精品解析：南京市致远初级中学2024-2025学年上学期期中质量监测八年级数学试卷

致远初级中学2024-2025学年第一学期期中质量监测 八年级数学 满分：100分 时间：100分钟 注意事项： 1．答题卡填写好自己的姓名、班级，填涂好考号等信息． 2．请将答案填写、填涂在答题卡上． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 下列各数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，，，，则的度数是（ ） A. 35° B. 40° C. 50° D. 60° 3. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 ，BC＝2．以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（ ） A. 5 B. 6 C. 12 D. 13 4. 如图，一棵大树在一次强台风中于离地面10m处折断倒下，倒下部分的树梢到树的距离为24m，则这棵大树折断处到树顶的长度是（　　） A. 10m B. 15m C. 26m D. 30m 5. 如图，△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF＝6，CF＝2，则AC的长度为（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6. 如图，已知，添加以下条件，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，平分，E是中点，若，则的长为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 8. 如图，等边三角形的边长为8，A、B、三点在一条直线上，且．若D为线段上一动点，则的最小值是（ ） A. 10 B. 12 C. 16 D. 18 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9. 实数4的算术平方根为_____． 10. 若直角三角形中有两边长分别为6和8，那么斜边长为__________． 11. 已知一个直角三角形斜边上的中线长为，则它的斜边长为__________． 12. 等边三角形的边长为2，则这个三角形的高的长是_________． 13. 点在第二象限，且到轴，轴的距离分别为2、3，则点的坐标是_____． 14. 如图，在中，，为中点，，则的大小为______度． 15. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE的位置，B、D、C在一条直线上．若∠B＝70°，则∠EDC＝________°． 16. 如图，是等边三角形，若，，，则______°． 17. 如图，OM平分∠AOB，MA⊥OA，垂足为A，MB⊥OB，垂足为B．若∠MAB＝20°，则∠AOB的度数为 _______°． 18. 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，AB=AD．若这个四边形的面积为16，求BC+CD的值是_____． 三、解答题（本大题共9小题，共64分） 19. 解下列方程 （1）； （2）． 20. 如图，，，点、在上，．求证：． 21. 已知：如图，，．求证：． 22. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，已知的三个顶点在格点上． （1）画出关于直线l对称的； （2）在直线l上找一点P，使的长最短；（不写画法，保留画图痕迹）； （3）求的面积． 23. 如图， 中，，，是腰的垂直平分线，求的度数． 24. 如图，已知某开发区有一块四边形空地ABCD．现计划在该空地上种植草皮，经测量∠ADC＝90°，CD＝3m，AD＝4m，BC＝12m，AB＝13m．若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少元? 25. 如图，△ABC中，D是BC延长线上一点，满足CD＝AB，过点C作CE∥AB且CE＝BC，连接DE并延长，分别交AC、AB于点F、G． （1）求证：△ABC≌△DCE； （2）若∠B＝50°，∠D＝22°，求∠AFG的度数． 26. 如图，已知直线，点A为直线a、b之间的一定点，点B、C分别在直线a、b上，按照下列要求作出等边．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹；③写出必要的文字说明． （1）如图，已知点A到直线a、b的距离相等； （2）如图，已知点A为直线a、b间任意一点． 27. 【问题情境】 教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？ 【探索新知】 从面积的角度思考，不难发现： 大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积． 从而得数学等式：，化简证得勾股定理：． 【初步运用】 （1）如图1，若，则小正方形面积大正方形面积=________； （2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若，，此时小正方形内空白部分的面积为_________； （3）如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，该风车状图案的面积为_______； （4）如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则_______． （5）如果用三张含的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 致远初级中学2024-2025学年第一学期期中质量监测 八年级数学 满分：100分 时间：100分钟 注意事项： 1．答题卡填写好自己的姓名、班级，填涂好考号等信息． 2．请将答案填写、填涂在答题卡上． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 下列各数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求一个数的算术平方根，求一个数的立方根，无理数的定义．掌握无限不循环小数是无理数是解题关键．根据算术平方根和立方根的定义求出A选项和C选项的值，再根据无理数的定义选择即可． 【详解】解：A．，是整数，不属于无理数，故A不符合题意； B．是无理数，故B符合题意； C．，是整数，不属于无理数，故C不符合题意； D．，是有限小数，不属于无理数，故D不符合题意． 故选：B． 2. 如图，，，，则的度数是（ ） A. 35° B. 40° C. 50° D. 60° 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出，再根据全等三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理的应用，能根据三角形内角和定理求出的度数是解此题的关键． 3. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 ，BC＝2．以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（ ） A. 5 B. 6 C. 12 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】利用勾股定理即可求解. 【详解】解：∵∠C=90∘， ∴AB2=AC2+BC2=32+22=13， ∴正方形面积S=AB2=13， 故选D. 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，属于基础题. 4. 如图，一棵大树在一次强台风中于离地面10m处折断倒下，倒下部分的树梢到树的距离为24m，则这棵大树折断处到树顶的长度是（　　） A. 10m B. 15m C. 26m D. 30m 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理求出大树折断部分的高度即可求解． 【详解】】解：如图所示： ∵△ABC是直角三角形，AB=10m，AC=24m， 故选C 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，解答此题的关键是先根据勾股定理求出BC的长度． 5. 如图，△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF＝6，CF＝2，则AC的长度为（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质可得AF=BF=6，然后根据已知条件即可求出结论． 【详解】解：∵EF是AB的垂直平分线，BF＝6， ∴AF=BF=6， ∵CF＝2， ∴AC=AF＋CF=8． 故选：C． 【点睛】本题考查的是垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质找到相等线段是解决此题的关键． 6. 如图，已知，添加以下条件，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理逐个判断即可． 【详解】已知在和中，，， A．∵，由，可证得，故本选项不符合题意； B．∵， ∴， 由，可证得，故本选项不符合题意； C．∵， 由，无法证得，故本选项符合题意； D．∵， 由，可证得，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，能正确根据全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键． 7. 如图，在中，平分，E是中点，若，则的长为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，等腰三角形的判定．根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义，求出，根据直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 在中，E是中点， ∴， 故选：D 8. 如图，等边三角形的边长为8，A、B、三点在一条直线上，且．若D为线段上一动点，则的最小值是（ ） A. 10 B. 12 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质、等边三角形的性质、轴对称的最短路径问题，解题的关键是学会找对称点，形成两点之间的线段来解决最短问题， 连接交于点E，点C、关于直线对称，推出当点D与B重合时，的值最小，最小值为线段的长． 【详解】解：连接交于点E，过点B作直线， ∵， 是等边三角形，边长为8， ∴是等边三角形，， ∵A、B、三点在同一直线上， ∴和关于直线l的对称， ∵， ∴ ， ∵， ∴，， ∴点C、关于直线对称， ∴当点D与点B重合时，的值最小， 最小值为线段， 故选：C． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9. 实数4的算术平方根为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义，即可求解． 【详解】解：∵， ∴4的算术平方根是2． 10. 若直角三角形中有两边长分别为6和8，那么斜边长为__________． 【答案】8或10 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了分类讨论思想，直角三角形中斜边为最长边，无法确定边长为8的边是否为斜边，所以要讨论：边长为8的边为斜边；边长为8的边为直角边． 【详解】解：当边长为8的边为斜边时，该直角三角形中斜边长为8； 当边长为8的边为直角边时，则根据勾股定理得斜边长为． 故该直角三角形斜边长为8或10． 故答案为：8或10． 11. 已知一个直角三角形斜边上的中线长为，则它的斜边长为__________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半即可得到结论． 【详解】解：∵一个直角三角形斜边上的中线长为， ∴它的斜边长为， 故答案为：16． 12. 等边三角形的边长为2，则这个三角形的高的长是_________． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作于点D，根据等腰三角形的三线合一性质求出，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点A作于点D， 根据题意，得，， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，掌握等腰三角形的三线合一的性质是解题的关键． 13. 点在第二象限，且到轴，轴的距离分别为2、3，则点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据点的坐标特征求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴横坐标为负数，纵坐标为正数， ∵到轴，轴的距离分别为2、3， ∴点的坐标是． 故答案为：． 【点睛】此题考查了点的坐标，关键是掌握点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值． 14. 如图，在中，，为中点，，则的大小为______度． 【答案】55 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理．熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键． 由等腰三角形三线合一，可得，即，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵在中，，为中点， ∴，即， ∴， 故答案为：55． 15. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE的位置，B、D、C在一条直线上．若∠B＝70°，则∠EDC＝________°． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得，，再根据平角的性质即可求解． 【详解】解：根据旋转的性质可得， ∴ ∴ 故答案为 【点睛】此题考查了旋转的性质，涉及了等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的有关性质是解题的关键． 16. 如图，是等边三角形，若，，，则______°． 【答案】 【解析】 【分析】由等边三角形性质得出，再由证得，得出，由三角形内角和定理求出，即可得出答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 17. 如图，OM平分∠AOB，MA⊥OA，垂足为A，MB⊥OB，垂足为B．若∠MAB＝20°，则∠AOB的度数为 _______°． 【答案】40 【解析】 【分析】利用角平分线的性质定理可知：，即可证明，利用三角形内角和可知，再利用四边形OAMB的内角和为即可求出． 【详解】解：∵OM平分∠AOB，MA⊥OA，MB⊥OB， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形OAMB的内角和为， ∴， 故答案为：40 【点睛】本题考查角平分线的性质定理，三角形内角和，四边形内角和，解题的关键是掌握角平分线的性质定理，得到=． 18. 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，AB=AD．若这个四边形的面积为16，求BC+CD的值是_____． 【答案】8 【解析】 【分析】连接BD．设AB=AD=a，BC=x，CD=y．根据勾股定理和四边形的面积，得到关于a，x，y的方程组，再进一步运用消元法，得到关于x，y的方程即可． 【详解】解：连接BD． 设AB=AD=a，BC=x，CD=y． 根据勾股定理，得 BD2=a2+a2=x2+y2， 2a2=x2+y2①， 又a2+xy＝16， 2a2=64-2xy②， ①-②，得 （x+y）2=64， 所以x+y=8． 即BC+CD=8． 【点睛】此题综合运用了勾股定理和直角三角形的面积公式，能够巧妙对方程组进行变形． 三、解答题（本大题共9小题，共64分） 19. 解下列方程 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】此题考查了利用平方根以及立方根的性质解方程． （1）方程变形后，利用平方根定义开平方即可求出解； （2）直接利用立方根定义计算即可求出解． 【小问1详解】 解：， ， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴． 20. 如图，，，点、在上，．求证：． 【答案】 证明：， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】由“”可证，可得结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． 21. 已知：如图，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．根据平行线的性质得出，再根据“”证明，得出，再根据平行线的判定得出结论即可． 【详解】略 22. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，已知的三个顶点在格点上． （1）画出关于直线l对称的； （2）在直线l上找一点P，使的长最短；（不写画法，保留画图痕迹）； （3）求的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，点P即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图-轴对称变换，最短路径问题，网格中求三角形的面积； （1）利用网格特点和轴对称的性质画出、、关于直线的对称点、、即可； （2）连接交直线l于P，则利用两点之间线段最短可判断点P满足条件； （3）利用割补法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的面积为： 23. 如图， 中，，，是腰的垂直平分线，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及垂直平分线的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．利用等边对角及三角形内角和可得，再利用垂直平分线的性质即可求解． 【详解】解：， ， 又 ， ， 是腰的垂直平分线， ， ， ． 24. 如图，已知某开发区有一块四边形空地ABCD．现计划在该空地上种植草皮，经测量∠ADC＝90°，CD＝3m，AD＝4m，BC＝12m，AB＝13m．若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少元? 【答案】4800元 【解析】 【分析】仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果．连接AC，在直角三角形ACD中可求得AC的长，由AC、AB、BC的长度关系可得三角形ABC为一直角三角形，AB为斜边；由此看，四边形ABCD的面积等于Rt△ABC面积减Rt△ACD的面积解答即可． 【详解】解：连接AC 在Rt△ACD中， ∵CD＝3，AD＝4 ∴AC＝=5 又∵BC＝12，AB＝13 ∴AC2+BC2＝AB2 ∴∠ACB＝90° ∴m2 ∴共需24200＝4800元 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形，这样解题较为简单． 25. 如图，△ABC中，D是BC延长线上一点，满足CD＝AB，过点C作CE∥AB且CE＝BC，连接DE并延长，分别交AC、AB于点F、G． （1）求证：△ABC≌△DCE； （2）若∠B＝50°，∠D＝22°，求∠AFG的度数． 【答案】（1）证明：∵CE∥AB， ∴∠B＝∠DCE， 在△ABC与△DCE中， ， ∴△ABC≌△DCE（SAS）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据CE∥AB可得∠B=∠DCE，由SAS定理可得结论； （2）利用全等三角形的性质定理可得∠ECD=∠B=50°，∠A=∠D=22°，由平行线的性质定理易得∠ACE=∠A=22°，由三角形的内角和定理和外角的性质可得结果． 【详解】（1）略 （2）解：∵△ABC≌△DCE，∠B＝50°，∠D＝22°， ∴∠ECD＝∠B＝50°，∠A＝∠D＝22°， ∵CE∥AB， ∴∠ACE＝∠A＝22°， ∵∠CED＝180°﹣∠D﹣∠ECD＝180°﹣22°﹣50°＝108°， ∴∠AFG＝∠DFC＝∠CED﹣∠ACE＝108°﹣22°＝86°． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理及性质定理，平行线的性质定理，外角的性质等，熟记定理是解答此题的关键． 26. 如图，已知直线，点A为直线a、b之间的一定点，点B、C分别在直线a、b上，按照下列要求作出等边．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹；③写出必要的文字说明． （1）如图，已知点A到直线a、b的距离相等； （2）如图，已知点A为直线a、b间任意一点． 【答案】（1） 解：如图，是等边三角形； （2） 解：如图，是等边三角形． 【解析】 【分析】本题综合考查尺规作图，等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质和判定； （1）先以为圆心，任意长度为半径画弧交两点，再分别以这两点为圆心，大于线段长度为半径画弧交于点，连接分别交，于，，再以为圆心，为半径画圆，分别交直线a、b于点B、C，此时，，则，此时是等边三角形； （2）先同（1）一样作于，再以为圆心，为半径画圆，圆上任取一点，以为圆心，为半径画圆交直线于，交于，则，，再分别以，为圆心，长为半径画弧交于点，则为等边三角形，连接交直线于，再以为圆心，为半径画圆交直线于，连接，此时可以证明，得到，继而得到，即可得到是等边三角形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 27. 【问题情境】 教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？ 【探索新知】 从面积的角度思考，不难发现： 大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积． 从而得数学等式：，化简证得勾股定理：． 【初步运用】 （1）如图1，若，则小正方形面积大正方形面积=________； （2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若，，此时小正方形内空白部分的面积为_________； （3）如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，该风车状图案的面积为_______； （4）如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则_______． （5）如果用三张含的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程． 【答案】（1） （2）28 （3）24 （4）10 （5） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的证明和应用、含30度角的直角三角形的性质，根据图形得出面积关系是解题的关键． （1）求出小正方形的面积，大正方形的面积即可； （2）根据空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积，计算即可， （3）可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解； （4）根据图形的特征得出四边形的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用x，y表示出，，，得出答案即可； （5）根据大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积，构建关系式即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴小正方形面积：大正方形面积， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意得 ， ∵空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积， ∴空白部分的面积为． 故答案为：28； 【小问3详解】 解：根据题意得 ，． 设，则，． 在中，， 即， 解得， ∴， ∴该风车状图案的面积； 故答案为：24； 【小问4详解】 解：将四边形的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y． ∵正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，且， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：10； 【小问5详解】 解：． 设大正三角形的高为，中心小正三角形的高为，三个全等三角形的高为． 由图可知大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积， ， 大等边三角形的面积， ， 小等边三角形的面积， ， ， 三个这样的三角形面积之和为， ， ， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $