山东省青岛第三十九中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷

青岛39中期中检测高三数学试题 一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要 求的。 1.设复数z满足zi=12+il+2i(t为虚数单位),则z的虚部为() A.V5t B.-V5i C.V5 D.-V5 2.已知平面向量=(0.1),万=(-1.2),则向量ā在向量5上的投影向量是() A.(-2545) B.(-)C.(2}-) D.(245) 为虚轴端点,则双曲线C的离心率为( A B7 C.5 D. 4.已知tan2a·cos(a+)-2. 则sin2a-( A-} 2 C.# D 5.已知函数f(x)=2lnx-1ax2-2x在xE(.4)上存在单调递增区间,则实数a的取值范围为( ) A.(--) B.(-0-1 C.(一o4) D.(-,4] 6.已知直线y=ax+b(aER.b>0)是曲线f(x)=e*与曲线g(x)=lnx+2的公切线,则a+b等于( C.e1 B.3 A.e+2 D.2 7.若函数f(x)-+bln(Vx+1-x)+3(a>0且a*1,b为常数)在[-c.0](c为常数)上有最小 值一5,则f(x)在[0,c]上() B.有最大值6 A.有最大值12 C.有最小值-5 D.有最小值-8 (x+llnxl-2x>0 8.设函数/(x)= (sin(x+)--n<xso有7个不同的零点,则正实数o的取值范围为( ) A.[1317) C.) B.[1721 D.73 # 第1页,共4页 二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。 9. 已知偶函数f(x)=cos(2x+)-V3sin(2ox+)(>0.ll<)的周期为n,将函数f(x)的图象 向右平移”个单位长度,得到函数y三g(x)的图象,下列结论正确的是() A.g(x)=2cos(2x-") B.函数g(x)的图象关于直线x-对称 C.不等式g(x)>1的解集为{xkn<x<kn+,kez D. g(x)-/2()在(0.)上有两个相异实根 10.设函数f(x)=(x-1)?(x-4),则 A.x=1是f(x)的极小值点 B.f(2+x)+f(2-x)=-4 C.不等式-4<f(2x-1)<0的解集为(x1<x<2 D.当o<x<,f(sinx)>f(sin2x) 11.如图,在校长为1的正方体中,下列结论正确的是( A.异面直线AC与BC,所成的角为60 B.直线AB,与平面ABC.D.所成角为45 C.二面角A-B.C-B的正切值为2 D.四面体D.-AB.C的外接球的体积为3 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 12.已知动圆F与圆A:(x+4)②+y②}=2外切,与圆B:(x-4)②}+y②}=2内切,则动圆圆心E的轨迹 方程为__. 13.设A.B是一个随机试验中的两个事件,且P(A)-2,P(B)-,P(A+B)-.则P(BlA)-__. 14.小王和爸爸玩卡片游戏,小王拿有2张标有A和1张标有B的卡片,爸爸有3张标有B的卡片,现两 人各随机取一张交换,重复n次这样的操作,记小王和爸爸每人各有一张A卡片的概率记为a,则 第2页,共4页 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 15.(本小题13分) (1)求角C; (2)若△ABC的面积为23,D为BC中点:AD=23,求△ABC的周长 16.(本小题15分) 随着信息技术的飞速进步,大数据的应用领域正日益扩大,它正成为推动社会进步的关键力量,某 研究机构开发了一款数据分析软件,该软件能够精准地从海量数据中提取有价值的信息,在软件测试 阶段,若输入的数据集质量高,则软件分析准确的概率为0.8;若数据集质量低,则分析准确的概率为 0.3.已知每次输入的数据集质量低的概率为0.1. (1)求一次数据能被软件准确分析的概率 (2)在连续n(n>B)次测试中,每次输入一个数据集,每个数据集的分析结果相互独立.设软件准 确分析的数据集个数为X 求x的方差;②当n为何值时,P(X一8)的值最大? 17.(本小题15分) 如图,四校锥P-ABCD的底面ABCD是梯形,BC//AD,PA=AB=BC=1:AD=2,PC=3 PA1平面ABCD. (1)求证:平面PBC1平面PAB (2)在校PD上是否存在一点E,使得二面角E-AC-P的余弦值为.若存在,求出PE:ED的值: 若不存在,请说明理由 第3页,共4页 18.(本小题17分) 周长为22+2,其中0为坐标原点. (1)求C的方程 (2)直线l:y=x+m与C交于A,B两点 (1)设00-0A+0B,试证明点0在定直线上,并求出定直线方程 (ii)求△0AB面积的最大值 19.(本小题17分) 已知函数f(x)=x-1-alnx. (1)讨论f(x)的单调性; (2)当x>1时,f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围 1>ln(n+1). 第4页,共4页 青岛39中期中检测高三数学答案和解析 1.【答案】C【解答】解:复数z满足zi=12+l1+21=5+2i,则-5+2(-2-51,则复数z=2+5i. 即复数z的虚部为V5,故选C. 2.【答案】B【解答】解:向最a在向量上的投影向量为---2)-(-{-),故选B. 3.【答案】A【解答】解:直线4x一5y+20=0过双曲线的左焦点F,且与y轴交点为虚轴端点 可得F(-5.0),虚轴-个端点为(0.4),即有双曲线的c=5,b=4,a=Vc2-b-3.则e--- 4.【答案】A【解答】解:由tan2a:cos(a+)-,可得:cos.(cosa-sing)-是. 则 2sin2a=cosg+sing,两边平方可得:2sin22a=1+sin2a,即2sin?2a-sin2a-1=0 解得:sin2a=-或sin2a=1,因为tan2a有意义,所以sin2a 1,故sin2a--1. 5.【答案】C【解答】解:函数f(x)=2lnx-ax2-2x在(,4)上存在单调递增区间, 即/'(x)-2-ax-2>0在区间(},4)上有解,即-2>a.令t-)(.2). 即2t^②-2t>a有解,当t=2时,2t2-2t取最大值4,故:a<4,故选:C 6.【答案】D【解答】解:设直线y=ax+b与曲线f(x)=ex,g(x)=lnx+2分别切于点(x.ex),(x2.lnx2+ 2),又因为/'(x)=e ,g'(x)-,所以y-ex=cx(x-x1),y-(nx2+2)=(x-x2). _ 即y=exx+(1-x)ex,-x+nx2+1所以t (1-x1)ex1=nx2+1 ln$z,所以(1-xi)ex=1-x,即(1-$x)(ex-1)=0,所以x=1或x =0,当x=1时,xi2= 此$$ 时b=0,不满足题意:当x,=0时,x2=1,此时a=b=1,所以a+b=2.故选D 7.【答案】A【解答】解:方法一:f(-x)+f(x)-+bìn(x+1+x)+3++bin(V+1-x)+ 由题意,3xoE[-c.0],f(xo)=-5所以存在-xoE[0.c],使得f(-x)=7-f(xo)=12.综上,fqx 在[0.c]上有最大值12.:故选A. 法二:g(x)=-}+bln(\×*+1-x)#,则g(-)--+寸+bin(V+1+x)=+-- bln(\1-x)#--bln(x平1-x)-s(x),故g(x)为奇函数,且/(x)=g(x)+. 1页站 知g(x)在[0.e])上有最大值,所以/(x)在0.c])上有最大值为号+2-12. 故选A. 8.【答案】C【解答】 解:当x>0时,f(x)=x+llnxl-2,画出y=lnxl与y=-x+2的图象 由图象可知:f(x)在区间(0,+c)上有2个不同零点; 当-n<x<o时,因为>0,所以-r+”<ox+“<”. 因为此时/(x)有5个不同零点,所以-5x-<-+<-4r+” 解得2.,即正实数or的取值范围为1). 9.【答案】BCD【解答】解:f(x)=cos (2ux+)-3sin (2ux+)=2 cos (2x+)- #Jsn (20x+)=2cos (20x++),因为>0,所以最小正周期r-2-=n,得=1. 因为f(x)=2cos(2x++)为偶函数,所以+=knr{kE z),=kπ-(ke 2). 因为l pl<,所以=-,所以f(x)=2cos(2x),将函数f(x)的图象向右平移个单位长度, 可得g(x)-2cos2(x-)=2cos(2x-).故4错误: 对于B,当x=时,2x-=0,故g()-2为g(x)的最大值,因此函数g(x)的图象关于直线x-对称,B$$ 正确: 对于C,令g(x)=2cos(2x-)>1,得:cos(2x-)>,所以-+2kr<2x-<+2kr(k e).即 knπ<x<+kr(ke z),所以不等式g(x)1的解集为{xlkn<x<kr+.ke z,故C正确. 对于D,由g(x)(),即2cos(2x-)=2cos②xr,化简可得 sin2x,当xe(0.).2xie(0.rn)时, 根据正弦函数的性质此时方程sin2x-有两个不同解,所以g(x)-/~()在(0.)上有两个相异实根,故 D正确.故选BCD. 10.【答案】BD【解答】 解:由函数f(x)=(x-1)②(x-4),得f'(x)=3(x-1)(x一3),则函数f(x)的单调递增区间为(-oo,1).(3.+ co),单调递减区间为(13) 对于A:x=1是f(x)的极大值点,故A错误; 对于B,f(2+x)+f(2-x)=(x+1){(x-2)+(1-x)(-x-2)=-4,故B正确 第2页,共6f 对于C,因为f(0)=f(3)=-4.f(1)=f(4)=0,不等式-4<f(2x-1)<0,即0<2$x-1<4且2x-1 1.2x-13,解得<x<且x1,x≠2,故C错误: 对于D,当0<x<时,sinx E(0.1),sin2xE(0.1).sinx-sin?x=sinx(1-sinx)>0,故sinx>sin2x 因为函数f(x)在(0.1)单调递增,所以f(sinx)>f(sin}x),故D正确. 11.【答案】ACD【解答】解:对于A、在校长为1的正方体ABCD一A.B、C.D,中,因为AC//A.C.,所以直 线A.C,与BC.所成的角就是异面直线AC与BC,所成的角,而△A.BC.是正三角形,因此直线A.C.与BC,所成 角为60,即异面直线AC与BC,所成的角为60”,因此4正确: 对于B、在校长为1的正方体ABCD一A.B.C.D.中,因为平面ABC。D.1平面BB.C.C交于BC.设BC。OB.C= 0, 则B.01BC.而B.Oc平面BBC.C,所以BO1平面ABC.D.,因此连接AO,则AO是直线AB.在平面 即直线AB,与平面ABC,D,成角为30*,因此B不正确; 对于C、由B知,在校长为1的正方体ABCD一A.B.C.D.中,B.C1平面AB0,而AOc平面ABO,因此AO1B.C 的正切值为V2,因此C正确 对于D、因为四面体D,一AB,C的外接球就是梭长为1的正方体ABCD一A.B.C.D.的外接球,而校长为1 正方体ABCD一A:B:C:D:的外接球半径为. 即四面体D,-AB:cC的外接球半径为,所以四面体D.-AB:c的外接球的体积为x()3-n,因此 D正确.故选ACD. 12.【答案】--1(x>2)【解答】解:由圆A:(x+4)}+)2=2,可得圆心A(-4.0),半径=2; 由圆B:(x-4)}+y2=2,可得圆心B(4.0),半径=2.设动的半径为R,由题意可得)EA =R+2 IEBI=R-2.:lFA]-|EB]=2V2<2x4. 由双曲线的定义可得:动圆的圆心E在以定点A(-40). 1(x>V2).故答案为:2-2--1(x>v2) 13.【答案】【解答】解:由题知,P(A)=.P(B)=.P(A+B)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)= 第3页,共6页 ■}+→-P(B)-),则P(4B)一}.,因P(AB)+P(8)=P(4),所以P(A)-}-. 则P(B)= 14.【答案】1:1(-)"-1+3 【解答】解:记n次这样的操作小王恰有一张A卡片的概率为a。,有两张A卡片的概率为b。 #则a×-号x-#=(5×+x)+(x)-=(2x)à+(×3) 重复n次这样的操作. #=(x+2x )an-1+(2\x=)bn-1+2x(1-an-1-bn-1)--arn-1+是an-3--(a- -3) #a:-3-1n所以a-1(-)"-1+3 因为sinB;0,所以tanC--3,因为c E(0.π),所以c-2=. (2)在△ABc中 Ssasc-absinc-ab=2V3.所以ab=8 D在△ ADc中,AD=2V3.Dc=.c-}. 由余弦定理得AD2=Ac2+DC2-2AC DCcosC,所以(2V3)2=b+()2-2bgcos2,所以b2+} 12--8②.由①②得,a=4.b-2,在△ABc中,由余弦定理得c2=a2+b?-2abcosC=28.所 以c=2V7,所以,△ABC的周长为6+27. 16.【答案】解:(1)记“输入的数据集质量高”为事件A,“一次数据能被软件准确分析”为事件B,由题 意可知:P(A)=0.1,P(BIA)=0.8,P(BIA)=0.3,则P(A)=1-P(A)=0.9,所以P(B)=P(BIA)P(A)+ P(B1A)P(A)=0.75,所以一次数据能被软件准确分析的概率0.75 (2)由(1)可知:P(B)=0.75=3. ①依题意,x~B(n.})所以x的方差D(X)=3n. ②可知P(x=8)=c()(1-)n-=c(})()n-,令a=C(})"()n-8, #_ 于是a<a2<a3.<ao→auì>a2→,所以当n=10时,a.最大,即n=10时,P(x=8)的最大. 第4,共6页 17.【答案】解:(1)证明:PA1平面ABCD,AC.BCC平面ABCD,:PA1AC,PA1BC AC=P[C-PA=3-1=2,AB=BC=1,:AB+BC=AC AB1BC$ 又ABOPA=A.AB.PAC平面PAB,:.BC1平面PAB,vBCC平面PBC,:平 面PBC1平面PAB; (2)由(1)知:BC1平面PAB,又BC//AD,:AD1平面PAB. 以A为坐标原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴:建立如图所示空间直角坐标 系, 则C(1.1.0).P(0.0.1). D(0.2.0),A(0.0.0).PD=(0.2.-1),PA=(0.0,-1) 设PE= PD=(0.2.-).(0<<1),则AE=AP+PE=(0.0.1)+(0.2-)=(0.2.1-),AC= (1.1.0), f(2ay:+(1-)2=0 可得 .取y=1,则x--1,z1-:=(-11.-) x+=0 取a=1,则b--1,c-0,所以平面 1AC PAC的法向量为-(-1.1.0). 2114() PEF-PD,则PP:ED=1. 解得f=2又a2-62+c2,所以b2-a2- 2a+2c=2v2+2. 二1. c2-1,所以c的方程为{}+2-1. ,因为x+x2--所 第5页,共6页 lAB(-)+-)=(+)-×24-4# 点0到直线!x-y+m=o的距离d-. AOAB的面积s={××3)-# 当且仅当3-m{}=m^{,即m=+时,△0AB面积的最大值为}# 19.【答案】解:(1)定义域为(0.+00), f$'$(x)=(x2}-ax+1),h(x)=2-ax+1,=a- ①当-2<a<2时,4<0.,x2-ax+1>0恒成立,f'(x)>0,f(x)单调递增; ②当a<-2时,△>0,x2-ax+1=0有两根,但两根均为负数, 当xE(0.+co)时,f'(x)>0,f(x)单调递增; 当xE(0.x)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当xE(x1,x2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减; 当xE(x2.+co)时,f'(x)>0,f(x)单调递增; 综上所述:①当a<2时,f(x)增区间为(0.+co); 区间为(__. (2)f'(x)=(x+-a),令g(x)=x+-,则g'(x)=(x2-1)>0,g(x)在[1+c)单调递增,$ g(1)=2-a. 若<2,则g(x)2g(1)>0,f'(x)>0,f(x)单调递增,f(x)→f(1)=0,与题意相符; 若a→2,则g(1)=2-a<0,所以必存在xo>1,使得当xE(1.xo)时,g(x)<0,f'(x)<0,f(x)单调 递减, 从而使得当xE(1.xo)时,f(x)<f(1)=0,与题意相矛盾;综上:a<2 (3)证明:由(2)知,当x>1时,f(x)x--2lnx>o(仅当x=1时取等号), =2n一,则有:、>2n-1n→→1“: 第6页,共6页