精品解析：黑龙江省绥化市肇东市第四中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

高二期中考试数学试卷 一、单选题 1. 已知点，且直线与直线垂直，则的值为（ ） A. 或0 B. 0或7 C. 0 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的斜率存在和不存在分类讨论，利用两直线垂直的性质，即可求解． 【详解】当时，直线的斜率不存在，直线 的斜率为 此时直线的方程为，直线的方程为，故; 当时， 则 解得， 综上，或. 故选：B. 2. 已知两直线和，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两直线平行的充要条件，列出关于的方程，即可得到答案. 【详解】因为，所以，且， 解得. 故选：A. 3. 已知点，直线l过点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出PA，PB所在直线的斜率，判断直线l的倾斜角与斜率的变化，数形结合得答案． 【详解】点， 直线的斜率，直线的斜率， 直线l过点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率满足或， 即或，所以直线l的斜率的取值范围为. 故选：D. 4. 在正方体中，直线与平面所成的角为（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算线面夹角即可. 【详解】 如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 直线与平面所成的角为， 则，令，即， 所以， 所以. 故选：B 5. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定的基底，结合空间向量线性运算求出. 【详解】依题意有. 故选：B. 6. ，，若则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的平行性质，列出方程组，解出的值，即可得答案. 【详解】因为，，，所以存在,，所以 故选：C. 7. 设是一个随机试验中的两个事件，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用和事件的概率公式求出，然后利用求解即可. 【详解】因为，，所以， 又，所以， 所以. 故选：D. 8. 如图，在直三棱柱中，底面三角形为直角三角形，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 利用空间向量数量积的坐标运算可求得的值. 【详解】在直三棱柱中，底面三角形为直角三角形，， 则，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴 建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 所以，，， 则. 故选：A. 二、多选题 9. 直线的方向向量为，两个平面、的法向量分别为、，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则直线平面 B. 若，则直线平面 C. 若，则直线与平面所成角的大小为 D. 若，则平面、所成夹角的大小为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用空间向量法逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A，若，则或，A错； 对于B，若，则，B对； 对于C，若，则直线与平面所成角的大小为，C对； 对于D，若，则平面、所成夹角的大小为，D对. 故选：BCD. 10. 已知直线，直线，则下列结论正确的是（ ） A. 在轴上的截距为 B. 过点且不垂直轴 C. 若，则或 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】将直线方程进行转化可确定AB正误；根据直线平行、垂直的关系直接构造方程组可得CD正误. 【详解】对于A，对于直线，令，解得：，在轴上的截距为，A正确； 对于B，由直线方程得：， 直线斜率存在，即直线不垂直于轴，且经过点，B正确； 对于C，，，解得：，C错误； 对于D，，，解得：，D正确. 故选：ABD. 11. 对于事件和事件，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若与互斥，则 B. 若与互斥，则 C. 若，则 D. 若与相互独立，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用两事件的互斥定义和互斥事件的概率加法公式易判断A,B；根据两事件的包含关系易求得积事件的概率，可判断C；利用独立事件的概率乘法公式可判断D. 【详解】对于A，当与互斥时，，故，即A正确； 对于B，当与互斥时，，故，即B正确； 对于C，当时，，故，故C错误； 对于D，若与相互独立，则，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立.设甲在第一、第二、第三局比赛中获胜的概率分别为，，，则甲恰好连胜两局的概率为___________. 【答案】 【解析】 【分析】甲恰好连胜两局有两种不同的情况，根据独立事件概率乘法公式可计算每种情况的概率，加和即为所求结果. 【详解】甲恰好连胜两局有：前两局获胜，第三局失利和第一局失利，后两局获胜两种情况， 甲恰好连胜两局的概率. 故答案为：. 13. 直线与轴交于点，将绕点顺时针旋转得到直线，则直线的一般式方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】求出点坐标，由直线的倾斜角得出旋转后直线的倾斜角，由斜截式得直线方程，再整理即得． 【详解】在中令得，所以， 又直线的斜率为，倾斜角为，将绕点顺时针旋转得到直线的倾斜角为， 所以直线的斜率为，直线方程为， 一般式为. 故答案为：． 14. 已知向量，且，则________，_________. 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】利用空间向量的垂直关系即可求解；根据向量的加法及模的运算即可求解. 【详解】因为，， 当时，所以， 所以； 因为，， ， 所以. 故答案为：；. 四、解答题 15. 已知平面，四边形为正方形． （1）证明： （2）求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则， ∵，， ∴ ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得，，进而可得，可证结论． （2）求得的一个法向量，的一个方向向量，利用向量的夹角公式可求与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平面的一个法向量为， ∵，， ∴，∴，令，则， ∴平面的一个法向量为； ∵ ∴， ∴与平面所成角的正弦值为. 16. 三人参加知识闯关比赛，三人闯关成功与否相互独立.已知闯关成功的概率是，三人闯关都成功的概率是，三人闯关都不成功的概率是. （1）求两人各自闯关成功的概率； （2）求三人中恰有两人闯关成功的概率. 【答案】（1），. （2） 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式即可求解， （2）分三种情况，结合相互独立事件的概率乘法公式求解. 【小问1详解】 设两人各自闯关成功的概率分别是. 由题意得 解得， 所以两人各自闯关成功的概率分别是，. 【小问2详解】 三人中只有闯关成功的概率， 三人中只有闯关成功的概率， 三人中只有闯关成功的概率， 故三人中恰有两人闯关成功的概率为. 17. 如图，已知，，，直线． （1）证明直线经过某一定点，并求此定点坐标； （2）若直线等分的面积，求直线的一般式方程； 【答案】（1）证明见解析；定点为 （2） 【解析】 【分析】（1）方程整理得，可得方程组，解之即得定点坐标； （2）判断为正三角形，推理点为的三等分点（靠近点），由求得，设，利用求出点坐标，即得直线方程. 【小问1详解】 由，整理得， 由解得，即直线经过定点； 【小问2详解】 如图，因，，，,可得：, 即为正三角形，又由，可知点为的三等分点（靠近点）， 则,由题意，直线必与边相交（否则若与边相交于点,则,不合题意）， 设交点为，依题意，由，可得, 解得，则.设点， 由,可得，解得，即, 于是，,故直线的方程为：， 即. 18. 直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12． （1）求直线的方程 （2）求直线与两条坐标轴所围成三角形的面积． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）设直线的方程为，将点代入，进一步求出和的值，从而求出答案； （2）借助（1）中求出的和，结合面积公式即可求. 【小问1详解】 由于直线在两坐标轴上的截距之和为12， 因此直线在两坐标轴上的截距都存在且不过原点， 故可设直线方程为：，且，① 又因为直线过点， 所以，② 由①②解得或， 所以直线的方程为：或， 即或. 【小问2详解】 由（1）可知，当直线的方程为时， ； 当直线的方程为时， ， 所以直线与两条坐标轴所围成三角形的面积为或. 19. 在棱长为4的正方体中，点在棱上，且. （1）求点到平面的距离； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建系，由点到面距离的向量法求解即可； （2）求得两平面法向量，代入夹角公式即可求解. 【小问1详解】 在正方体中，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系. 由正方体棱长为4，且，得，，，，，则. 设平面的法向量为， 则所以 取，则， 则点到平面的距离. 【小问2详解】 设平面的法向量为， 则所以 取，则， 所以， 设二面角的平面角为， 则， 所以二面角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二期中考试数学试卷 一、单选题 1. 已知点，且直线与直线垂直，则的值为（ ） A. 或0 B. 0或7 C. 0 D. 7 2. 已知两直线和，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知点，直线l过点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围（ ） A. B. C. D. 4. 在正方体中，直线与平面所成的角为（ ）. A. B. C. D. 5. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 6. ，，若则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. 设是一个随机试验中的两个事件，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在直三棱柱中，底面三角形为直角三角形，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 直线的方向向量为，两个平面、的法向量分别为、，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则直线平面 B. 若，则直线平面 C. 若，则直线与平面所成角的大小为 D. 若，则平面、所成夹角的大小为 10. 已知直线，直线，则下列结论正确的是（ ） A. 在轴上的截距为 B. 过点且不垂直轴 C. 若，则或 D. 若，则 11. 对于事件和事件，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若与互斥，则 B. 若与互斥，则 C. 若，则 D. 若与相互独立，则 三、填空题 12. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立.设甲在第一、第二、第三局比赛中获胜的概率分别为，，，则甲恰好连胜两局的概率为___________. 13. 直线与轴交于点，将绕点顺时针旋转得到直线，则直线的一般式方程为______. 14. 已知向量，且，则________，_________. 四、解答题 15. 已知平面，四边形为正方形． （1）证明： （2）求与平面所成角的正弦值． 16. 三人参加知识闯关比赛，三人闯关成功与否相互独立.已知闯关成功的概率是，三人闯关都成功的概率是，三人闯关都不成功的概率是. （1）求两人各自闯关成功的概率； （2）求三人中恰有两人闯关成功的概率. 17. 如图，已知，，，直线． （1）证明直线经过某一定点，并求此定点坐标； （2）若直线等分的面积，求直线的一般式方程； 18. 直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12． （1）求直线的方程 （2）求直线与两条坐标轴所围成三角形的面积． 19. 在棱长为4的正方体中，点在棱上，且. （1）求点到平面的距离； （2）求二面角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $