3.4.3.1直线与直线、直线与平面的夹角 课件-2022-2023学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第1课时　直线与直线、直线与平面的夹角 南阳市五中 [教材要点] 要点一　空间两直线的夹角 若向量a，b分别为直线a，b的方向向量，则直线a与b所成的角 θ∈________，且θ与两个方向向量所成的角〈a，b〉________或________，也就是说：当0≤〈a，b〉≤时，θ＝________，当＜〈a，b〉≤π时，θ＝π－〈a，b〉，故cos θ＝___________． 相等 互补 〈a，b〉 |cos 〈a，b〉| 要点二　直线与平面的夹角 设向量l为直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则直线l与平面α所成的角θ∈，且θ＝－〈l，n〉(图1)，或θ＝〈l，n〉－(图2)，故sin θ＝|cos 〈l，n〉|. [基础自测] 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．(　　) (2)直线与平面的夹角都是锐角．(　　) (3)直线与平面所成的角等于直线与该平面法向量夹角的余角．(　　) (4)当直线与平面的夹角为0°时，说明直线与平面平行．(　　) × × × × 2．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于(　　) A．120° B．60° C．30° D．以上均错 解析：设直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 120°|＝，又∵0≤θ≤90°，∴θ＝30°. 答案：C 3．设直线l1的方向向量为s1＝(1，1，1)，直线l2的方向向量为s2＝(－2，2，－2)，则l1，l2夹角的余弦值为(　　) A．－ B． C． D． 解析：∵cos 〈s1，s2〉＝＝－ ∴l1，l2夹角的余弦值为 故选B. 答案：B 4．已知直线l的方向向量为s＝(1，0，0)，平面π的法向量为n＝(2，1，1)，则直线与平面夹角的正弦值为__________．   解析：∵cos 〈s，n〉＝＝＝＞0，故〈s，n〉＜， ∴直线l与平面π的夹角θ＝－〈s，n〉， ∴sin θ＝sin()＝cos 〈s，n〉＝. 答案： 题型一　直线间的夹角 例1　如图所示，在三棱柱OAB­O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝，求异面直线A1B与O1A夹角的余弦值． 解析：以O为坐标原点，OA，OB所在直线分别为x轴，y轴，建立空间直角坐标系O­xyz，则O(0，0，0)，O1(0，1，)，A(，0，0) ，A1(，1，)，B(0，2，0)， ∴＝(－，1，－)， ＝(，－1，－). ∴|cos 〈，〉|＝ ＝＝. ∴异面直线A1B与O1A夹角的余弦值为. 方法归纳 求异面直线的夹角，用向量法比较简单，若用基向量求解，则必须选好空间的一组基向量，若用坐标系求解，一定要将每个点的坐标写正确． 跟踪训练1　如图，在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，求异面直线BA1和AC的夹角． 解析：以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A1(a，0，a). ∴＝(0，－a，a)，＝(－a，a，0)， ∴cos 〈，〉＝ ＝＝－ ∴〈，〉＝， ∴异面直线BA1和AC的夹角为. 题型二　直线与平面间的夹角 例2　正三棱柱ABC­A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1的夹角． 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，() 则A(0，0，0)，B(0，a，0)，A1(0，0，a)， C1(-)，B1(0，a，a)， 则＝(0，a，0)，＝(0，0，a)， 设侧面ABB1A1的法向量为n＝(λ，x，y)， 则n·＝0，且n·＝0， ∴ax＝0，且ay＝0，∴x＝y＝0，故n＝(λ，0，0). 又＝(-)，∴cos 〈，n〉＝＝＝－. 设AC1与侧面ABB1A1的夹角为θ，则sin θ＝|cos 〈，n〉|＝， ∴θ＝30°，即AC1与侧面ABB1A1的夹角为30°. 方法归纳 求直线与平面所成角的步骤 1．分析图形关系，建立空间直角坐标系； 2．求出直线的方向向量a和平面的法向量n； 3．求出夹角〈a，n〉； 4．判断直线和平面所成的角θ和〈a，n〉的关系，求出角θ. 跟踪训练2　在正方体ABCD­A1B1C1D1中，求A1B与平面A1B1CD所成的角． 解析：如图，建立空间直角坐标系D­xyz，设正方体的棱长为1， 则D(0，0，0，)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，B1(1，1，1).所以A1B＝(0，1，－1)，A1D