精品解析：贵州省毕节市 织金县思源实验学校2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

贵州省2024—2025学年度第一学期期中考试 九年级数学（北师大版） （满分：150分） 注意事项： 1．答题时，务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程．熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义判断作答即可． 【详解】解：中，有两个未知数，不是一元二次方程，故A不符合要求； ，不是整式方程，不是一元二次方程，故B不符合要求； ，是一元二次方程，故C符合要求； ，次数为3，不是一元二次方程，故D不符合要求； 故选：C． 2. 对角线相等的平行四边形一定是（ ） A. 矩形 B. 正方形 C. 菱形 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了特殊平行四边形判定，熟练掌握各特殊平行四边形的判定是解题关键． 根据对角线相等的平行四边形是矩形，直接得出答案即可． 【详解】解：∵对角线相等的平行四边形是矩形， ∴选项A符合题意， 故选： A． 3. 关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根，当时，一元二次方程有两个相等的实数根，当时，一元二次方程无实数根．计算此方程的判别式即可求解． 【详解】解：∵方程的， ∴一元二次方程无实数根；   故选： C． 4. 如图，在菱形中，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，根据菱形的对角线平分一组对角得到的度数，再根据菱形对边平行即可得到答案． 【详解】解：∵在菱形中，已知， ∴， ∴， 故选：B． 5. 若某随机事件发生的概率为，则下列说法正确的是（ ） A. 在2次试验中，该事件至少发生1次 B. 在1000次试验中，该事件发生的次数一定为500次 C. 随着试验次数的增加，该事件发生的频率会逐渐稳定在 D. 当试验次数特别多时，该事件发生的频率为 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，可能发生也可能不发生，据此根据题意得出答案即可． 【详解】解：∵某个事件发生的概率是， ∴根据概率的意义可知：该事件在一次试验中可能发生也可能不发生，且每次试验中事件发生的可能性是，且随着试验次数的增加，该事件发生的频率会逐渐稳定在， 故选：C． 6. 一元二次方程经过配方后，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 故选：D． 7. 菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示．若，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，坐标与图形的性质，数形结合是解答本题的关键．根据勾股定理求出，得出，进而可得出点C的坐标． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标为． 故选A． 8. 某市举行篮球联赛，每两支球队之间只进行一场比赛，一共比赛了45场，设有支球队参加比赛，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设有支球队参加比赛，每支球队都要和其他支球队比赛一场，并且两队之间的比赛只能算作一场，由此列出不等式即可． 【详解】解：设有支球队参加比赛， 由题意得，， 故选B． 【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 9. 如图，在正方形中，为上的一点，连接，若，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，则的度数为（　） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理等等，先由正方形的性质和三角形内角和定理得到，，再由旋转的性质得到，则，据此根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 由旋转的性质得到， ∴， ∴， 故选：C． 10. 对于实数a，b，c，d，定义运算，我们把它叫做二阶行列式，例如：．若，则x的值为（ ） A. 或4 B. 2或 C. 2或4 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 解得：， 故选：A． 11. 如图，在菱形中，，点E，F分别在，上，且，过点E作交于点G，过点F作交于点H，与交于点O．当四边形与四边形的周长之差为12时，的值为（　　） A. 6.5 B. 6 C. 5.5 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得四边形和四边形为菱形，且，设，则，根据菱形的周长之差为12，可得两个菱形的边长之差为3，即，然后求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，， ∴四边形与四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形与四边形是菱形， ∵四边形与四边形的周长之差为12， ∴， 解得：， 故选：C． 【点睛】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的判定得出四边形与四边形是菱形． 12. 在三张卡片上分别标上数字，2，，先从这三张卡片中随机抽出一张记所标数字为a，然后放回打乱，再从中随机抽出一张记所标数字为b，则一次函数的图象经过第二象限和第三象限的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，列举法求概率．熟练掌握一次函数的图象与性质，列举法求概率是解题的关键． 由题意知，当或时，一次函数的图象经过第二象限和第三象限，然后列举所有的情况，进行求解作答即可． 【详解】解：由题意知，当或时，一次函数的图象经过第二象限和第三象限， 由题意知，有，，，，，，，，共9种等可能的结果， 其中使一次函数的图象经过第二象限和第三象限，有，，，，共5种等可能的结果， ∴一次函数的图象经过第二象限和第三象限的概率为， 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 如图，在矩形中，对角线，交于点O，要使该矩形成为正方形，则添加的条件可以是____________（只需写一个，不添加辅助线）． 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的性质，正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解本题的关键，本题补充一组邻边相等即可得到结论． 【详解】解：∵矩形， ∴补充， ∴矩形是正方形； 故答案为：． 14. 为了估计暗箱里黑球的数量（箱内只有黑球），将6个白球放进去，这些球与黑球除颜色外其他都相同，搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后放回；搅匀后再从中随机摸出一个球，记下颜色后放回……多次重复后发现摸出黑球的频率稳定在附近，那么可以估计暗箱里黑球的个数为______个． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、频率等知识，结合频率的概念建立关于的分式方程是解题关键．设暗箱里黑球的个数为个，根据“频率稳定在附近”可得，求解并检验，即可获得答案． 【详解】解：设暗箱里黑球的个数为个， 根据题意，可得， 解得， 经检验，是该分式方程的解， 所以暗箱里黑球的个数为9个． 故答案为：9． 15. 如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的面积为是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质及“斜中半定理”．根据菱形的性质结合“斜中半定理”可得是解题关键． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，    ∴菱形的面积， 故答案为：． 16. 已知实数a，b（）满足，，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的应用．由根与系数的关系，得，，把代数式变形成与两根之和和两根之积有关的式子，代入两根之和与两根之积，求得代数式的值． 【详解】解：∵，实数a，b满足，， ∴可以把a，b看作是方程的两根． 由根与系数的关系，得，， ∴； 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 按要求解下列方程： （1）（因式分解法）； （2）（公式法）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，能正确运用指定的方法解一元二次方程是解此题的关键． （1）先移项将原方程可变形为，进而得．再解两个一元一次方程即可求解； （2）将原方程化为一般形式．求出，再代入求根公式即可求解． 【小问1详解】 解：原方程可变形为， ． ，或， ∴． 【小问2详解】 解：将原方程化为一般形式，得． 这里． ， ， 即． 18. 下表记录了某纺织厂对一批衬衣进行抽检统计的结果 抽取件数n 50 100 150 200 500 800 1000 合格数m 48 93 143 189 478 759 952 合格率 a （1）______； （2）估计从这批衬衣中任抽一件是合格品概率为______；（精确到） （3）若从这批衬衣中抽检1200件，估计其中的次品有多少件？ 【答案】（1） （2） （3）60件 【解析】 【分析】本题考查用频率估计算概率，频率计算公式，求出合格品的频率是解题的关键． （1）根据合格率，计算即可； （2）求出合格品的频率 ，由此估计出合格品的概率； （3）根据次品数，计算即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：． 【小问2详解】 解：抽查总体件数：， 合格品数：， ∴抽合格品的频率为：， ∴估计从这批衬衣中任抽一件是合格品的概率约为， 故答案为：． 【小问3详解】 解：（件）， 答：从这批衬衣中抽检1200件，估计其中的次品有60件． 19. 如图，有一面长的墙，现要用长的篱笆围成一面靠墙且中间隔有一道篱笆（）的矩形花圃，设花圃的宽为．若围成的花圃的面积为，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用．熟练掌握一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用是解题的关键． 由题意知，，，，可求，依题意得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：由题意知，，，， 解得，， 依题意得，， 整理得，， 解得（舍去），， ∴的长为． 20. 阳阳一家准备寒假到贵州旅游，通过网上查阅．初步打算在下面的几个景点中选择性游玩：镇远古镇（A），荔波小七孔（B），黄果树瀑布（C），威宁草海（D），梵净山（E）． （1）若他们随机选择1个景点，则他们去荔波小七孔的概率是______； （2）若他们随机选择两个景点，请用列表或画树状图的方法，求他们去威宁草海的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式求解可得； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式求解可得． 【小问1详解】 解：若他们随机选择1个景点，则他们去荔波小七孔的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： A B C D E A B C D E 由表可知，共有20种等可能的结果，其中他们去威宁草海的结果有8种， ∴“他们去威宁草海的概率为． 21. 如图，D、E、F分别是三边中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若四边形是矩形， 求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由三角形中位线定理得到，再由两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明四边形是平行四边形； （2）先由矩形的性质得到，再由勾股定理得到，最后根据三角形中位线定理即可得到． 【小问1详解】 证明：∵D、E、F分别是三边中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形 【小问2详解】 解：如图所示，连接， ∵若四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵E、F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，熟知三角形的中位线平行于第三边且等于第三边长的一半是解题的关键． 22. 在2024国际射联射击世界杯总决赛上，中国射击运动员谢瑜以环的优异成绩摘得男子10米气手枪金牌，激励着千千万万的青少年坚定理想、奋力拼搏．谢瑜的家乡贵州省某地盛产核桃，某农户2022年种植核桃80公顷，他逐年扩大规模，到2024年，核桃种植面积达到了公顷． （1）求该农户这两年种植核桃公顷数的年均增长率； （2）某销售核桃的干果店经市场调查发现，当核桃售价为20元/时，每天能售出，售价每降低1元、每天可多售出，为了尽快减少库存，该店决定降价促销，已知核桃的平均成本价为12元/，若要使该店销售核桃每天获利1750元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1） （2）3元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用： （1）设该农户这两年种植核桃公顷数的年均增长率为x．根据两年时间种植面积由80公顷变为公顷列出方程求解即可； （2）设售价应降低y元，则每千克的利润为元，销售量为，再由总利润为1750列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设该农户这两年种植核桃公顷数的年均增长率为x． 由题意，得， 解得（舍去）． 答：该农户这两年种植核桃公顷数的年均增长率为． 【小问2详解】 解：设售价应降低y元． 由题意，得， 整理得 解得． ∵要尽快减少库存， ∴． 答：售价应降低3元． 23. 如图，在菱形中，对角线与交于点O，过点D作交的延长线于点E，在上截取，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等，解题的关键是：熟练掌握菱形的性质. （1）先证明四边形是平行四边形，然后利用矩形的判定即可得证； （2）先利用菱形的性质得出， ，，然后勾股定理求出，然后利用等面积法求出，即可求解. 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， 平行四边形矩形； 【小问2详解】 解：四边形是菱形，对角线与交于点O ，，， ， ， 菱形的面积 ， ， ∵四边形是矩形， ． 24. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，且，则称这样的方程为“伴根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，且，则方程是“伴根方程”， （1）方程______“伴根方程”；（填“是”或“不是”） （2）已知关于x的一元二次方程（m是常数）是“伴根方程”，求m的值； （3）若关于x的一元二次方程是“伴根方程”，证明：． 【答案】（1）是 （2）1或 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）先利用因式分解法解一元二次方程，然后根据“伴根方程”的定义进行判断； （2）先利用因式分解法解一元二次方程得到，，再根据“伴根方程”的定义得到，然后解关于的方程即可． （3）先设一元二次方程的两根分别为，则，整理得，则，即，整理得，即可作答． 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．也考查了因式分解法来解一元二次方程，平方差公式． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 得，， ， 方程是“伴根方程”， 故答案为：是； 【小问2详解】 解：， ， 或， ，， ∵方程是常数）是“伴根方程”， ， 或． 【小问3详解】 证明：设一元二次方程的两根分别为， 则， ∴， ， ， ， ， ． 25. 【问题提出】（1）如图1，在中，对角线平分．求证：四边形是菱形． 【问题探究】（2）如图2，点E在正方形内，点F在正方形外，连接，且．若，求的长． 【问题解决】（3）如图3，某公园内有一块平行四边形草坪，其中平分，，点E，P分别在上，且，连接．现要沿修建步行景观道，为了节省成本，要使所修的步行景观道最短，试求的最小值．（路面宽度忽略不计） 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得，从而有；由平分，得，即有，由菱形的判定即可证明； （2）由证，从而可得，由勾股定理即可求解； （3）首先由（1）可得，四边形为菱形，从而得；过点A作，取，连接，由证明，则有，从而得．连接、，当G、E、C三点共线时，取得最小值，最小值为．由，可得，由勾股定理即可求得，从而求得最小值． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ． 平分， ， ， ， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是正方形， ． 在和中，， ， ． ， ， ， ． （3）解：∵四边形为平行四边形，平分， ∴由（1）可知，四边形为菱形， ， ． 如图，过点A作，取，连接． 在和中，， ， ， ． 连接，当G，E，C三点共线时，取得最小值，最小值为． 在菱形中，， 是等边三角形， ， ， ， 故最小值为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，有一定的综合性，证明全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 贵州省2024—2025学年度第一学期期中考试 九年级数学（北师大版） （满分：150分） 注意事项： 1．答题时，务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 对角线相等的平行四边形一定是（ ） A. 矩形 B. 正方形 C. 菱形 D. 无法确定 3. 关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 4. 如图，在菱形中，已知，则的度数为（ ） A B. C. D. 5. 若某随机事件发生的概率为，则下列说法正确的是（ ） A. 在2次试验中，该事件至少发生1次 B. 在1000次试验中，该事件发生的次数一定为500次 C. 随着试验次数增加，该事件发生的频率会逐渐稳定在 D. 当试验次数特别多时，该事件发生的频率为 6. 一元二次方程经过配方后，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示．若，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 某市举行篮球联赛，每两支球队之间只进行一场比赛，一共比赛了45场，设有支球队参加比赛，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，为上的一点，连接，若，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，则的度数为（　） A. B. C. D. 10. 对于实数a，b，c，d，定义运算，我们把它叫做二阶行列式，例如：．若，则x的值为（ ） A. 或4 B. 2或 C. 2或4 D. 或 11. 如图，在菱形中，，点E，F分别在，上，且，过点E作交于点G，过点F作交于点H，与交于点O．当四边形与四边形周长之差为12时，的值为（　　） A 6.5 B. 6 C. 5.5 D. 5 12. 在三张卡片上分别标上数字，2，，先从这三张卡片中随机抽出一张记所标数字为a，然后放回打乱，再从中随机抽出一张记所标数字为b，则一次函数的图象经过第二象限和第三象限的概率为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 如图，在矩形中，对角线，交于点O，要使该矩形成为正方形，则添加的条件可以是____________（只需写一个，不添加辅助线）． 14. 为了估计暗箱里黑球的数量（箱内只有黑球），将6个白球放进去，这些球与黑球除颜色外其他都相同，搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后放回；搅匀后再从中随机摸出一个球，记下颜色后放回……多次重复后发现摸出黑球的频率稳定在附近，那么可以估计暗箱里黑球的个数为______个． 15. 如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的面积为是____． 16. 已知实数a，b（）满足，，则的值为______． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 按要求解下列方程： （1）（因式分解法）； （2）（公式法）． 18. 下表记录了某纺织厂对一批衬衣进行抽检统计的结果 抽取件数n 50 100 150 200 500 800 1000 合格数m 48 93 143 189 478 759 952 合格率 a （1）______； （2）估计从这批衬衣中任抽一件是合格品的概率为______；（精确到） （3）若从这批衬衣中抽检1200件，估计其中的次品有多少件？ 19. 如图，有一面长的墙，现要用长的篱笆围成一面靠墙且中间隔有一道篱笆（）的矩形花圃，设花圃的宽为．若围成的花圃的面积为，求的长． 20. 阳阳一家准备寒假到贵州旅游，通过网上查阅．初步打算在下面的几个景点中选择性游玩：镇远古镇（A），荔波小七孔（B），黄果树瀑布（C），威宁草海（D），梵净山（E）． （1）若他们随机选择1个景点，则他们去荔波小七孔的概率是______； （2）若他们随机选择两个景点，请用列表或画树状图的方法，求他们去威宁草海的概率． 21. 如图，D、E、F分别是三边中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若四边形是矩形， 求的长． 22. 在2024国际射联射击世界杯总决赛上，中国射击运动员谢瑜以环的优异成绩摘得男子10米气手枪金牌，激励着千千万万的青少年坚定理想、奋力拼搏．谢瑜的家乡贵州省某地盛产核桃，某农户2022年种植核桃80公顷，他逐年扩大规模，到2024年，核桃种植面积达到了公顷． （1）求该农户这两年种植核桃公顷数的年均增长率； （2）某销售核桃的干果店经市场调查发现，当核桃售价为20元/时，每天能售出，售价每降低1元、每天可多售出，为了尽快减少库存，该店决定降价促销，已知核桃的平均成本价为12元/，若要使该店销售核桃每天获利1750元，则售价应降低多少元？ 23. 如图，在菱形中，对角线与交于点O，过点D作交的延长线于点E，在上截取，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 24. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，且，则称这样的方程为“伴根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，且，则方程是“伴根方程”， （1）方程______“伴根方程”；（填“是”或“不是”） （2）已知关于x的一元二次方程（m是常数）是“伴根方程”，求m的值； （3）若关于x的一元二次方程是“伴根方程”，证明：． 25. 【问题提出】（1）如图1，在中，对角线平分．求证：四边形菱形． 【问题探究】（2）如图2，点E在正方形内，点F在正方形外，连接，且．若，求的长． 【问题解决】（3）如图3，某公园内有一块平行四边形草坪，其中平分，，点E，P分别在上，且，连接．现要沿修建步行景观道，为了节省成本，要使所修的步行景观道最短，试求的最小值．（路面宽度忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$