精品解析：吉林省长春市第八中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

长春八中2024－2025学年（上）期中考试 数学试题 命题人：吴宇杰 审题人：李佳羽 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先要解出集合和集合，再求出集合在全集下的补集，最后求. 【详解】对于集合，解不等式，即. 解得集合，或. 对于集合，解得集合. 假设全集，所以. 就是求和的交集，，，取交集得. 故选：B. 2. 设，，且，则下列不等式一定成立的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】举反例即可求解ABC，利用作差法比较数的大小可判断D. 【详解】对于A，取，可得，故A错误； 对于B，当时，可得，故B错误； 对于C，取，可得，故C错误， 对于D，因为， 又，不能同时为0，所以，所以，故D正确； 故选：D. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据根式，分式以及对数的性质即可列不等式求解. 【详解】的定义域满足，解得且， 故定义域为， 故选：D 4. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数，和的单调性，结合条件，即可求解. 【详解】因为是减函数，所以， 因为在上单调递增，又，所以， 又是增函数，所以，则， 故选：A. 5. 按复利计算，存入银行5万元，年利率2%，3年后支取，可得利息（ ）万元 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先按照复利计算3年后的本息和，再减去本金即得利息. 【详解】依题意，1年后本息和为：，2年后本息和为：，3年后本息和为：，故减去本金即得利息为. 故选：C. 6. 设与均为实数，且，已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数图象可知函数过点与，即可得到方程组求出、的值，再解一元二次不等式即可. 【详解】解：由函数图象可知函数过点与， 所以，解得， 所以不等式，即，即，解得， 即不等式的解集为. 故选：B 7. 已知且，函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断出函数的单调性，由此列不等式组来求得的取值范围. 【详解】由于对任意实数，都有成立， 所以在上单调递增， 所以，解得. 故选：C 8. 已知幂函数在上单调递增，函数时，总存在使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：由已知，得或． 当时，，当时，． 又在单调递增，∴． ∴在上的值域为，在上的值域为， ∴，∴，即． 故选D. 考点：1、幂函数的定义和性质；2、函数的单调性及值域. 【方法点睛】本题主要考查幂函数的定义和性质，函数的单调性及函数的值域的求法，属于难题.求函数值域的常见方法有 ①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法：常用代数或三角代换法，用换元法求值域时需认真分析换元参数的范围变化；③不等式法：借助于基本不等式 求函数的值域，用不等式法求值域时，要注意基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”；④单调性法：首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间 ，最后再根据其单调性求凼数的值域，⑤图象法：画出函数图象，根据图象的最高和最低点求最值，本题主要是利用方法④求出两函数值域后再根据题意解答的. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 在下列四个命题中，正确的是（ ） A. 命题“，使得”的否定是“，都有” B. 当时，的最小值是5 C. 函数的最小值为2 D. 若函数定义域为，则函数的定义域为 【答案】AD 【解析】 【分析】由存在量词命题的否定为全称量词命题可得选项A正确；举反例可说明选项B错误；根据换元法，结合函数的单调性可得选项C错误；由抽象函数的定义域可得选项D正确. 【详解】A. 命题“，使得”的否定是“，都有”，选项A正确. B.当时，，选项B错误. C. 令，则， ∵在上为减函数， ∴当时，，选项C错误. D. 由函数定义域为得， 由得，，故函数的定义域为，选项D正确. 故选：AD. 10. 下列说法中正确为（ ） A. 已知函数，若，有成立，则实数a的值为4 B. 设集合，，则“”是“”的充分不必要条件 C. 若关于x的不等式恒成立，则k的取值范围为 D. 函数与函数是同一个函数 【答案】AB 【解析】 【分析】运用函数性质、集合关系、不等式恒成立以及函数相等概念对每个选项进行分析，根据相应的数学概念和定理来判断其正确性. 【详解】选项A，对于二次函数，若，有成立， 这说明函数的图象关于直线对称. 在函数中，，，对称轴， 根据对称轴公式可得，即，解得，所以选项A正确. 选项B，若，则，此时成立. 若，则或，当时，；当时，. 所以能推出，但不能推出， 所以是“”的充分不必要条件，选项B正确. 选项C，当时，不等式化为，恒成立. 当时，不等式是二次不等式，要使其恒成立， 则. 先解，解得. 结合，所以当时，,综上，的取值范围是，选项C错误. 选项D，函数的定义域为，而函数的定义域为. 两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数，选项D错误. 故选：AB. 11. 已知定义域为的奇函数，满足，下列叙述正确的是（ ） A. 函数的值域为 B. 关于的方程的所有实数根之和为11 C. 关于的方程有且只有两个不等的实根 D. 当时，的解析式为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、值域、方程的根、解析式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】当时，有， 当时，，所以， 由于是定义在上的奇函数，所以. ， 由此画出的图象如下图所示， 由图可知的值域为，A选项正确. 当时，令，解得， 所以关于的方程的所有实数根之和为，B选项正确. 关于的方程的根为，所以C选项错误. 当时，，所以D选项正确. 故选：ABD 【点睛】关键点睛： 奇函数对称性的准确应用：奇函数的对称性是解题的基础，通过这种对称性可以有效判断函数的值域和方程根的性质. 函数图象的辅助分析：通过绘制函数图象并结合代数分析，可以更直观地理解函数的行为，是解题过程中非常重要的辅助手段. 第Ⅱ卷（非选择题） 请点击修改第Ⅱ卷的文字说明 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知，，，，若，则__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据集合相等求得，进而求得. 【详解】依题意，，所以或. 由解得，与集合元素的互异性矛盾. 由解得或（与集合元素的互异性矛盾，舍去）， 则，所以. 故答案为： 13. 求值：__________. 【答案】10 【解析】 【分析】利用有理数指数幂运算法则，对数的运算法则即可求解. 【详解】解： ； 故答案为：10. 14. 当时，不等式有解，则实数m的最小值为________. 【答案】5 【解析】 【分析】先将不等式变形为，然后求出在上的最小值，进而得到的最小值. 【详解】由可得. ，当且仅当，即时取等号. 因为有解，所以，即，解得. 故答案为：5. 四、解答题 15. 设函数. （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若，且，求的最小值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意为方程的两根，利用韦达定理即可得到结果. （2）依题意可得，则=1，再利用基本不等式即可求出最小值. 【小问1详解】 因为关于的不等式的解集为， 所以为方程的两根， 所以，解得. 【小问2详解】 由，得，即，则， 所以， 因为，，所以，， 所以， 当且仅当=，即时取等号， 所以. 16. 已知幂函数的图象关于轴对称. （1）求的解析式； （2）若函数在区间上为单调函数，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义及奇偶性即可求解； （2）由（1）得，结合二次函数在区间上的单调性即可求解. 【小问1详解】 为幂函数， 所以，所以， 即，解得或2， 当时，为偶函数，图象关于轴对称， 当时，为奇函数，图象关于原点对称，故， . 【小问2详解】 由（1）得，其对称轴为， 当或时满足题意， 或. 所以实数的取值范围为. 17. 已知函数为奇函数. （1）求实数的值; （2）判断的单调性，并用定义证明; （3）求不等式的解集. 【答案】（1） （2）为上的单调递增函数. 证明如下：设，且， 则，因为， 根据指数函数的性质，则，，， 所以，即， 所以为上的单调递增函数. （3）或 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义进行求解； （2）结合指数函数的单调性，利用定义法进行单调性证明即可； （3）由为奇函数，不等式化为，再结合函数单调性求解即可. 【小问1详解】 为上的奇函数，则，即 ，整理可得，可得 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为为奇函数，不等式化为， 又因为为上的单调递增函数，所以，解得不等式的解集为或 18. 已知是定义在非零实数集上的函数，且对任意非零实数，恒有. （1）求的值； （2）证明：为偶函数； （3）若在上单调递增，求不等式的解集. 【答案】（1）， （2）证明：因为是定义在非零实数集上的函数， 令，故， 为偶函数； （3）或， 【解析】 【分析】（1）令以及即可求解， （2）令，即可根据偶函数的定义求解， （3）先得出，根据函数的奇偶性和单调性求解. 【小问1详解】 令得：，故， 令得：，故. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在上单调递增，且为偶函数， 故在上是减函数，由于， 则， 故，且，解得且， 故不等式的解集为或. 19. 已知函数，其中且. （1）若，求的最小值； （2）若在区间上的最大值为，求的值； （3）若，且对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题知，进而结合二次函数求解即可； （2）令，将函数转化为求的最大值问题，再分和讨论求解即可； （3）结合题意，将问题转化为，对任意恒成立，再结合基本不等式求解即可. 【小问1详解】 当时，函数， 所以当时，函数有最小值. 【小问2详解】 令，则函数， 当时，由有， 由于函数在上单调递减，在区间上的最大值为， 所以，当时，有最大值， 解得或，均不满足，舍去； 当时，由有， 由于函数在上单调递增，在区间上的最大值为， 所以，当时，有最大值， 解得或，其中不满足，舍去； 综上，. 【小问3详解】 因为当时，对任意恒成立 所以，对任意恒成立 所以，对任意恒成立， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，恒成立，即， 所以，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春八中2024－2025学年（上）期中考试 数学试题 命题人：吴宇杰 审题人：李佳羽 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，，且，则下列不等式一定成立的是（ ）. A. B. C. D. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 按复利计算，存入银行5万元，年利率2%，3年后支取，可得利息（ ）万元 A. B. C. D. 6. 设与均为实数，且，已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知且，函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知幂函数在上单调递增，函数时，总存在使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 在下列四个命题中，正确的是（ ） A. 命题“，使得”的否定是“，都有” B. 当时，的最小值是5 C. 函数的最小值为2 D. 若函数定义域为，则函数的定义域为 10. 下列说法中正确为（ ） A. 已知函数，若，有成立，则实数a的值为4 B. 设集合，，则“”是“”的充分不必要条件 C. 若关于x的不等式恒成立，则k的取值范围为 D. 函数与函数是同一个函数 11. 已知定义域为的奇函数，满足，下列叙述正确的是（ ） A. 函数的值域为 B. 关于的方程的所有实数根之和为11 C. 关于的方程有且只有两个不等的实根 D. 当时，的解析式为 第Ⅱ卷（非选择题） 请点击修改第Ⅱ卷的文字说明 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知，，，，若，则__________ 13. 求值：__________. 14. 当时，不等式有解，则实数m的最小值为________. 四、解答题 15. 设函数. （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若，且，求的最小值. 16. 已知幂函数的图象关于轴对称. （1）求的解析式； （2）若函数在区间上为单调函数，求实数的取值范围. 17. 已知函数为奇函数. （1）求实数的值; （2）判断的单调性，并用定义证明; （3）求不等式的解集. 18. 已知是定义在非零实数集上的函数，且对任意非零实数，恒有. （1）求的值； （2）证明：为偶函数； （3）若在上单调递增，求不等式的解集. 19. 已知函数，其中且. （1）若，求的最小值； （2）若在区间上的最大值为，求的值； （3）若，且对任意恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $