7.2定义与命题 同步练习2024-2025学年北师大版数学八年级上册

7.2定义与命题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列命题正确的是（　　） A．有且只有一条直线与已知直线垂直 B．同位角相等 C．两条平行线间的距离处处相等 D．有公共顶点且相等的角是对顶角 2．下列命题中，为真命题的是（　　　） A．内错角相等 B．对顶角相等 C．同位角相等 D．互补的两个角是邻补角 3．已知下列命题：①若=-a，则a≤0；②若a>，则a2>b2；③两个位似图形一定是相似图形；④平行四边形的两组对边分别相等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 4．下列语句中是真命题的是（   ） A．对顶角相等吗？ B．内错角相等 C．直角都是 D．等角的补角互余 5．下列命题的逆命题为真命题的是（    ） A．无理数是无限小数 B．如果，那么 C．对顶角相等 D．两直线平行，同旁内角互补 6．下列命题： ①三角形的三边长确定后，三角形的形状就唯一确定； ②三角形的角平分线，中线，高线都在三角形的内部； ③全等三角形面积相等，面积相等的三角形也全等； ④三角形和四边形都具有稳定性． 其中假命题的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 7．判断下列命题的逆命题是假命题的是        (    ) A．两条直线平行，内错角相等 B．直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 C．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 D．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上 8．下列命题的逆命题为真命题的是（    ） A．对顶角相等 B．若，则 C．全等三角形的面积相等 D．两直线平行，同位角相等 9．若P（P≥5）是一个质数而且P2﹣1除以24没有余数，则这种情况（　　） A．绝不可能 B．只是有时可能 C．总是可能 D．只有当P=5时可能 10．下列命题中是真命题的是（   ） A．中位数就是一组数据中最中间的一个数 B．这组数据0，2，3，3，4，6的方差是2.1 C．一组数据的标准差越大，这组数据就越稳定 D．如果的平均数是，那么 11．下列命题是真命题的是（    ） A．斜边相等的两个直角三角形全等 B．三个角分别相等的两个三角形全等 C．两条边和一个角相等的两个三角形全等 D．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 12．下列说法正确的是（  ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．垂直于同一直线的两条直线互相平行 D．平行于同一直线的两条直线互相平行 二、填空题 13．把命题“对顶角相等”改写为“如果……，那么……”的形式为 ，这是一个 命题（填“真”或“假”） 14．用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是直角”时，最恰当的证法是先假设一个三角形中 ． 15．举例说明命题：“如果都是无理数，那么也是无理数”是假命题，的值可以为 ， ． 16．已知命题：①如果，那么；②如果，那么；③等角的余角相等；④两个相等的角是对顶角．其中是假命题的序号有 ． 17．把命题“互为相反的两个数的和为零”改写成“如果…，那么…”的形式为 ． 三、解答题 18．数学是一门充满思维乐趣的学科，现有的数阵A，数阵每个位置所对应的数都是1，2或3．定义ab为数阵中第a行第b列的数． 例如，数阵A第3行第2列所对应的数是3，所以32=3． （1） 对于数阵A，23的值为 ；若23=2x，则x的值为 （2）若一个的数阵对任意的a，b，c均满足以下条件： 条件一：aa=a；条件二：；则称此数阵是“有趣的”． ①请判断数阵A是否是“有趣的”．你的结论：_______（填“是”或“否”）； ②已知一个“有趣的”数阵满足12=2，试计算21的值； ③是否存在“有趣的”数阵，对任意的a，b满足交换律ab=ba？若存在，请写出一个满足条件的数阵；若不存在，请说明理由． 19．命题：全等三角形的对应边上的高相等．      (1)将该命题写成“如果…，那么…”的形式：　 　； (2)下面是小明同学根据题意画出的图形及写出的已知和求证，请帮助小明同学写出证明过程． 已知：如图，，，． 求证：． 20．足球比赛的记分规则为胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分，某足球队在本赛季共需比赛14场，现已比赛了8场，其中输了一场，得17分． (1)前8场比赛中，这支球队共胜了多少场？（用列方程的方法解） (2)通过对比赛情况的分析，这支球队踢满14场比赛，得分不低于29分，就可以达到预期目标．请你分析一下，在后面的6场比赛中，这支球队至少要胜几场，才能达到预期目标． 21．探究活动 （1）[知识回顾]如图，王芳不小心把一块三角形的玻璃打成三块碎片，现要配出与原来一样的玻璃，则应携带的玻璃碎片编号是（　　） A．①                  B．②                     C．③ （2）[直观感知]如图，李明不小心把一块四边形的玻璃打成四块碎片，现要配出与原来一样的玻璃，则应携带的玻璃碎片编号是（　　） A．① ②              B．① ③               C．① ④ D．② ③              E．② ④               F．③ ④ （3）[问题探究]在平面几何里，能够完全重合的两个三角形叫全等三角形．类似的，我们把能够完全重合的两个四边形叫全等四边形．也就是说四条边和四个角都分别相等的两个四边形全等． ① 已知：如图，在四边形与四边形中，，，，，． 求证：四边形与四边形是全等四边形． ② 请类比全等三角形的判定定理，用文字语言表述第① 题的题设与结论： ③ 请再写出一个判定四边形全等的真命题．（用符号语言表达，不必证明） 22．写出命题“有两角互余的三角形是直角三角形”的逆命题并证明． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B C D B C D C D 题号 11 12 答案 D D 1．C 【分析】分析所给的命题是否正确，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案． 【详解】∵平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， ∴选项A不正确； ∵两直线平行，同位角相等， ∴选项B不正确； ∵两条平行线间的距离处处相等， ∴选项C正确； ∵一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角， ∴选项D不正确． 故选C 【点睛】主要主要考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 2．B 【分析】根据内错角、对顶角、同位角、邻补角的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、内错角不一定相等，则此项命题为假命题，不符题意； B、对顶角相等，则此项命题是真命题，符合题意； C、同位角不一定相等，则此项命题为假命题，不符题意； D、互补的两个角不一定是邻补角，则此项命题为假命题，不符题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了内错角、对顶角、同位角、邻补角、命题，熟练掌握对顶角相等是解题关键． 3．B 【分析】本题需要分别分析原命题和逆命题的真假，要知道原命题的逆命题是什么，判断命题的真假要分析命题的题设能否推出结论，要做到有据可依． 【详解】①若=-a，则a≤0，显然原命题正确，其逆命题也正确，如a=-1，，故此选项正确； ②若a>，则a2>b2，显然原命题正确，但逆命题错误，如，a=-4，b=3时，，故此选项错误； ③两个位似图形一定是相似图形，原命题正确，但其逆命题错误，相似的图形不一定位似，故此选项错误； ④平行四边形的两组对边分别相等，原命题和逆命题分别是平行四边形的性质和判定，故此选项正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了命题和定理，主要考查命题的真假判断，判断命题的真假关键是要熟悉学习过的性质定理． 4．C 【分析】根据命题的概念，正确的命题叫真命题、错误的命题叫做假命题，平行线的性质，补角的概念判断即可． 【详解】解：A、对顶角相等吗？不是命题，不符合题意； B、两直线平行，内错角相等，故本选项说法是假命题，不符合题意； C、直角都是，是真命题，本选项符合题意； D、等角的补角相等，故本选项说法是假命题，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断、命题的概念，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 5．D 【分析】分别写出原命题的逆命题后判断正误即可． 【详解】解：A、无理数是无限小数的逆命题为无限小数是无理数，错误，是假命题，不符合题意； B、如果a=b，那么a2=b2 的逆命题是如果a2=b2，那么a=b，错误，是假命题，不符合题意； C、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，错误，是假命题，不符合题意； D、两直线平行，同旁内角互补的逆命题是同旁内角互补，两直线平行，正确，是真命题，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大． 6．B 【分析】根据全等三角形的判定和性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：①三角形的三边长确定后，根据SSS，三角形的形状就唯一确定，故本说法正确，是真命题； ②钝角三角形三角形的两条高线在三角形的外部，故本说法错误，是假命题； ③全等三角形面积相等，面积相等的三角形不一定全等，故本说法错误，是假命题； ④三角形具有稳定性，故本说法错误，是假命题； 所以假命题有②③④，共3个． 故选：B 【点睛】本题主要考查了判断命题的真假，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 7．C 【分析】根据逆命题的概念写出各个命题的逆命题，根据相关的定理判断即可． 【详解】A、两条直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两条直线平行，是真命题； B、直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方逆命题是两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形，是真命题； C、如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等的逆命题是如果两个实数的绝对值相等，那么两个实数相等或互为相反数，是假命题； D、在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上的逆命题是在角的平分线上的点到角的两边的距离相等，是真命题； 故选：C． 【点睛】本题考查的是逆命题的概念、命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 8．D 【分析】本题考查了命题的逆命题以及判定命题的真假，分别写出各命题的逆命题，再判断即可，熟记相关数学结论是解题关键． 【详解】解：：逆命题为：相等的两个角是对顶角．为假命题，不符合题意； ：逆命题为：若，则．取，，可知为假命题，不符合题意； ：逆命题为：面积相等的三角形一定全等．一个直角三角形的面积可以和一个钝角三角形的面积相等，可知为假命题，不符合题意； ：逆命题为：同位角相等，两直线平行．根据平行线的判定定理可知为真命题，符合题意； 故选：． 9．C 【详解】解：因为P（P≥5）是一个质数，则P是奇数， 设P=2a+1（a=1，2，3） ∴p2﹣1=（2a+1）2﹣1=4a2+4a=4a（a+1）， 因为a，a+1一定有一个可以被2整除， 所以p2﹣1是8的倍数， ∵P（P≥5）是一个质数， ∴P不是3的倍数， P=3b+1或3b+2（b=1，2，3…）， ∴p2﹣1=（p+1）（p﹣1）， 当p=3b+1时，p﹣1是3的倍数， 同样p=3b+2时，p+1是3的倍数． ∴p2﹣1也是3的倍数， ∴p2﹣1是24的倍数， ∴P2﹣1除以24没有余数． 故选C． 点睛：本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 10．D 【分析】根据中位数的概念、方差的计算公式、方差的性质判断． 【详解】解：A、中位数是一组数据中最中间的一个数或最中间的两个数的平均数，本选项说法是假命题； B、（0+2+3+3+4+6）=3， [（0-3）2+（2-3）2+（3-3）2+（3-3）2+（4-3）2+（6-3）2]=，则本选项说法是假命题； C、一组数据的标准差越大，这组数据就越不稳定，本选项说法是假命题； D、如果x1，x2，x3，…，xn的平均数是，那么（x1-）+（x2-）+…+（xn-）=0，是真命题； 故选D. 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 11．D 【分析】根据正确的命题是真命题，错误的命题是假命题，即可求解． 【详解】解：A、应该是斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，故本选项不符合题意； B、三个角分别相等的两个三角形不一定全等，故本选项不符合题意； C、两条边及其夹角对应相等的两个三角形全等，故本选项不符合题意； D、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，是真命题，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了命题的真假，熟练掌握正确的命题是真命题，错误的命题是假命题是解题的关键． 12．D 【分析】对于A、C差前提条件“在同一平面内”，对于B要强调直线外一点，根据平行线的性质可判断D选项正确． 【详解】解：A、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以A选项错误； B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以B选项错误； C、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，所以C选项错误； D、平行于同一直线的两条直线互相平行，所以D选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项．结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”的形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 13． 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 真 【详解】试题分析：把命题的条件写在如果的后面，把命题的结论写在那么的后面就可以得出答案. 原命题的条件是：“两个角是对顶角”，结论是：“这两个角相等”，命题“对顶角相等”写成“如果…，那么…”的形式为：“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”．这是一个真命题 故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．真 14．有两个角是直角 【分析】根据反证法的要求先否定结论即可． 【详解】解：用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是直角”时，最恰当的证法是先假设一个三角形中有两个角是直角， 故答案为：有两个角是直角 【点睛】此题考查了反证法，反证法的步骤是：否定结论，推出矛盾，肯定结论，熟练掌握是解题的关键． 15． （答案不唯一） 【分析】根据实数的运算举出、乘积为有理数的两个数即可得解． 【详解】解：∵当，时，、都是无理数，但，为有理数 ∴“如果都是无理数，那么也是无理数”是假命题． 故答案是：  ；（答案不唯一） 【点睛】本题考查了命题与定理，实数的运算，只要是所举出的两个数乘积为有理数即可． 16．①②④ 【分析】根据绝对值定义可判定①，由平方的概念可判定②，由余角定义可判断③，根据对顶角定义可判断④． 【详解】解：如果|x|=x，那么x≥0，故①是假命题； 如果a2=9，那么a=3或a=-3，故②是假命题； 等角的余角相等，故③是真命题； 两个相等的角不一定是对顶角，故④是假命题； ∴假命题有：①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握绝对值，平方，余角，对顶角等概念． 17．如果两个数的和为零，那么它们互为相反数， 【分析】本题考查命题与定理、命题写成“如果…，那么…”的形式，熟练掌握“如果”后面接的部分是条件，“那么”后面接的部分是结论是解题的关键．找出命题中的条件和结论，再改写成“如果…，那么…”的形式即可． 【详解】解：把“互为相反的两个数的和为零”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果两个数的和为零，那么它们互为相反数， 故答案为：如果两个数的和为零，那么它们互为相反数． 18．（1）2； 1，2，3；（2）①是；②1；③不存在，理由见解析 【分析】（1）根据ab为数阵中第a行第b列的数列式计算即可求出23的值；分三种情况讨论可求出满足23=2x时x的值； （2）①根据条件一：aa=a和条件二：验证即可；②由，可得，结合可得，再有aa=a可得，从而可求出21的值；③方法一：若存在满足交换律的“有趣的”数阵，依题意，对任意的有：，这说明数阵每一列的数均相同.由，，可得出矛盾. 方法二：由条件二可知，只能取1，2或3，由此可以考虑取值的不同情形，举例验证即可． 【详解】解：（1）第2行第3列的数为2， ∴23的值为2； 第2行第1列，第2行第2列，第2行第3列的数都是2， ∴23=2x，则x的值,1,2,3； 故答案为：2； 1，2，3； （2）①条件一：11=1，22=2，33=3，满足； 条件二：经验证，满足； ∴数阵A是“有趣的”． 故答案为：是； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∵aa=a， ∴， ∴． ③不存在， 理由如下：方法一：     若存在满足交换律的“有趣的”数阵，依题意，对任意的有： ， 这说明数阵每一列的数均相同． ∵，，， ∴此数阵第一列数均为1，第二列数均为2，第三列数均为3， ∴，，与交换律相矛盾． 因此，不存在满足交换律的“有趣的”数阵． 方法二： 由条件二可知，只能取1，2或3，由此可以考虑取值的不同情形． 例如考虑： 情形一：． 若满足交换律，则， 再次计算可知： ，矛盾； 情形二：． 由(2)可知， ， ，不满足交换律，矛盾； 情形三：． 若满足交换律，即， 再次计算可知： ， 与矛盾． 综上，不存在满足交换律的“有趣的”数阵． 【点睛】本题考查了新定义运算，理解“有趣的”的数阵的含义是解答本题的关键.也考查了分类讨论的思想和反证法． 19．(1)如果两个三角形是全等三角形，那么它们对应边上的高相等 (2)见解析 【分析】（1）找出命题的题设和结论，然后进行改写即可； （2）利用证明，根据全等三角形的性质可得． 【详解】（1）解：将该命题写成“如果…，那么…”的形式：如果两个三角形是全等三角形，那么它们对应边上的高相等； （2）证明：∵， ∴，， 又∵，，即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了命题，全等三角形的判定和性质，熟练掌握命题与定理的知识以及全等三角形的判定和性质是解题的关键． 20．(1)这支球队共胜了5场 (2)至少胜3场 【分析】（1）设这支球队胜了场，则平了场，根据总分为17分，列出一元一次方程，解方程即可； （2）由题意可得在以后的6场比赛中，只要得分不低于12分即可，胜场不少于4场，一定可达到预期目标，而胜3场，平3场，正好也达到预期目标，即可得到答案． 【详解】（1）解：设这支球队胜了场，则平了场， 由题意得： ， 解得， 答：这支球队共胜了5场； （2）解：由题意可知，在以后的6场比赛中，只要得分不低于12分即可， 胜场不少于4场，一定可达到预期目标，而胜3场，平3场，正好也达到预期目标， 因此在以后的比赛中至少要胜3场， 答：至少胜3场． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，逻辑推理，理解题意，正确列出一元一次方程是解题的关键． 21．（1）C；（2）E（3）①见解析；②题设：四条边都相等，且有一对角对应相等；结论：这两个四边形全等；③在四边形与四边形中，，，，，． 则四边形与四边形是全等四边形； 【分析】（1）根据分析即可求解； （2）根据（1）的结论，找到能确定一条边2个角的三角形，即可求解； （3）①连接，证明，得出，证明，即可求解． ②根据①的命题，写出题设与结论即可求解． ③ 根据①结论写出真命题，进而根据全等三角形的方法进行证明即可求解． 【详解】（1）解：依题意，③玻璃碎片，含有条边，个角，依据可得两个三角形全等， 故选：C； （2）解：带②④，理由如下， 如图， ∵根据碎片的形状，可以确定长度的长度，且碎片②④保留了2个角，以为边的左右两边的两个三角形的两个角确定了， 根据（1）的结论可得出2对全等三角形， ∴带②④， 故选：E． （3）①证明：如图，连接 ∵在四边形与四边形中，，， ． ∴， ∴ 又，， ∴ ∴四边形与四边形是全等四边形； ②题设：四条边都相等，且有一对角对应相等； 结论：这两个四边形全等； ③如图，在四边形与四边形中，，，，，． 则四边形与四边形是全等四边形； 证明：如图， ∵，，， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴ ∴四边形与四边形是全等四边形； 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 22．见解析. 【分析】把原命题的题设和结论部分交换得到其逆命题，然后根据三角形内角和定理证明逆命题． 【详解】命题“有两角互余的三角形是直角三角形”的逆命题为直角三角形有两角互余． 已知：△ABC中，∠C=90°． 求证：∠A+∠B=90°． 证明：∵∠A+∠B+∠C=180°， 而∠C=90°，∴∠A+∠B=90°， 即∠A与∠B互余． 【点睛】本题考查命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题．也考查了逆命题． 学科网（北京）股份有限公司 $$