3.3.1 空间向量基本定理 课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

3.3.1 空间向量基本定理 作者编号：、32200 回顾平面向量基本定理，如果a，b是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量p，有且只有一对实数x，y，使p＝xa＋yb.若a，b不共线，我们把{a，b}叫作表示这一平面内所有向量的一组基. 类似地，任意一个空间向量p能否用任意三个不共面的向量a，b，c表示呢？ a b c p 问题导入 作者编号：、32200 1.理解并掌握空间向量基本定理及其意义. 2.会用一组基表示空间向量. 学习目标 作者编号：、32200 如图，过空间任意一点O作 ∵向量a，b，c不共面，∴O，A，B，C四点不共面. 作 当点P不在直线OC上时，过点P作与OC平行的直线交平面AOB于点Q，则 故存在实数z，使得 P A B C O Q a b c p 新知讲解 作者编号：、32200 在平面AOB内，由平面向量基本定理可知： 从而，存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)，使得 当点P在直线OC上，则p∥c，故存在唯一的实数x，使得p=zc. 从而也存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)=(0，0，z)，使得p=xa+yb+zc. 存在唯一的有序实数对(x，y)，使得 P A B C O Q 新知讲解 作者编号：、32200 概念讲解 空间向量基本定理：如果向量a，b，c是空间三个不共面的向量，p是空间任意一个向量，那么存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)，使得p= xa+ yb+zc． {a， b， c} 基 基向量 如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p= xa+ yb+zc，x，y，z∈R}．这个集合可看作由向量a，b，c生成的． 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基 如何证明其唯一性呢？ 新知讲解 作者编号：、32200 下面证明空间向量基本定理中三元有序实数组的唯一性. 证明：假设还有另一个三元有序实数组(x'，y'，z')也满足p=x'a+y'b+z'c， 则0=(x-x')a+(y-y')b+(z-z')c. 也就是说，向量a可以被向量b，c线性表示， 不难得出，此时向量a应该与向量b，c共面，这与a，b，c是空间三个不共面的向量矛盾， ∴x=x'，同理可得y=y'，z=z'， ∴空间向量基本定理中三元有序实数组具有唯一性. 不妨设x≠x'，则 新知讲解 作者编号：、32200 例1:已知 <m></m> 是空间的一组基，且 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，试判断 <m></m> 能否作为空间的一组基. 解：假设 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 共面，则存在实数 <m></m> ， <m></m> 使得 <m></m> ， <m></m> <m></m> . <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 不共面，∴ <m></m> 此方程组无解， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 不共面， <m></m> 可以作为空间的一组基. 新知讲解 作者编号：、32200 归纳总结 空间向量有无数组基.判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为一组基，关键是要判断它们是否共面，若从正面难以入手，则常用反证法或一些常见的几何图形来帮助我们进行判断. 新知讲解 作者编号：、32200 解：∵点M是A'B'C'D'的对角线的交点， 例2:如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，点M是A'B'C'D'的对角线的交点，点N是棱BC的中点.如果 试用a，b，c表示 又 新知讲解 作者编号：、32200 归纳总结 用一组基表示向量的步骤： (1)定基：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一组基. (2)找目标：用确定的基(或已知基)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果. (3)下结论：利用空间向量的一组基{a，b，c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量. 新知讲解 作者编号：、32200 1.O、A、B、C为空间四个点，又{，，}为空间的一个基，则(　　) A．O、A、B、C四点不共线 B．O、A、B、C四点共面，但不共线 C．O、A、B、C四点中任意三点不共线 D．O、A、B、C四点不共面 D 当堂检测 作者编号：、32200 2.已知点，，，为空间不共面的四点，且向量，向量，则与，不能构成空间的一组基的向量是( @30@ ) A. B. C. D. 或 3.在四面体O­ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________________(用a，b，c表示). C a＋b＋c 当堂检测 作者编号：、32200 根据今天所学，回答下列问题： 1.空间向量基本定理是什么？ 2.用一组基表示向量的步骤是什么？ 课堂小结 作者编号：、32200 $$