精品解析：黑龙江省肇东市第四中学2025届高三上学期第一次月考数学试卷

肇东四中2024-2025学年上学期第一次月考数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由分式不等式和对数的运算解出集合，再求交集即可； 【详解】由集合可得， 解得或， 所以， 故选：C. 2. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的乘法运算化简已知条件，再根据复数相等的等价条件求出的值即可求解. 【详解】由可得， 则，解得，所以. 故选：A. 3. 已知扇形的面积为6 ，圆心角为3 rad，则此扇形的周长为（ ） A. 2 cm B. 6 cm C. 10 cm D. 12 cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式和弧长公式求值. 【详解】设扇形半径为，弧长为，由题意： ，解得：. 所以扇形的周长为：. 故选：C 4. 计算的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的三角运算公式运算即可. 【详解】因为 所以， 所以， 故选：B. 5. 函数的导数=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本初等函数导数公式求解即可. 【详解】由，得， 故选：A. 6. 已知单位向量的夹角为，则（ ） A. 9 B. C. 10 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由平面向量模的计算公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得， 故. 故选：B. 7. 设等差数列的前项和为，若，则的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的基本量的计算即可求解. 【详解】由， 故，则， 由得，故，故公差为， 故选：C 8. 将函数图象上所有的点都向左平移个单位长度，再把得到的曲线图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数图像平移结合诱导公式即可求解. 【详解】将图象上所有的点都向左平移个单位长度， 得到曲线， 再把得到的曲线上所有点的横坐标伸长到原来的倍， 纵坐标不变，得到的图象. 故选：A 二、多选题 9. 在中，下列关系不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据诱导公式求得正确答案. 【详解】，A选项错误. ，B选项正确. ，C选项错误. ，D选项错误. 故选：ACD 10. 古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16…这样的数称为“正方形数”．如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由已知条件，得出三角形数前面是1，3，6，10，相邻两数后一个与前一个的差增加1，利用此规律，即可找出结果. 【详解】这些三角形数的规律是1，3，6，10，15，21，28，36，45，…， 且正方形数是这串数中相邻两数之和，容易得到：，，，，只有BD是对的． 故选：BD. 11. 如图是导函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 为函数的单调递增区间 B. 为函数的单调递减区间 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极小值 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据时，，即可判断A，B；利用导数的正负与函数极值之间的关系，即可判断C，D． 【详解】对于A，B，当 时，，故为函数的单调递增区间，故A正确，B错误； 对于C，当时，，当时，，故是函数的极大值点，故C正确； 对于D，当时，，当时，，故是函数的极小值点，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题 12. 化简:_____. 【答案】 【解析】 【分析】由三角函数的诱导公式代入化简即可得出答案. 【详解】原式=. 故答案为：. 13. 函数的最小正周期为________，若函数在区间上单调递增，则的最大值为________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据正弦函数的周期公式和单调递增区间可求出结果. 【详解】函数的最小正周期. 由，，得，， 所以的单调递增区间为，， 若函数在区间上单调递增，则，， 则，则，即的最大值为. 故答案为：；. 14. 已知数列均为等差数列，且其前n项和分别为和.若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列的性质和等差数列的前n项和公式化简，结合条件求出答案即可． 【详解】因为为等差数列，且， 所以 ， 故答案为：． 四、解答题 15. 记的内角的对边分别为，已知 （1）试判断的形状； （2）若，求周长的最大值. 【答案】（1）是直角三角形 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，利用余弦定理列出方程，得到，即可求解； （2）由（1）和，得到，则周长为，结合三角函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：由，可得，所以， 即，所以， 又由余弦定理得，可得，所以， 所以是直角三角形 【小问2详解】 解：由（1）知，是直角三角形，且，可得， 所以周长为， 因为，可得， 所以，当时，即为等腰直角三角形，周长有最大值为. 16. 已知向量，，且． （1）求向量与的夹角． （2）若向量与互相垂直，求k的值． （3）若向量与互相平行，求k的值 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）由向量模的坐标运算得出，再根据向量数量积的定义及运算律求解即可； （2）由已知得，根据向量数量积的运算律及已知条件代入求解即可． （3）由向量平行的判定定理即可求解. 【小问1详解】 由，得，设向量与的夹角为， 由，，又，所以， 所以，解得， 所以向量与的夹角为． 【小问2详解】 由向量向量与互相垂直，得， 所以，即， 解得或． 【小问3详解】 因为向量与互相平行， 所以存在，使得= 所以解得： 17. 已知向量，设函数. （1）当时，求函数的值域; （2）已知在中，内角的对边分别为，若，且，求面积的最大值. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积公式和三角恒等变换得到，整体法求解函数的值域； （2）在（1）基础上，结合得到，由勾股定理和基本不等式得到，进而得到三角形面积的最大值． 【小问1详解】 ， ， 当时，， ， 所以函数的值域为. 【小问2详解】 由（1）可知， 又，所以， 因为，所以，故， 因为，由可知，， 由基本不等式得， 解得，当且仅当时，等号成立， 故三角形面积， 即面积最大值为1. 18. 设等差数列的前项和为，已知 （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）当为何值时，最大？并求的最大值. 【答案】（1）an=48-8n（2）（3）当n=5或n=6时，Sn最大，且Sn的最大值为120 【解析】 【分析】 （1）利用等差数列的通项公式以及前项和公式即可求解. （2）利用等差数列的前项和公式即可求解. （3）利用等差数列的前项和公式配方即可求解. 【详解】（1）依题意有，解得，∴an=48-8n. （2）由（1）知，a1=40，an=48-8n， ∴Sn= （3）由（2）有，Sn=-4n2+44n=-4(n-)2+121， 故当n=5或n=6时，Sn最大，且Sn的最大值为120 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式以及等差数列的前项和公式、等差数列的前项和公式的函数特征，属于基础题. 19. 已知函数 （1）若曲线在点处的切线方程为，求a和b的值； （2）讨论的单调性. 【答案】（1）， （2） 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为， 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为， 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间， 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为． 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，结合导数的几何意义与斜率关系即可求解； （2）结合导数与单调性关系对的范围进行分类讨论即可求解． 【小问1详解】 ，则． 曲线在点处的切线方程为， 则，解得， 由，解得， 【小问2详解】 ，函数定义域为， 则， 令，解得或， 若，则当时，，单调递减，当时，，单调递增， 若，则当时，，单调递减，当和时，，单调递增， 若，则在上恒成立，单调递增， 若，则当时，，单调递减，当和时，，单调递增， 综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为， 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为， 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间， 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 肇东四中2024-2025学年上学期第一次月考数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知扇形的面积为6 ，圆心角为3 rad，则此扇形的周长为（ ） A. 2 cm B. 6 cm C. 10 cm D. 12 cm 4. 计算的值是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的导数=（ ） A. B. C. D. 6. 已知单位向量的夹角为，则（ ） A. 9 B. C. 10 D. 7. 设等差数列的前项和为，若，则的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 将函数图象上所有的点都向左平移个单位长度，再把得到的曲线图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 在中，下列关系不成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16…这样的数称为“正方形数”．如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式为（ ） A. B. C. D. 11. 如图是导函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 为函数的单调递增区间 B. 为函数的单调递减区间 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极小值 三、填空题 12. 化简:_____. 13. 函数的最小正周期为________，若函数在区间上单调递增，则的最大值为________. 14. 已知数列均为等差数列，且其前n项和分别为和.若，则________. 四、解答题 15. 记的内角的对边分别为，已知 （1）试判断的形状； （2）若，求周长的最大值. 16. 已知向量，，且． （1）求向量与的夹角． （2）若向量与互相垂直，求k的值． （3）若向量与互相平行，求k的值 17. 已知向量，设函数. （1）当时，求函数的值域; （2）已知在中，内角的对边分别为，若，且，求面积的最大值. 18. 设等差数列的前项和为，已知 （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）当为何值时，最大？并求的最大值. 19. 已知函数 （1）若曲线在点处的切线方程为，求a和b的值； （2）讨论的单调性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $