不等式的性质 例1 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 变式1．若不等式的解集为，则的取值范围是__________. 【答案】 知识精讲 性质1：若，则 性质2：若，，则 性质3：若，，则 考点2 一元一次不等式的解法及解集表示（重点） 例 2 解不等式：，并将其解集在数轴上表示出来. 解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得. 该不等式的解集在数轴上表示如解图： 例2题解图 变式2-1．不等式的最大整数解为________. 【答案】 变式2-2．[2024烟台]关于的不等式有正数解，的值可以是________________________（写出一个即可）. 【答案】（答案不唯一） 变式2-3．[2024贵阳市花溪区模拟]如图，已知数轴上，两点表示的数分别是1和，求的取值范围. 变式2-3图 解：由数轴上，两点的位置可知， 解得. 知识精讲 1.一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，且未知数的次数是的不等式 2.解一元一次不等式的步骤 去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化为1 3.一元一次不等式的解集表示 解集 图示 ， 向左画 ， 向右画 ， 用空心圆圈 ， 用实心圆点 考点3 一元一次不等式组的解法及解集表示 例3 [2024天津]解不等式组: 请结合题意填空，完成本题的解答. （Ⅰ） 解不等式①，得________； （Ⅱ） 解不等式②，得__________； （Ⅲ） 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （Ⅳ） 原不等式组的解集为____________. 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） 例3题图 （Ⅳ） 变式3-1．若不等式组的解集为，则的取值范围是________. 【答案】 变式3-2．已知关于的不等式组. （1） 若该不等式组无解，则的取值范围是________； （2） 若该不等式组有3个整数解，则的取值范围是____________. 【答案】（1） （2） 知识精讲 1.一元一次不等式组的概念 由两个含有同一未知数的一元一次不等式所组成的不等式组 2.一元一次不等式组的解集 两个不等式的解集的公共部分 3.一元一次不等式组的解集表示 图示 解集 无解 口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到 考点4 一元一次不等式的实际应用（重点） 例4 [2024六盘水模拟]方程是刻画现实世界数量关系的一个有效模型，这个名词最早出现在我国古代数学专著《九章算术》中.请用方程思想解决下列问题： 某单位组织团建活动，需采购可乐、橙汁两种饮料，已知购买4箱可乐、2箱橙汁需320元，购买3箱可乐、1箱橙汁需210元. （1） 求可乐、橙汁每箱的价格； （2） 该单位计划经费不超过1100元，购买两种饮料共20箱，且橙汁不少于8箱，则共有哪几种购买方案？ 【答案】 （1） 解：设每箱可乐的价格是元，每箱橙汁的价格是元， 根据题意,得，解得. 答：每箱可乐的价格是50元，每箱橙汁的价格是60元. （2） 设购买箱橙汁，则购买箱可乐， 根据题意,得，且，解得， 又为正整数，的值可以为8，9，10， 该单位共有3种购买方案，分别是： 方案1：购买8箱橙汁，12箱可乐； 方案2：购买9箱橙汁，11箱可乐； 方案3：购买10箱橙汁，10箱可乐. 知识精讲 1.常用关键词 大于，多于，高于，超过 小于，少于，低于，不足 至少，不小于，不少于，不低于 最多，不大于，不多于，不超过 2.解题步骤 审题，找出不等关系 设未知数 列出不等式 解不等式 检验 作答 贵州真题 随堂测 （建议用时：15分钟） 命题点1 不等式及其性质（贵阳2020.8） 1．[2022六盘水3题]（北师八下P39 T4改编）如图是某桥洞的限高标志，则能通过此桥洞的车辆高度是（ ） 第1题图 A. B. C. D. 【答案】D 2．[2020贵阳8题3分]已知，下列式子不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 命题点2 一元一次不等式的解法及解集表示［2024.4，2023.17（2）］ 3．[2024贵州4题3分]不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 4．[2023贵州17（2）题6分]已知，.若，求的取值范围. 解：由题意，得， 解得. 命题点3 一元一次不等式组的解法及解集表示［贵阳2021.17（1）］ 5．[2021贵阳17（1）题6分]有三个不等式，，，请在其中任选两个不等式，组成一个不等式组，并求出它的解集. 解：答案不唯一，若选前2个不等式， 则， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 原不等式组的解集是. 6．[2022毕节22题]解不等式组:，并把解集在数轴上表示出来. 解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 原不等式组的解集为， 该不等式组的解集在数轴上表示如解图： 第6题解图 命题点4 一元一次不等式的实际应用（2024.21） 7．[2024贵州21题10分]为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践.经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物.如果种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名学生. 根据以上信息，解答下列问题： （1） 种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？ （2） 种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过55人，至少种植甲作物多少亩？ 【答案】 （1） 解：设种植1亩甲作物需要名学生，种植1亩乙作物需要名学生. 根据题意，得，解得. 答：种植1亩甲作物需要5名学生，种植1亩乙作物需要6名学生. （2） 设种植甲作物亩，则种植乙作物亩， 根据题意，得，解得， 的最小值为5. 答：至少种植甲作物5亩. 温馨提示 请完成《课后提升练》P15～16习题 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $$