2.4.2直线与圆锥曲线的综合问题课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

2.4.2 直线与圆锥曲线的综合问题 作者编号：、32200 1.进一步熟悉直线与圆锥曲线的位置关系. 2.掌握弦长公式，会求解与弦长有关的问题. 学习目标 作者编号：、32200 例1:已知直线l过椭圆C: 的中心，且交椭圆C于A，B两点，求|AB|的取值范围. 解：(1)当直线l的斜率不存在时(如图1)，直线l:x=0， 代入椭圆方程解得A(0， )，B(0， )，∴|AB|= (2)当直线l的斜率存在时(如图2)，设直线l的方程为y=kx. 将椭圆方程化简、整理，得x2+2y2=4. 将直线和椭圆方程联立，得 ① ② 图1 图2 新知讲解 作者编号：、32200 例1:已知直线l过椭圆C: 的中心，且交椭圆C于A，B两点，求|AB|的取值范围. 将②代入①，化简整理得(2k2+1)x2=4.③ 显然，无论k取何值，方程③都有实数解， 由两点间的距离公式，可得 ④ 图2 新知讲解 作者编号：、32200 例1:已知直线l过椭圆C: 的中心，且交椭圆C于A，B两点，求|AB|的取值范围. 为了便于求|AB|的取值范围，将④进行变形整理，得 ∵4k2+2≥2，由不等式的性质可得 综合(1)和(2)的结果，|AB|的取值范围为[2 ，4]. 图2 新知讲解 作者编号：、32200 当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种： 注意：(1)一定先有判别式大于零，才有两根之和、两根之积. (2)对于斜率不确定的问题，要分类讨论. 归纳总结 新知讲解 作者编号：、32200 思考交流：某同学给出了例1的如下解决方法： 解：考虑到直线l与椭圆C的两个交点A，B是关于中心O对称的， ∴|AB|=2|OA|= ∵点A在椭圆C上，∴xA2+2yA2=4，整理，得xA=4-2yA2. 将其代入上式，消去xA可得|AB|= 由上述函数关系可以求出0≤|AB|≤4. 请对该同学的上述解法进行评价. 此法综合运用的椭圆的中心对称性质，设而不求，优化了整体运算. 但是却没有根据图象，考虑yA的实际范围，故而导致最终取值错误. 新知讲解 作者编号：、32200 反思上述“思考交流”求解解析几何问题的过程， 一方面可以再次感受到数形结合思维方式的作用， 另一方面也可以感受到，还应该在分析图形的基础上对题目中的几何要素进行合理代数化表达. 归纳总结 新知讲解 作者编号：、32200 例2:过椭圆＝1内一点M(2，1)引一条弦，使弦被M点平分，求此弦所在的直线方程． 解：方法一　由题意，易知直线的斜率必存在． 设所求直线方程为y－1＝k(x－2)． 代入椭圆方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0. 又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝. 又M为AB的中点，∴＝＝2，解得k＝－. 故所求直线的方程为x＋2y－4＝0. 新知讲解 作者编号：、32200 方法二　设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)． 又M(2，1)为AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2. 又A，B两点在椭圆上，则 )＝0. 于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0. ∴＝－＝－，即kAB＝－. 又直线AB过点M(2，1)，故所求直线的方程为x＋2y－4＝0. 例2:过椭圆＝1内一点M(2，1)引一条弦，使弦被M点平分，求此弦所在的直线方程． 新知讲解 作者编号：、32200 归纳总结 方法一　联立方程，消元后利用根与系数的关系和中点坐标公式求解． 方法二　点差法 设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用弦长公式求解． 解决椭圆中点弦问题的方法 新知讲解 作者编号：、32200 1.若斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，且 的中点坐标为 ，则 ( @4@ ) A. B. C. D. 2.已知斜率为2的直线与圆锥曲线交于 ， 两点，若弦长 ，则 ____. C 4 当堂检测 作者编号：、32200 3.已知斜率为k的直线l与抛物线C：y2＝4x交于A、B两点，线段AB的中点为M(2，1)，则直线l的方程为(　　) A．2x－y－3＝0 B．2x－y－5＝0 C．x－2y＝0 D．x－y－1＝0 A 当堂检测 作者编号：、32200 根据今天所学，回答下列问题： 1.中点坐标公式和弦长公式分别是什么？ 2.求弦长问题通常有哪两种方法？ 3.求解解析几何问题需注意什么？ 课堂小结 作者编号：、32200 $$