3.3.2 课时2 空间向量长度与夹角的坐标表示课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

3.3.2 课时2 空间向量长度与夹角的坐标表示 作者编号：、32200 1.进一步熟悉空间向量的坐标表示. 2.能利用空间向量的坐标解决一些简单的长度与夹角问题. 学习目标 作者编号：、32200 如图，若把 <m></m> ， <m></m> 放在同一铅垂面，测得 <m></m> ， <m></m> ，如何求 <m></m> ？ <m></m> ， 根据向量模的公式，可得 <m></m> . 若把 <m></m> ， <m></m> 放在三维空间中，如何求 <m></m> ？ 新课导入 作者编号：、32200 设向量a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，根据空间向量运算的坐标表示，可以得到： 若点A的坐标为(a1，b1，c1)，点B的坐标为(a2，b2，c2)， 则 新知讲解 作者编号：、32200 例1:已知空间三点A(1,0,0)，B(3,1,1)，C(2,0,1)，求线段AB的长和∠BAC的大小. 解： 又∵两个向量的夹角取值范围为[0，π]， 新知讲解 作者编号：、32200 归纳总结 1.求空间中线段的长度即对应空间向量的模，因此空间两点间的距离公式就是空间向量模的计算. 2.(1)〈a，b〉∈[0，π]. (2)空间两直线夹角可转化为两向量的夹角，设直线AB与CD所成的角为θ，则 新知讲解 作者编号：、32200 例2:在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点． (1)求证：EF⊥CF； (2)求异面直线EF与CG所成角的余弦值； (3)求CE的长． 解：(1)证明：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D ­ xyz， 则D(0，0，0)，E，C(0，1，0)， F，G. 作者编号：、32200 所以＝， ＝＝ ＝. 因为·＝×0＝0， 所以⊥，即EF⊥CF. 作者编号：、32200 (2)因为·＝×1＋×0＋＝， ||＝＝， ||＝＝， 所以cos 〈〉＝＝＝. 又因为异面直线所成角的范围是(0°，90°]， 所以异面直线EF与CG所成角的余弦值为. (3)|CE|＝||＝＝. (2)求异面直线EF与CG所成角的余弦值；(3)求CE的长． 作者编号：、32200 归纳总结 (1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系. (2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标. (3)论证、计算：结合公式进行论证、计算. (4)转化：转化为平行与垂直、夹角与距离问题. 空间向量的坐标运算的一般步骤 新知讲解 作者编号：、32200 例3:已知a＝(5，3，－1)，b＝（2，t，），若a与b的夹角为锐角，求实数t的取值范围． 解：因为a，b的夹角为锐角，所以a·b>0， 即10＋3t＋>0，则t>－， 又当夹角为0°时，存在λ>0，使b＝λa， 即（2，t，）＝λ(5，3，－1)，所以解得t＝. 综上，实数t的取值范围是(－)∪(). 新知讲解 作者编号：、32200 1.已知向量a＝(1，3，3)，b＝(5，0，1)，则|a－b|等于(　　) A.7 B． C．3 D． 2.设 ， ， ，则 的中点 到点 的距离 的值为( @39@ ) A. B. C. D. B C 当堂检测 作者编号：、32200 3.若△ABC的三个顶点坐标分别为A(0，0，)，B， C(－1，0，)，则角A的大小为________． 30° 当堂检测 作者编号：、32200 1.空间向量长度的坐标表示 2.空间向量夹角的坐标表示 课堂小结 作者编号：、32200 $$