精品解析：四川省泸州市龙马潭区2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

泸州市龙马潭区高2023级高二上期半期考试 数学试题 注意事项： 1.答卷前考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.试卷满分150分，考试时间150分钟，考试结束后将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题（共40分） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 已知实数，满足，则下列不等式恒成立是（ ） A. B. C. D. 3. 直线：和：垂直，则实数 A. -1 B. 1 C. -1或1 D. 3 4. ，“直线和直线平行”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知的内角所对的边分别为，若,，则（　 ） A. B. C. D. 6. 若，满足约束条件，则的最小值为（ ） A. -1 B. 0 C. D. 1 7. 设k实数，直线与圆交点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 无法确定 8. 已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则的方程是（ ）. A. B. C. D. 二、多选题（共18分） 9. 已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，且的最大值为3，最小值为1，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 的周长为6 C. 若，则的面积为3 D. 若，则 10. 已知正方体的棱长为4，点为平面内一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 若点在棱上运动，则最小值为 B. 若点是棱的中点，则平面截正方体所得截面的周长为 C. 若点满足，则动点的轨迹是一条直线 D. 若点在直线上运动，则到直线的最小距离为 11. 已知椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，两曲线有公共焦点是椭圆与双曲线的一个公共点，，以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 三、填空题（共15分） 12. 点到直线l：的距离是_______. 13. 正四棱锥中，底面边长为，二面角为，则该四棱锥的高等于____________． 14. 在平面直角坐标系中，圆经过点，则圆上点到原点的距离的最大值为___________． 四、解答题（共77分） 15. 根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． （1）的倾斜角为60°，经过点，； （2）平行于y轴，经过点，． 16. 为创建全国文明城市，宁德市进行“礼让斑马线”交通专项整治活动，按交通法规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行．下表是2020年宁德市某一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为，其中违章情况统计数据如下表： 月份 1 2 3 4 5 违章驾驶员人数 100 85 80 70 65 （1）请利用所给数据求违章人数y与月份x之间的回归直线方程； （2）预测该路口2020年9月份不“礼让斑马线”违章驾驶员人数；并估计该路口经过几个月后“不礼让”的不文明行为可以消失． 参考公式：，，参考数据：． 17. 已知双曲线C：经过点，其中一条渐近线为，O为坐标原点． （1）求C的标准方程； （2）过C的右焦点F，且在轴上的截距为的直线，交于P，Q两点，求的值． 18. 在直三棱柱中，，为的中点． （I）求证：平面⊥平面； （II）求直线与平面所成角的大小； （III）求二面角的大小． 19. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过定点的直线与椭圆C相交于A、B两点，已知点，设直线、的斜率分别为、，判断是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 泸州市龙马潭区高2023级高二上期半期考试 数学试题 注意事项： 1.答卷前考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.试卷满分150分，考试时间150分钟，考试结束后将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题（共40分） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析】求得斜率，然后求得倾斜角. 【详解】直线的斜率为，对应的倾斜角为. 故选：B 2. 已知实数，满足，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的性质判断即可. 【详解】因为,是定义在上的偶函数， 所以当实数满足时，,不一定成立，故不符合题意； 因为是定义在上单调递增的奇函数， 所以当实数满足时，则，故符合题意； 因为在上单调递减， 所以当实数满足时，不一定成立，不符合题意. 故选：. 【点睛】判断不等式恒成立问题，方法有以下几种：1、可借助函数的单调性判断；2、可带特殊值说明不等式不成立；3、根据不等式关性质判断；4、作差比较大小；5、作商比较大小.对于选择题我们一般采用排除法. 3. 直线：和：垂直，则实数 A -1 B. 1 C. -1或1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】不合题意，由方程求出两直线的斜率，利用斜率之积为即可得结果. 【详解】因为直线：和：垂直（不合题意）， 两直线的斜率分别为， 所以，解得，故选A. 【点睛】本题主要考查直线的方程，两条直线垂直与斜率的关系，属于简单题. 对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，在斜率存在的前提下， （），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心. 4. ，“直线和直线平行”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】求出两直线平行时的值，再根据充分必要条件的定义判断． 【详解】由题意，则，， 因此题中应为充分必要条件． 故选：C． 5. 已知的内角所对的边分别为，若,，则（　 ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，利用诱导公式以及两角和的正弦公式可得，再利用余弦定理解方程求解即可. 【详解】由， 得， 即 ， 得， 因为， 所以， 化为，得，故选D. 【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式以及余弦定理解三角形，属于中档题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用. 6. 若，满足约束条件，则的最小值为（ ） A. -1 B. 0 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】作出满足不等式组的可行域，由可得，可得为该直线在轴上的截距，截距越大，越小，结合图形可求的最小值. 【详解】解：作出，满足约束条件所表示的平面区域，如图所示： 由于可得，可得为该直线在轴上的截距，截距越大，越小， 作直线，然后把直线向平面区域平移， 由图可知，直线平移到点时，最小， 由可得， 即当直线经过点时，取得最小值， 所以. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用目标函数的几何意义求最值，属于基础题． 7. 设k为实数，直线与圆交点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】找到直线所过定点坐标，判断点与圆的位置关系，即可确定交点数. 【详解】由，即直线恒过，而圆可化为， 所以，即点在圆内，则直线与圆恒有2个交点. 故选：C 8. 已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则的方程是（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设直线的方程为，将圆心坐标代入直线的方程，求出的值，即可得解. 【详解】由于直线与直线垂直，不妨设直线的方程为， 圆心坐标为，将圆心坐标代入直线的方程得，解得. 因此，直线的方程为. 故选：A. 二、多选题（共18分） 9. 已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，且的最大值为3，最小值为1，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 的周长为6 C. 若，则的面积为3 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，根据题意可得，即可求解；对B，根据椭圆的定义判断即可；对C，根据余弦定理结合椭圆的定义判断即可；对D，根据余弦定理与椭圆的定义求解即可． 【详解】对A，由题意，，故，，故A正确； 对B，的周长为，故B正确； 对C，， ，当且仅当时，等号成立， 因为在上递减，所以此时最大，又，，所以的最大值为，，不成立，故C错误； 对D，由余弦定理 ，即， 解得，故，故D正确； 故选：ABD 10. 已知正方体的棱长为4，点为平面内一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 若点在棱上运动，则的最小值为 B. 若点是棱的中点，则平面截正方体所得截面的周长为 C. 若点满足，则动点的轨迹是一条直线 D. 若点在直线上运动，则到直线的最小距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A项，由展开图转化为平面两点间距离最短问题可得最小值；B项，先作辅助线取中点找截面，由平行四边形得线线平行，利用中位线的平行关系及空间平行的传递性证明所找截面即为所求，进而求周长可得；C项，利用“过一点与已知直线垂直的直线在过该点与已知直线垂直的平面内”结论，可得两平面的交线即为轨迹；D项，建立空间直角坐标系，求利用向量方法点线距可得. 【详解】A项，如图将平面展开与平面处于一个平面， 连接与交于点， 由图形知，当且仅当三点共线时，等号成立. 即此时取得最小值， 即，故A错误； B项，如图取的中点，连接， 因为点是棱的中点，所以且， 又且， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以，则四点共面， 所以平面四边形即为平面截正方体所得截面， 又，， 所以截面周长为，故B正确； C项，如图，平面平面， 所以，又平面， 所以平面，又， 故过与垂直的直线在过与直线垂直的平面内， 因为平面平面平面，且平面， 所以在直线上， 即动点的轨迹是一条直线，故C正确； D项，如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴， 建立空间直角坐标系， 则，设，所以， ，则， ，， 所以到棱的距离， 所以当时，故D正确； 故选：BCD. 11. 已知椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，两曲线有公共焦点是椭圆与双曲线的一个公共点，，以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据焦距相等可判断A；根据椭圆和双曲线定义，结合余弦定理整理可判断B；根据B中变形可判断C；由B中结论，结合的范围可判断D. 【详解】根据题意，设， 对于A中，因为椭圆与双曲线有公共焦点，可得，所以， 即，所以A错误； 对于B中，不妨设点P在第一象限，由椭圆和双曲线的定义，可得， 所以， 又由余弦定理得， 可得， 所以，所以B正确； 对于C中，由，可得，所以C正确； 对于D中，因为，所以， 由可得，所以，所以D正确. 故选：BCD. 三、填空题（共15分） 12. 点到直线l：的距离是_______. 【答案】1 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】点到直线的距离： . 故答案为： 13. 正四棱锥中，底面边长为，二面角为，则该四棱锥的高等于____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，画出直观图，根据二面角的平面角的定义，找到其平面角为，在计算即为四棱锥的高. 【详解】如图所示， 取的中点为，底面中心为，连接， 因为四棱锥为正四棱锥，所以， 中，，底面为正方形，故， 所以是二面角的平面角，即， 又在中，，所以，即该四棱锥的高为. 故答案为：. 14. 在平面直角坐标系中，圆经过点，则圆上的点到原点的距离的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件计算出经过三点的圆的直径，即可计算出圆上的点到原点距离最大值. 【详解】解：记，圆经过点O，A，B．则，，，所以，故为圆的直径．从而圆上的点到原点O的距离的最大值为． 故答案为： 四、解答题（共77分） 15. 根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． （1）的倾斜角为60°，经过点，； （2）平行于y轴，经过点，． 【答案】（1）或与重合 （2） 【解析】 【分析】（1）根据两直线的斜率关系即可判断位置关系， （2）根据两直线均无斜率即可判断位置关系. 【小问1详解】 由题意，知直线的斜率， 直线的斜率， 所以，所以或与重合． 【小问2详解】 由题意，知是y轴所在的直线，所以． 16. 为创建全国文明城市，宁德市进行“礼让斑马线”交通专项整治活动，按交通法规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行．下表是2020年宁德市某一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为，其中违章情况统计数据如下表： 月份 1 2 3 4 5 违章驾驶员人数 100 85 80 70 65 （1）请利用所给数据求违章人数y与月份x之间的回归直线方程； （2）预测该路口2020年9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数；并估计该路口经过几个月后“不礼让”的不文明行为可以消失． 参考公式：，，参考数据：． 【答案】（1）；（2）预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数为29，经过13个月“不礼让”的不文明行为可以消失. 【解析】 【分析】 （1）首先求，，根据参考公式，分别求和，求解回归直线方程；（2）令代入回归直线方程，求的预报值，并令，求. 【详解】（1）由表中数据知， ∴ 即， ∴所求回归直线方程为. （2） 令，则人. 令得 答：预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数为21，故估计经过13个月“不礼让”的不文明行为可以消失. 17. 已知双曲线C：经过点，其中一条渐近线为，O为坐标原点． （1）求C的标准方程； （2）过C的右焦点F，且在轴上的截距为的直线，交于P，Q两点，求的值． 【答案】（1） （2）7 【解析】 【分析】（1）根据渐近线方程以及点的坐标得到关于的方程组，由此求解出即可知C的标准方程； （2）根据条件先求出的方程，然后联立与双曲线的方程得到对应坐标的韦达定理形式，再将表示为坐标形式即可求解出结果. 【小问1详解】 因为双曲线的渐近线方程为，所以①， 又因为点在双曲线上，所以②， ①②联立解得，所以双曲线的方程为． 【小问2详解】 由（1）可知双曲线中， 所以右焦点坐标为，即直线的横截距为2， 又因为直线在轴上的截距为，所以直线的方程为，即， 联立得， 设，则， 所以． 18. 在直三棱柱中，，为的中点． （I）求证：平面⊥平面； （II）求直线与平面所成角的大小； （III）求二面角的大小． 【答案】（I）见解析；（II）arctan；（III）arctan 【解析】 【分析】（I）平面中有直线，可证明垂直平面中两条相交直线，则垂直平面，即可证明； （II）要求直线与平面所成角，只需求直线与她在平面内的射影所成角即可，先在直线上找一点，过该点向平面作垂线，再连接斜足和垂足，所得直线为射影，把直线与它在平面内的射影放入同一个三角形中，利用解三角形，求出线面角． （III）求二面角的平面角的大小，可用三垂线法找到二面角的平面角，再放到一个三角形中，通过解三角形，得出结果． 【详解】 （I）在△ABC中，由余弦定理，得，BC＝， 为直三棱柱，平面． 平面，平面平面． （II），由（I）知，平面为直线与平面所成的角． 在中，＝＝， 故直线DA1与平面所成角为 （III）过C作CH⊥DC1，垂足为H，连接AH，则由三垂线定理可知，DC1⊥AH，从而∠AHC为二面角A﹣DC1﹣C的平面角． Rt△CDC1中，CD＝BC＝，CH＝＝，tan∠AHC＝. 故二面角A﹣DC1﹣C大小为arctan． 【点睛】本题考查了直棱柱的性质，直线与平面所成的角，二面角的平面角的求法等有关知识，考查空间想象能力，逻辑推理能力，属于中档题. 19. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过定点的直线与椭圆C相交于A、B两点，已知点，设直线、的斜率分别为、，判断是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由. 【答案】（1）；（2）是，=1. 【解析】 分析】（1）根据和过点求解； （2）（i）若的斜率不存在，易知的值，（ii）若的斜率存在，设的方程为：，与椭圆方程联立，由，结合韦达定理求解；另解：当直线AB的斜率不为0时，可设直线AB为：，解法同上. 详解】（1）∵， 且过点，， 又， 解得， ∴椭圆的标准方程. （2）（i）若的斜率不存在，则，， 此时， （ii）若的斜率存在，设，，设的方程为：， ， 由韦达定理得：， ， ， ∴ 所以：=1. 另解：（2）当直线AB的斜率为0时，， 直线AB的斜率不为0时，设直线AB为：，设则： ， ， 则：， ， 所以：=1. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$