精品解析：福建省三明市尤溪县2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

2024－2025学年第一学期九年级期中教学质量监测 数 学 （满分：150分 考试时间：120分钟） 友情提示：1．本试卷8页． 2．考生将自己的姓名、准考证号及所有答案均填写（涂）在答题卡上． 3．答题要求见答题卡上的“注意事项”． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将等号左边提公因式，用因式分解法即可求出方程的解； 【详解】解：原方程可化为：， 因此或， 所以，． 故选：D． 【点睛】本题考查用因式分解法解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤． 2. 已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查成比例线段，根据a，b，c，d是成比例线段，得到，进而利用比例性质求解即可． 【详解】解：∵a，b，c，d是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 故选：B． 3. 顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（  ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理可推出所得四边形对边平行且相等，判定为平行四边形，再结合菱形对角线互相垂直的性质，可推出平行四边形有一个内角为直角，利用矩形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：设菱形为，，，，分别为，，，的中点，连接对角线、， ，，，分别是菱形四边的中点， 是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ，， 四边形是平行四边形， 又四边形是菱形， ， 同理可证：， ，即， 平行四边形是矩形． 4. 在用求根公式求一元二次方程的根时，小明正确地代入了，，得到，则他求解的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义．根据求根公式解答． 【详解】解：由知： ，，． 所以该一元二次方程为：． 故选：A． 5. 如图，诚诚用橡胶皮和布料自制了一块四边形鼠标垫，为了检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，他想出了以下几种方案，其中合理的是（ ） A. 测量一组对边是否平行且相等 B. 测量两组对边是否分别相等 C. 测量其中的三个角是否都为直角 D. 测量对角线是否相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定，根据矩形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、测量一组对边是否平行且相等，只能判断出这块鼠标垫是不是标准的平行四边形，不符合题意； B、测量两组对边是否分别相等，只能判断出这块鼠标垫是不是标准的平行四边形，不符合题意； C、测量其中的三个角是否都为直角，可以检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，符合题意； D、测量对角线是否相等，不能检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，不符合题意； 故选C． 6. 如图所示的电路中，当随机闭合开关、、中的两个时，灯泡能发光的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法以及概率公式，正确的画出树状图是解此题的关键．画树状图，共有6种等可能的结果，其中能够让灯泡发光的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：由电路图可知，当同时闭合开关和， 和时，灯泡能发光， 画树状图如下： 共有6种等可能结果，其中灯泡能发光的有4种， ∴灯泡能发光的概率为， 故选：A． 7. 根据下列表格的对应值，判定方程（a，b，c是常数，且）的一个解x的范围是（ ） x A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，通过观察二次函数值的变化，当函数值由负变正时，方程在该区间内有一个解，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解此题的关键． 【详解】解：令， 由表格可得：当时，，当时，， 即在范围内，的值由负变正， ∴方程的一个解的范围是． 故选：C． 8. 用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 故选：D． 9. 在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示以线段为边作正方形，取的中点，连接，延长至，使得，以为边作正方形，则点即是线段的黄金分割点．若记正方形的面积为，矩形的面积为，则与的比值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据是的黄金分割点求出，求出，，再得出答案即可． 【详解】解：是的黄金分割点， ， ，， ，即， 故选：D． 【点睛】本题考查了黄金分割，能熟记黄金分割的性质是解此题的关键． 10. 如图，矩形中，，，点P为对角线上一动点，于点E，于点F，则线段长的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理、三角形的面积，证明四边形是矩形得到是解答的关键．先根据矩形的性质和勾股定理得到，，再证明四边形是矩形得到，由垂线段最短得到当时，线段最短，即线段最小，利用三角形的等面积求解即可． 【详解】解：连接 ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 当时，线段最短，即线段最小， 此时，由得， ∴线段长的最小值为， 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】考查了分式的求值，找出的关系，代入所求式进行约分．由，得，再代入所求得式子化简即可． 【详解】， ， ， 故答案为： 12. 有张牌，牌面朝下，每次抽出一张记下花色再放回，洗牌后再抽，经历多次试验后，记录抽到红桃的频率为，则红桃大约有______张． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率．根据概率的频率定义可知，由于抽到红桃的频率为20%，即红桃的概率为20%，根据概率公式即可求出红桃的张数． 【详解】解：由题意可得，红桃大约有：张． 故答案为：． 13. 在Rt中，∠C＝90°，点D是AB边的中点，若AB＝8，则CD＝______． 【答案】4． 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得． 【详解】∵，D是AB的中点， ∴， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键． 14. 如果两个相似三角形面积之比为，那么它们对应高之比为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，对应高之比等于相似比求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形面积之比为， ∴这两个相似三角形的相似比为， ∴它们对应高之比为， 故答案为：． 15. 小影与小冬一起写作业，在解一道二次项系数为1的一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．原来的方程是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中，即可求解． 【详解】解：根据题意设一元二次方程为：， ∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是6和1； ∴，即， 又∵小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是． ∴， 原来的方程是， 故答案为： 16. 如图，a//b//c，直线a与直线b之间的距离为，直线c与直线b之间的距离为，等边的三个顶点分别在直线a、直线b、直线c上，则等边三角形的边长是______． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，过点A作AD⊥直线c于D，过点B作EF⊥直线b分别交直线a、c于F、E，先证明四边形ADEF是矩形，得到AF=DE，AD=EF，再由直线a与直线b之间的距离为，直线c与直线b之间的距离为，得到，，则，可设AB=AC=BC=x，由勾股定理得：，，，再由，即可得到，由此求解即可． 【详解】解：如图所示，过点A作AD⊥直线c于D，过点B作EF⊥直线b分别交直线a、c于F、E， ∵a∥b∥c， ∴AD⊥直线a，EF⊥直线a，EF⊥直线c， ∴四边形ADEF是矩形， ∴AF=DE，AD=EF， ∵直线a与直线b之间的距离为，直线c与直线b之间的距离为， ∴，， ∴， ∵△ABC是等边三角形， ∴可设AB=AC=BC=x， 由勾股定理得：，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 解得（不符合题意的值已经舍去）， ∴△ABC的边长为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，平行线的间距，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活运用是解答的关键． （1）利用公式法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：，，， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：移项，得， ∴， ∴或， ∴，． 18. 10月23日至25日某校召开田径运动会，小明报名参加，有以下5个项目可供选择： 径赛项目：，，（分别用、、表示）； 田赛项目：跳远，跳高（分别用、表示）． （1）小明从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为______； （2）小明从5个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率． （1）直接根据概率公式求解； （2）先画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出一个田赛项目和一个径赛项目的结果数为12，然后根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 ∵5个项目中田赛项目有2个， ∴该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为：； 故答案为：； 【小问2详解】 画树状图得： ∵共有20种等可能的结果，恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的12种情况， ∴恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率为： 19. 小颖同学学了本学期第四单元第6节《利用相似三角形测高》后，用下面的方法来测量自己学校教学楼的高度．如图，她在与教学楼底部A同一个水平的地面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离米，然后在射线AE上调整自己与镜子的距离，直到刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，此时她与镜子的距离米，若小颖的眼睛距离地面高度米，请你帮小颖利用这些数据求出教学楼的高度是多少米？ 【答案】教学大楼的高度是米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据，，得出，进而得出，即可求解． 【详解】解：∵由题意得，，， ∴， ∴，即， 解得：， 答：教学楼的高度是米． 20. 阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为 ①，解得． 当时，，∴； 当时，，∴x=±2； ∴原方程有四个根：． （1）在由原方程得到方程①的过程中，利用___________法达到________的目的，体现了数学的转化思想． （2）解方程． 【答案】（1）换元，降次 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用换元、因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想； （2）经分析：设,则，再运用因式分解法求出y的值，再代入得关于x的方程求解即可． 【小问1详解】 解：在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想 故答案为：换元，降次 【小问2详解】 解：设，则， ∴，解得． 当时，即，解得：． 当时，即，则， 由，此时方程无解． 所以原方程的解为． 21. 下面是某数学兴趣小组用尺规作图“作一条线段的三等分点”的过程，请按要求完成相应的任务． （1）用尺规按下面步骤作出图形： ①分别以点A，B为圆心，大于的长为半径在两侧画弧，四段弧分别交于点C，点D； ②连接，，，作射线； ③以D为圆心，的长为半径画弧，交射线于点E； ④连接，交于点F． （2）请你证明点F为的三等分点（即）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图、菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质得到是解答的关键． （1）根据作图步骤画图即可； （2）根据作图得，进而可得四边形是菱形，则，证明，根据相似三角形的性质得到，进而有可得结论． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 证明：由作图步骤得：， ∴四边形是菱形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 故点F为的三等分点． 22. 侠天下景区某商店以每件8元的价格购进挂坠，以每件14元的价格出售．据统计，7月份的销售量为256件，9月份的销售量为400件． （1）求该挂坠7月份到9月份销售量的月平均增长率； （2）从10月份起，商家决定降价促销回馈顾客，经调查发现，该挂坠每降价0.5元，月销售量就会增加20件．则挂坠售价为多少元时，月销售利润达1920元？ 【答案】（1） （2）12元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握起始量、终止量、增长次数的关系，总利润、每个利润、数量的关系列方程，每个利润、进价、售价的关系，售价、原价、降价的关系列式，是解题关键． （1）设该款挂坠7月份到9月份销售量的月平均增长率为a，根据题意列一元二次方程求解，即可得到答案； （2）设每件挂坠降价x元，根据题意列一元二次方程求解，即可得到答案； 【小问1详解】 解：设该款挂坠7月份到9月份销售量的月平均增长率为a， 由题意得，， 解得：，（舍）． 答：该款挂坠7月份到9月份销售量的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设每件挂坠降价x元，则每件的销售利润为元， 由题意得，， 整理得：， 解得：，（舍）． ∴（元）． 答：应将每件挂坠的售价定为12元． 23. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论k取何值，该方程都有两个实数根； （2）若方程有一个根大于1，求k的取值范围． 【答案】（1） 证明：∵在方程 中， ， ∴方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是（1）牢记“当 时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程结合方程一根大于1 ， 找出关于的一元一次不等式 （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得，由此可证出方程总有两个实数根； （2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出, 根据方程有一根大于1 ，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵方程有一根大于1 ， ∴， ∴的取值范围为 ； 24. 如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接，． （1）求证：； （2）当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？说明你的理由． 【答案】（1） 证明：∵， ， ， ， ， ，即， 四边形是平行四边形， ； （2） 解：四边形是菱形， 理由如下：∵为中点， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， 为中点， ， ∴四边形是菱形； （3） 解：当或时，四边形是正方形， 理由：∵，， ， 由（2）可知，四边形是菱形， ， ， ∴四边形是正方形． 或：当时，∵， ∴， 由（2）可知，四边形是菱形， ， ， ∴四边形是正方形． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定，斜边上的中线，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）证明，进而得到四边形是平行四边形，即可得证； （2）中点得到，证明四边形是平行四边形，斜边上的中线得到，得到四边形是菱形； （3）根据有一个角是直角的菱形时正方形，得到当或时，四边形是正方形，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 25. 如图①，操作：把正方形的对角线放在正方形的边的延长线上，取线段的中点M，连接、． （1）探究线段的关系，并加以证明； （2）其他条件不变，将正方形绕点C旋转任意角度后（如图②），探究线段的关系，并加以证明． 【答案】（1），，证明见解析 （2），，证明见解析 【解析】 【分析】（1）延长交于点N，连接，易证，证得，再证明，得到．从而根据等腰直角三角形的判定与性质证得，； （2）延长到N，使，连接，延长与延长线交于点H．证明，即可根据等腰直角三角形的判定与性质得到线段的位置及数量关系． 【小问1详解】 解：关系：，． 证明：如图，延长交于点N，连接， ∵正方形， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵正方形， ∴，，， 又∵正方形， ∴． ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴M为的中点， ∴， ∴，． 【小问2详解】 解：，， 证明：如图，延长到N，使，连接，延长与延长线交于点H． 在与中， ∵， ∴， ∴，， 又∵正方形、， ∴，，，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． 在与中， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴M为的中点， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质和旋转的性质，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年第一学期九年级期中教学质量监测 数 学 （满分：150分 考试时间：120分钟） 友情提示：1．本试卷8页． 2．考生将自己的姓名、准考证号及所有答案均填写（涂）在答题卡上． 3．答题要求见答题卡上的“注意事项”． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. D. 2. 已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 3. 顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（  ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 4. 在用求根公式求一元二次方程的根时，小明正确地代入了，，得到，则他求解的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，诚诚用橡胶皮和布料自制了一块四边形鼠标垫，为了检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，他想出了以下几种方案，其中合理的是（ ） A. 测量一组对边是否平行且相等 B. 测量两组对边是否分别相等 C. 测量其中的三个角是否都为直角 D. 测量对角线是否相等 6. 如图所示的电路中，当随机闭合开关、、中的两个时，灯泡能发光的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 根据下列表格的对应值，判定方程（a，b，c是常数，且）的一个解x的范围是（ ） x A. B. C. D. 8. 用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（ ） A. B. C. D. 9. 在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示以线段为边作正方形，取的中点，连接，延长至，使得，以为边作正方形，则点即是线段的黄金分割点．若记正方形的面积为，矩形的面积为，则与的比值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，矩形中，，，点P为对角线上一动点，于点E，于点F，则线段长的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 已知，则______． 12. 有张牌，牌面朝下，每次抽出一张记下花色再放回，洗牌后再抽，经历多次试验后，记录抽到红桃的频率为，则红桃大约有______张． 13. 在Rt中，∠C＝90°，点D是AB边的中点，若AB＝8，则CD＝______． 14. 如果两个相似三角形面积之比为，那么它们对应高之比为______． 15. 小影与小冬一起写作业，在解一道二次项系数为1的一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．原来的方程是________． 16. 如图，a//b//c，直线a与直线b之间的距离为，直线c与直线b之间的距离为，等边的三个顶点分别在直线a、直线b、直线c上，则等边三角形的边长是______． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1） （2） 18. 10月23日至25日某校召开田径运动会，小明报名参加，有以下5个项目可供选择： 径赛项目：，，（分别用、、表示）； 田赛项目：跳远，跳高（分别用、表示）． （1）小明从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为______； （2）小明从5个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率． 19. 小颖同学学了本学期第四单元第6节《利用相似三角形测高》后，用下面的方法来测量自己学校教学楼的高度．如图，她在与教学楼底部A同一个水平的地面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离米，然后在射线AE上调整自己与镜子的距离，直到刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，此时她与镜子的距离米，若小颖的眼睛距离地面高度米，请你帮小颖利用这些数据求出教学楼的高度是多少米？ 20. 阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为 ①，解得． 当时，，∴； 当时，，∴x=±2； ∴原方程有四个根：． （1）在由原方程得到方程①的过程中，利用___________法达到________的目的，体现了数学的转化思想． （2）解方程． 21. 下面是某数学兴趣小组用尺规作图“作一条线段的三等分点”的过程，请按要求完成相应的任务． （1）用尺规按下面步骤作出图形： ①分别以点A，B为圆心，大于的长为半径在两侧画弧，四段弧分别交于点C，点D； ②连接，，，作射线； ③以D为圆心，的长为半径画弧，交射线于点E； ④连接，交于点F． （2）请你证明点F为的三等分点（即）． 22. 侠天下景区某商店以每件8元的价格购进挂坠，以每件14元的价格出售．据统计，7月份的销售量为256件，9月份的销售量为400件． （1）求该挂坠7月份到9月份销售量的月平均增长率； （2）从10月份起，商家决定降价促销回馈顾客，经调查发现，该挂坠每降价0.5元，月销售量就会增加20件．则挂坠售价为多少元时，月销售利润达1920元？ 23. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论k取何值，该方程都有两个实数根； （2）若方程有一个根大于1，求k的取值范围． 24. 如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接，． （1）求证：； （2）当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？说明你的理由． 25. 如图①，操作：把正方形的对角线放在正方形的边的延长线上，取线段的中点M，连接、． （1）探究线段的关系，并加以证明； （2）其他条件不变，将正方形绕点C旋转任意角度后（如图②），探究线段的关系，并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $