3.4.3 一、直线与直线、直线与平面的夹角　课时作业-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

课时作业(三十二)　 直线与直线、直线与平面的夹角 [练基础] 1．已知向量m，n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量，若cos〈m，n〉＝－，，则l与α所成的角为(　　) A．30°　　　　B．60°　　　　C．120°　　　　D．150° 2．已知正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 3．已知在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于(　　) A. B. C. D. 4．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为(　　) A. 　　　　B. C. 　　　　D. 5．在正四棱锥S­ABCD中，SA＝AB＝2，则直线AC与平面SBC夹角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 6．如图，正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝1，AA1＝2，D是BB1的中点，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值等于(　　) A. 　　　　B. C. 　　　　D. 7．若平面α的一个法向量为n＝(－，1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(，1,1)，则l与α所成角的正弦值为________． 8．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是C1C的中点，O是底面ABCD的中心，P是A1B1上的任意点，则直线BM与OP夹角的大小为________． 9．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则直线BM与直线AN夹角的余弦值为________． 10．已知正三棱柱ABC­A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，M为A1B1的中点，求BC1与平面AMC1所成角的正弦值． [提能力] 11．[多选题]如图，ABCD­A1B1C1D1为正方体，下面结论正确的是(　　) A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BD C．AC1⊥平面CB1D1 D．异面直线AD与CB1所成的角为60° 12．如图，在四棱锥P­ABCD中，PD⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，且PD＝AB＝1，G为△ABC的重心，则PG与底面ABCD所成的角θ满足(　　) A．θ＝ 　 B．cos θ＝ C．tan θ＝ 　D．sin θ＝ 13．已知在正四面体A­BCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD的夹角的正弦值为________． 14．正方体ABCD­A1B1C1D1中，B1D与BC1夹角的大小是________，若E，F分别为AB，CC1的中点，则异面直线EF与A1C1夹角的大小是________． 15．如图所示，在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是BC，A1D1的中点． (1)求直线A1C与DE所成角的余弦值； (2)求直线AD与平面B1EDF所成角的余弦值． [培优生] 16．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB＝2，AA1＝2，D是AA1的中点，BD与AB1交于点O，且CO⊥平面ABB1A1. (1)证明：BC⊥AB1； (2)若OC＝OA，求直线CD与平面ABC夹角的正弦值． 课时作业(三十二) 1．解析：设l与α所成的角为θ且θ∈[0°，90°]，则sin θ＝|cos 〈m，n〉|＝.∴θ＝30°.故选A. 答案：A 2．解析：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，设AA1＝2AB＝2，则D(0，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，E(1，0，1)，D1(0，0，2).所以＝(0，－1，1)，CD1＝(0，－1，2)，所以cos 〈，CD1〉＝＝＝.故选C. 答案：C 3．解析： 以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图．设AA1＝2AB＝2，则D(0，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，C1(0，1，2)，则＝(0，1，0)，＝(1，1，0)，DC1＝(0，1，2).设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥，n⊥DC1，所以有令y＝－2，得平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2，1).设CD与平面BDC1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n，〉|＝＝.故选A. 答案：A 4．解析：不妨设CA＝CC1＝2CB＝2，则AB1＝(－2，2，1)，C1B＝(0，－2，1)，所以cos 〈AB1，C1B〉＝＝ ＝－. 所以所求角的余弦值为.故选A. 答案：A 5．解析：建立如图所示的空间直角坐标系． 由题意得A(1，－1，0)，C(－1，1，0)， B(1，1，0)，S(0，0，). ∴＝(－2，2，0)，＝(－1，－1，)， ＝(1