精品解析：江苏省扬州大学附属中学东部分校2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷

杨大附中东部分校2022-2023学年度第二学期期中考试 高二年级数学试卷 （总分150分 时间 120分钟 命题人：王海 审核人：陈海华） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知，则（ ） A. 2 B. 5 C. 2或5 D. 2或6 【答案】C 【解析】 【分析】 根据组合数的性质可得或，解方程即可. 【详解】由， 可得或， 解得或5. 故选：C 2. 某班有4名同学报名参加校运会的五个比赛项目，每人参加一项且各不相同，则不同的报名方法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意应用排列计算求解. 【详解】由题可知不同的报名方法数为从5个不同元素中取出4个元素的排列数， 所以不同的报名方法有种. 故选：C. 3. 在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的基本性质知，，由模长公式，结合条件求得模长即可. 【详解】由题知，， 则 故选：D 4. 若的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则展开式中系数为无理数的项数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由第项与第项的二项式系数相等可求得，由此可得展开式通项公式，令即可知展开式的系数为无理数，由此可得结论. 【详解】展开式中第项与第项的二项式系数相等，，解得：； 展开式的通项公式为：； 则当，，时，展开式中的系数为无理数，共项. 故选：B. 5. 若，则（ ） A. 20 B. C. 15 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将写成，然后根据展开式的通项求解出项的系数即为. 【详解】因为，所以展开式的通项为， 令，则，所以， 故选：B. 6. 已知向量为平面的法向量，点在内，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用点到面的距离的向量求法求解即可 【详解】因为， 所以， 因为平面的法向量， 所以点到平面的距离. 故选：B 【点睛】此题考查利用向量求点到面的距离，属于基础题 7. 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 是的极小值 B. 是的极大值 C. 在区间上单调递减 D. 曲线在处的切线斜率小于零 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的几何意义与极值极值点的定义分别判断各选项. 【详解】A选项：由导函数图像可知是函数的极小值点，的极小值为，A选项错误； B选项：时，，的极大值为，B选项错误； C选项：由导函数图像可知，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，C选项错误； D选项：由图像可知，即函数在处切线斜率小于零，D选项正确； 故选：D. 8. 在边长为2的正方体中，，分别为，的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点）满足，则线段的长度的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，根据，利用向量数量积的坐标表示得到，最后利用二次函数的性质求解即可. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 设，，其中，， 则，， ，， 据此可得，，， 由空间中两点之间距离公式可得 ， 当时，，当时，， 结合二次函数的性质可得线段的长度的取值范围为. 故选：B. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 对于二项式的展开式，下列结论正确的是（ ） A. 各项系数之和为0 B. 二项式系数的最大值为 C. 不存在常数项 D. x的系数为－28 【答案】AC 【解析】 【分析】对A，令可得；对B，由可判断；对C，求出通项公式，令的指数为0，求解可判断；对D，令的指数为1可求出. 【详解】对于A，令，则可得各项系数之和为，故A正确； 对于B，二项式系数最大的为，故B不正确； 对于C，的展开式的通项公式为，令，解得，不是非负整数，故不存在常数项，故C正确； 对于D，，令，解得，则的系数为，故D错误. 故选：AC. 10. 现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（ ） A. 所有可能的方法有种 B. 若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种 C. 若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种 D. 若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理判断AC选项的正确性，利用分类加法计数原理以及组合数计算判断B选项的正确性，利用排列数计算判断D选项的正确性. 【详解】所有可能的方法有种，A错误. 对于B，分三种情况：第一种：若有1名同学去工厂甲，则去工厂甲的同学情况为，另外两名同学的安排方法有种，此种情况共有种，第二种：若有两名同学去工厂甲，则同学选派情况有，另外一名同学的排法有3种，此种情况共有种，第三种情况，若三名同学都去工甲，此种情况唯一，则共有种安排方法，B正确. 对于C，若A必去甲工厂，则B，C两名同学各有4种安排，共有种安排，C正确. 对于D，若三名同学所选工厂各不同，则共有种安排，D正确. 故答案为：BCD 11. 如图，在棱长为的正方体中，，分别是，的中点.下列结论正确的是（ ） A. 四边形是菱形 B. 直线与所成角为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 点到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】取的中点，连接、，可证明四边形是平行四边形，再利用可判断选项A；以为原点，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，计算可判断选项B；求平面的一个法向量为，，计算可判断选项C； 计算平面的法向量，，计算可判断选项D，进而可得正确选项. 【详解】 对于选项A：取的中点，连接，，可得 ，， 因为四边形是正方形，所以，，可得， 所以四边形是平行四边形，，， 因为正方形中，，，所以四边形是平行四边形， 所以，，所以且， 所以四边形是平行四边形， 因为是棱长为的正方体，，分别是、的中点，所以，所以四边形是菱形， 故选项A正确； 对于选项B：如图以为原点，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系则、、，、， 所以，，可得，即， 所以，直线与所成角为，故选项B正确； 对于选项C：同选项B建立空间直角坐标系，、、， 可得，设平面的一个法向量为， 由，令，可得，，所以， ，设直线与平面所成角为，可得 ， 所以直线与平面所成角的正弦值为，故选项C不正确； 对于选项D：设平面的法向量为，， ，，由令可得，， 所以，设点到平面的距离为，则， 故选项D正确， 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法 （1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果. 12. 设函数，则下列说法正确的是（   ） A. 定义域是 B. 时，图象位于x轴下方 C. 有且仅有两个极值点 D. 存在单调递增区间 【答案】BD 【解析】 【分析】由函数有意义的条件可求得函数的定义域判断A选项；当时，判断函数的符号可判断B选项； 利用导数判断出导函数的零点个数，可判断C选项； 解不等式可判断D选项. 【详解】对于A选项，函数有意义，有，解得且， 则函数的定义域为，A选项错误； 对于B选项，当时，，，则， 即当时，函数图象位于轴下方，B选项正确； 对于C选项，，令. 当时，，，则， 函数在区间上单调递减，无极值点； 当时，，函数在上单调递增， 由于， 由零点存在定理知，存在唯一的，使得. 当时，，；当时，，， 所以，函数存在唯一的极值点，C选项错误； 对于D选项，由C可知，函数在区间上单调递增，D选项正确. 故选：BD. 【点睛】方法点睛：利用导数判断函数单调性，确定极值点个数，其中构造新函数是常用方法. 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 13. 的展开式中常数项是__________（用数字作答）． 【答案】 【解析】 【分析】写出二项式展开通项，即可求得常数项. 【详解】 其二项式展开通项： 当，解得 的展开式中常数项是：. 故答案为：. 【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握的展开通项公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 14. 3名男同学、2名女同学排成一行，则至多2名男生相邻的排法有______种． 【答案】84 【解析】 【分析】根据排列数公式计算名同学全排列的排法总数，减去名男同学全部相邻的排法总数即可. 【详解】由已知名同学的全排列数为：种,其中不满足题意的排法，即名男同学全部相邻. 此处应用捆绑法，先将名男生作为一个整体，与女生进行全排列，再对名男生进行全排列， 得到名男生全部相邻的排法总数为：种，在总数当中减去不满足题意的排法， 得到满足题意的排法有：种. 故答案为：84 15. 已知函数，若曲线在点处的切线与直线垂直，则切线的方程为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据切线的斜率求得，从而求得切点坐标，进而求得切线方程. 【详解】直线的斜率为，所以切线的斜率为. ， 所以， 所以切线方程为，即. 故答案为： 16. 在矩形中，，，沿对角线将矩形折成一个大小为的二面角，若，则此时点与点之间的距离是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二面角、空间向量运算等知识来求得点与点之间的距离. 【详解】分别作，，垂足为，，则 由已知可得，，，．因为， 则，所以. 故答案为： 【点睛】方法点睛: 空间折叠与二面角的利用：通过将矩形沿对角线折叠，构造出了二面角，并利用垂线的位置关系，结合向量法来求解距离，这是一种有效的空间几何求解方法. 四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 某传统文化学习小组有10名同学，其中男生5名，女生5名，现要从中选取4人参加学校举行的汇报展示活动． （1）如果4人中男生、女生各2人，有多少种选法？ （2）如果男生甲与女生乙至少有1人参加，有多少种选法？ （3）如果4人中既有男生又有女生，有多少种选法？ 【答案】（1）100 （2）140 （3） 【解析】 【分析】（1）由组合知识结合分步乘法计数原理求解即可； （2）先计算10人中选取4人的选法，从中除去男生甲与女生乙都不参加的选法即可； （3）先计算10人中选取4人的选法，从中除去4人全是男生和4人全是女生的选法即可. 【小问1详解】 第一步，从5名男生中选2人，有种选法；第二步，从5名女生中选2人，有种选法． 根据分步乘法计数原理，共有种选法． 【小问2详解】 从10人中选取4人，有种选法；男生甲与女生乙都不参加，有种选法．所以男生甲与女生乙至少有1人参加，共有种选法． 【小问3详解】 从10人中选取4人，有种选法；4人全是男生，有种选法；4人全是女生，有种选法． 所以4人中既有男生又有女生，共有种选法． 18. 已知向量，，. （Ⅰ）当时，若向量与垂直，求实数和的值； （Ⅱ）若向量与向量，共面，求实数的值. 【答案】（Ⅰ）实数和的值分别为和.（Ⅱ） 【解析】 【分析】(Ⅰ)根据可求得,再根据垂直的数量积为0求解即可. (Ⅱ)根据共面有,再求解对应的系数相等关系求解即可. 【详解】解：(Ⅰ)因为,所以. 且. 因为向量与垂直, 所以. 即. 所以实数和的值分别为和. (Ⅱ)因为向量与向量，共面,所以设（）. 因为, 所以 所以实数的值为. 【点睛】本题主要考查了空间向量的基本求解方法,包括模长的运算以及垂直的数量积表达与共面向量的关系等.属于基础题. 19. 已知多项式的展开式中，第3项与第5项的二项式系数之比为2：5. （1）求n的值； （2）求展开式中含x项的系数. 【答案】（1）8；（2）7. 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数的比值列式求解n； （2）先求出展开式的通项，然后求解所求项的系数． 【详解】（1）因为多项式的展开式中第3项、第5项二项式系数分别为，， 又第3项与第5项的二项式系数之比为2：5.所以，，. 即， 化简得，解得或（舍去）； 故n的值为8. （2）又因为展开式通项， 当时，解得；. 所以， 所以展开式中含x项的系数为7. 【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有给定项的二项式系数，利用通项求特定项的系数，属于简单题目. 20. 如图，在三棱锥中，已知平面平面，，，，为的中点． （1）若，求直线与所成角的余弦值； （2）已知点在线段上，且，求二面角的大小． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）以中点为坐标原点建立空间直角坐标系，求得对应点和向量的坐标，通过向量法即可求得结果； （2）求得两个平面的法向量，再用向量法求其夹角即可. 【小问1详解】 取中点，连结，，如下所示： 因为，为中点，所以， 又因为平面平面，平面平面＝， 平面，所以平面， 又因为平面ABD，所以， 因为，，， OC，平面，所以平面， 又因为平面，所以． 中，，为中点，，所以， 中，，为中点，，，所以， 以，，为坐标轴，建立空间直角坐标系如下所示： 则，，，， 所以，，， 所以直线BD与AE所成角的余弦值为． 【小问2详解】 设，则，，， ，，则，， 设平面法向量为， 则，所以， 取，得到平面的一个法向量， 又因为平面的一个法向量为， 所以，可得平面平面， 所以二面角的大小为． 21. 已知， （1）求的值; （2）若且，求的值; （3）求证：. 【答案】（1）（2）（3）见解析 【解析】 【详解】分析：（1）令，根据可求的值； （2）由，解得可求的值; （3）利用二项展开式及放缩法即可证明.： 详解： （1）令，则=0，又 所以 （2）由，解得，所以 （3） 点睛：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题． 22. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）求函数的单调区间和极值. 【答案】（1） （2） 当时，在上单调递减，没有极值. 当时，在区间上单调递减；在区间递增； 的极小值为，无极大值. 当时，在区间单调递增；在区间递减； 的极大值为，无极小值. 【解析】 【分析】（1）结合切点和斜率求得切线方程. （2）求得，对进行分类讨论，由此求得的单调区间和极值. 【小问1详解】 当时，，， ， 所以在处的切线方程为. 【小问2详解】 ， 当时，，在上递减，没有极值. 当时，的定义域为， 令解得. 当时，在区间递减； 在区间递增； 的极小值为，无极大值. 当时，在区间递增； 在区间递减； 的极大值为，无极小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杨大附中东部分校2022-2023学年度第二学期期中考试 高二年级数学试卷 （总分150分 时间 120分钟 命题人：王海 审核人：陈海华） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知，则（ ） A. 2 B. 5 C. 2或5 D. 2或6 2. 某班有4名同学报名参加校运会的五个比赛项目，每人参加一项且各不相同，则不同的报名方法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 3. 在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱，则（ ） A. B. C. D. 4. 若的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则展开式中系数为无理数的项数为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. 20 B. C. 15 D. 6. 已知向量为平面的法向量，点在内，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 是的极小值 B. 是的极大值 C. 在区间上单调递减 D. 曲线在处的切线斜率小于零 8. 在边长为2的正方体中，，分别为，的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点）满足，则线段的长度的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 对于二项式的展开式，下列结论正确的是（ ） A. 各项系数之和为0 B. 二项式系数的最大值为 C. 不存在常数项 D. x的系数为－28 10. 现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（ ） A. 所有可能的方法有种 B. 若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种 C. 若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种 D. 若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种 11. 如图，在棱长为的正方体中，，分别是，的中点.下列结论正确的是（ ） A. 四边形是菱形 B. 直线与所成角为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 点到平面的距离为 12. 设函数，则下列说法正确的是（   ） A. 定义域是 B. 时，图象位于x轴下方 C. 有且仅有两个极值点 D. 存在单调递增区间 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 13. 的展开式中常数项是__________（用数字作答）． 14. 3名男同学、2名女同学排成一行，则至多2名男生相邻的排法有______种． 15. 已知函数，若曲线在点处的切线与直线垂直，则切线的方程为_____________． 16. 在矩形中，，，沿对角线将矩形折成一个大小为的二面角，若，则此时点与点之间的距离是____________． 四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 某传统文化学习小组有10名同学，其中男生5名，女生5名，现要从中选取4人参加学校举行的汇报展示活动． （1）如果4人中男生、女生各2人，有多少种选法？ （2）如果男生甲与女生乙至少有1人参加，有多少种选法？ （3）如果4人中既有男生又有女生，有多少种选法？ 18. 已知向量，，. （Ⅰ）当时，若向量与垂直，求实数和的值； （Ⅱ）若向量与向量，共面，求实数的值. 19. 已知多项式的展开式中，第3项与第5项的二项式系数之比为2：5. （1）求n的值； （2）求展开式中含x项的系数. 20. 如图，在三棱锥中，已知平面平面，，，，为的中点． （1）若，求直线与所成角的余弦值； （2）已知点在线段上，且，求二面角的大小． 21. 已知， （1）求的值; （2）若且，求的值; （3）求证：. 22. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）求函数的单调区间和极值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $