3.4.3 课时1 直线与直线、直线与平面的夹角 课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

3.4.3 课时1 直线与直线、直线与平面的夹角 作者编号：、32200 1.会用向量法求线线角、线面角. 2.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角的关系. 学习目标 作者编号：、32200 回答下列问题： (1)空间两条直线的夹角与两条异面直线的夹角的范围相同吗? (2)空间两条直线的夹角的范围是多少? 不相同，两条异面直线的夹角不包括两条直线平行的情形，即不包括零角. 知识回顾 作者编号：、32200 当两条直线平行时，规定它们所成的角为0； 当两条直线a与b是异面直线时， 在空间任取一点O，过点O作直线a'和b'，使得a'∥a，b'∥b， 当两条直线a与b相交时，我们把两条直线交角中范围在 内的角叫作两条直线所成的角(如图①)； a b 图① 新知讲解 作者编号：、32200 把a'，b'所成的角叫作异面直线a与b所成的角(如图②). 图② a b a' b' O 思考1：若向量a，b分别为直线a，b的方向向量，则直线a与b所成的角θ与两个方向向量所成的角〈a，b〉有怎样的关系？ 新知讲解 作者编号：、32200 归纳总结 若向量a，b分别为直线a，b的方向向量，则直线a与b所成的角θ∈ 且θ与两个方向向量所成的角〈a，b〉相等或互补. 也就是说，当 时， 当 时， 故 cos θ＝|cos〈a，b〉|. 新知讲解 作者编号：、32200 例1:如图，在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，求异面直线BA1和AC的夹角． 解：以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A1(a，0，a). ∴＝(0，－a，a)，＝(－a，a，0)， ∴cos 〈，〉＝＝＝－ ∴〈，〉＝， ∴异面直线BA1和AC的夹角为. 新知讲解 作者编号：、32200 求异面直线夹角的步骤 归纳总结 (1)确定两条异面直线的方向向量. (2)确定两个向量夹角的余弦值的绝对值. (3)得出两条异面直线所成的角. 新知讲解 作者编号：、32200 平面的一条斜线和它在平面内的投影所成的锐角就是这条直线与这个平面所成的角. 当一条直线与一个平面平行或在这个平面内时，规定这条直线与这个平面所成角的大小为0； 当一条直线与一个平面垂直时，规定这条直线与这个平面所成角的大小为 新知讲解 作者编号：、32200 思考2：观察如图直线l的一个方向向量l与平面α的一个法向量n两者的夹角〈l，n〉与直线l和平面α所成的角θ的关系是什么？ 新知讲解 作者编号：、32200 设向量l为直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量， 故 sin θ＝|cos〈l，n〉|. 则直线l与平面α所成的角θ∈ 且θ= 或θ= 归纳总结 新知讲解 作者编号：、32200 解：由正三棱柱知AA'⊥平面ABC，故以点A为原点，AC，AA'所在直线分别为y轴、z轴，如图建立空间直角坐标系. 易知n=(1，0，0)是平面ACC'A'的一个法向量. 由△ABC是边长为2的正三角形，可得 例2:如图，在正三棱柱ABC-A'B'C'中，底面边长为2，AA'= ，求直线AB'与侧面ACC'A'所成角的正弦值. 新知讲解 作者编号：、32200 设直线AB'与侧面ACC'A'所成角为θ， 故直线AB'与侧面ACC'A'所成角的正弦值为 则 例2:如图，在正三棱柱ABC-A'B'C'中，底面边长为2，AA'= ，求直线AB'与侧面ACC'A'所成角的正弦值. 新知讲解 作者编号：、32200 例3:在正方体ABCD­A1B1C1D1中，求A1B与平面A1B1CD所成的角． 解：如图，建立空间直角坐标系D­xyz，设正方体的棱长为1， 则D(0，0，0，)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，B1(1，1，1). ∴A1B＝(0，1，－1)，A1D＝(－1，0，－1)，A1B1＝(0，1，0). 设平面A1B1CD的一个法向量为n＝(x，y，z)， 由知即∴ 故可取n＝(1，0，－1). 新知讲解 作者编号：、32200 例3:在正方体ABCD­A1B1C1D1中，求A1B与平面A1B1CD所成的角． 故cos 〈，n〉＝＝， 所以〈，n〉＝60°， 所以A1B与平面A1B1CD所成的角为30°. 新知讲解 作者编号：、32200 利用平面的法向量求直线与平面夹角的基本步骤 归纳总结 新知讲解 作者编号：、32200 1.若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150°，则异面直线l1与l2的夹角等于(　　) A.30° B.150° C.30°或150° D.以上均错 2.已知直线l1的一个方向向量为a＝(1，－1，2)，直线l2的一个方向向量为b＝(3，－2，0)，则两条直线夹角的余弦值为________． A 当堂检测 作者编号：、32200 3.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是上底棱CD、BC的中点，AB1与平面B1D1EF所成的角的大小是(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° B 当堂检测 作者编号：、32200 根据今天所学，回答下列问题： 1.如何用向量法求空间内的线线、线面夹角？ 课堂小结 作者编号：、32200 $$