2.4.2 直线与圆锥曲线的综合问题(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（北师大版）

4.2　直线与圆锥曲线的综合问题 1.A　[解析] 易知抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),又直线AB的斜率k=tan 30°=,所以直线AB的方程为y=(x-1).将直线方程代入到抛物线方程中,得(x-1)2=4x,整理得x2-14x+1=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得x1+x2=14,x1·x2=1,所以|AB|=|x1-x2|=×=16.故选A. 2.B　[解析] 由题意可设椭圆C的标准方程为+=1(a>b>0),c2=a2-b2(c>0),则=,所以a=c,b=c,所以椭圆C的标准方程为+=1.因为直线AB经过椭圆C的上焦点(0,c),且易知直线AB的斜率存在,所以设直线AB的方程为y=kx+c,代入椭圆C的方程,得(k2+2)x2+2kcx-c2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-=-,又k==,所以c=3,所以椭圆C的标准方程为+=1.故选B. 3.A　[解析] ∵y2=8x,∴p=4,∴F(2,0).若直线AB的斜率不存在,则直线AB的方程为x=2,与y2=8x联立,得y2=16,∴y=±4,此时|AB|=8,不满足题意,故直线AB的斜率存在.设直线AB的方程为y=k(x-2),由题意得k≠0.由整理得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,可得Δ=64k2+64>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4+.∵直线AB过焦点,∴由抛物线的定义得|AB|=10=x1++x2+,∴k2=4,解得k=±2,∴直线AB的方程为y=±2(x-2),故原点O到直线AB的距离d==,∴S△OAB=|AB|d=4.故选A. 4.B　[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=x+m,由消去y得5x2+8mx+4(m2-1)=0,由Δ>0得m2<5,则x1+x2=-,x1x2=,∴|AB|=|x1-x2|=·=·=·,∴当m=0时,|AB|取得最大值,故选B. 5.B　[解析] 设F(c,0),对于-=1,令x=c=,得y=±.若点A,B在双曲线的同一支上,则|AB|≥;若点A,B在双曲线的不同支上,则|AB|≥2a.因为|AB|=16,这样的直线l有4条,所以解得<a<8,即实数a的取值范围是.故选B. 6.A　[解析] 由整理得4x2+(4b-2p)x+b2=0,设直线l与抛物线C的两个交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.∵直线l:y=2x+b被抛物线C:y2=2px(p>0)截得的弦长为5,∴5=|AB|=|x1-x2|,∴52=(1+22)①.又直线l经过C的焦点,∴-=,∴b=-p②.由①②得p=2,故抛物线C的方程为y2=4x.设M(x0,y0),则=4x0,则|MN|2=(x0-4)2+=(x0-4)2+4x0=(x0-2)2+12,又x0≥0,∴当x0=2时,|MN|min=2.故选A. 7.AC　[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2).由抛物线C:y2=4x,得p=2,则焦点坐标为(1,0),易知直线y=x-1过焦点.由 消去y得x2-6x+1=0, 则x1+x2=6,x1x2=1,所以y1y2=(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=-4.|AB|=x1+x2+p=6+2=8,故A正确.因为·=x1x2+y1y2=1-4=-3≠0,所以OA与OB不垂直,故B错误.因为原点到直线y=x-1的距离d=,所以△AOB的面积S=×d×|AB|=××8=2,故C正确.线段AB的中点到直线x=0的距离为==3,故D错误.故选AC. 8.ACD　[解析] 对于A,设A(x1,y1),B(x2,y2),则 两式相减可得+=0,所以·=-=-2≠-1,故 A中结论错误;对于B,因为kAB·kOM=-2,kOM=1,所以kAB=-2,所以直线AB的方程为y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0,故B中结论正确;对于C,直线AB的方程为y=x+1,假设点M,则kAB·kOM=1×4=4≠-2,所以假设不成立,故C中结论错误;对于D,直线AB的方程为y=2x+2,与椭圆方程+=1联立,得2x2+(2x+2)2-4=0,整理得3x2+4x=0,解得x=0或x=-,所以|AB|=×=,故D中结论错误.故选ACD. 9.6　[解析] 由题意可取F(2,0),易知过焦点F的弦中垂直于x轴的弦的长度最短,当x=2时,y=±3,所以|AB|的最小值为6. 10.±1　[解析] 易知抛物线C:y2=4x的焦点坐标为(1,0),所以直线l的方程为y=k(x-1).由可得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则由根与系数的关系,可得x1+x2=.又直线AB过焦点,所以|AB|=x1+x2+p=+2=8,即=6,解得k=±1. 11.-　[解析] 显然直线AB的斜率存在,设其方程为y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y并整理得x2-4kx-8=0,则x1x2=-8,所以k1k2=·=·==-. 12.2　[解析] 因为直线过双曲线的右焦点F(2,0)且与圆相切,所以直线的斜率存在,设直线的方程为y-0=k(x-2),由直线与圆相切知=,解得k=1或k=.当k=时,因为双曲线的一条渐近线的斜率是,<,所以该直线不与双曲线的右支相交于两点,故舍去,所以直线的方程为y=x-2.由整理得2x2-12x+15=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6,x1x2=,所以|AB|=|x1-x2|=·=×=2. 13.解:(1)由题意可知,点M的轨迹是以F(0,3)为焦点,直线l:y=-3为准线的抛物线,所以=3,则p=6,所以动点M的轨迹方程是x2=12y. (2)由已知可得直线AB的方程是y-3=x,即x-y+3=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),由得x2- 12x-36=0,Δ=(12)2+144>0,所以x1+x2=12,则y1+y2=(x1+3)+(x2+3)=(x1+x2)+6=42,故|AB|=y1+y2+6=48. 14.解:(1)由已知可得2c=2,则c=,所以椭圆M的左、右焦点的坐标分别为(-,0),(,0),由椭圆的定义可得2a=+=2,则a=,所以b===1, 因此椭圆M的方程为+y2=1. (2)设直线l的方程为y=x+m,点A(x1,y1),B(x2,y2), 由可得4x2+6mx+3m2-3=0,则Δ=36m2-4×4×3(m2-1)=48-12m2>0,解得-2<m<2, 则x1+x2=-,x1x2=, 所以|AB|=·=·=≤×2=, 当且仅当m=0时等号成立,故|AB|的最大值为. 15.2　[解析] 设直线AB的倾斜角为θ,过A作AD⊥x轴,垂足为D,则|AF|=|AA1|=p+|FD|=p+|AF|cos θ,所以|AF|=,同理可得|BF|=,因为=3,所以=,则cos θ=,由于θ∈[0,π),所以θ=,同时可得|AF|=|AA1|=2p,|CA1|=2p×sin=2p×=p,因此四边形CFAA1的面积S=(2p+p)×p=12(p>0),解得p=2. 16.解:(1)由椭圆Γ的焦距为6,可得其半焦距为3,则λ-=32=9,解得λ=12. (2)由题知M,P,N三点共线,当直线MN的斜率存在时, 设直线MN:y=kx+1,与椭圆Γ的方程联立,消去y得(4k2+1)x2+8kx+4-λ=0,则xM+xN=,xMxN=.由=2知k≠0,xM=-2xN,故xN=-(xM+xN)==,当k>0时,xN=≤=2,当且仅当4k=,即k=时,等号成立;当k<0时,xN<0<2.当直线MN的斜率不存在时,xN=0<2.故xN的最大值为2,当xN取最大值时,k=,则xMxN==-2,即=-8,解得λ=20. 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2　直线与圆锥曲线的综合问题 一、选择题 1.过抛物线y2=4x的焦点F作倾斜角为30°的直线交抛物线于A,B两点,则|AB|= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.16 B.6 C.12 D.7 2.已知椭圆C的中心为坐标原点,离心率为,过椭圆C的上焦点的直线交椭圆C于A,B两点,若线段AB的中点坐标为,则椭圆C的标准方程为 (　 ) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 3.已知O为坐标原点,抛物线y2=8x,过其焦点F的直线交抛物线于A,B两点,且满足|AB|=10,则△OAB的面积为 (　 ) A.4 B.4 C.5 D.5 4.斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A,B两点,则|AB|的最大值为 (　 ) A. B. C. D. 5.已知双曲线C:-=1(a>0),过其右焦点F的直线l与双曲线C交于A,B两点,且|AB|=16,若这样的直线l有4条,则实数a的取值范围是 (　 ) A. B. C. D.(0,8) 6.已知直线l:y=2x+b被抛物线C:y2=2px(p>0)截得的弦长为5,直线l经过抛物线C的焦点,M为抛物线C上的一个动点,若点N的坐标为(4,0),则|MN|的最小值为 (　 ) A.2 B. C.2 D.2 7.(多选题)已知点O为坐标原点,直线y=x-1与抛物线C:y2=4x相交于A,B两点,则下列说法正确的是 (　 ) A.|AB|=8 B.OA⊥OB C.△AOB的面积为2 D.线段AB的中点到直线x=0的距离为2 8.(多选题)设椭圆的方程为+=1,斜率为k的直线不经过原点O,且与椭圆相交于A,B两点,M为线段AB的中点,则下列结论错误的是 (　 ) A.直线AB与OM垂直 B.若点M的坐标为(1,1),则直线AB的方程为2x+y-3=0 C.若直线AB的方程为y=x+1,则点M的坐标为 D.若直线AB的方程为y=2x+2,则|AB|= 二、填空题 9.已知线段AB为过椭圆+=1的一个焦点F的弦,则|AB|的最小值为　　　　.  10.已知斜率为k的直线l过抛物线C:y2=4x的焦点,且与抛物线C交于A,B两点,若|AB|=8,则k=　　　　.  11.抛物线C的方程为x2=4y,过点P(0,2)的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,记直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,则k1k2的值为　　　　.  12.过双曲线M:-y2=1的右焦点F作圆C:x2+(y+1)2=的切线,此切线与M的右支交于A,B两点,则|AB|=　　　　.  三、解答题 13.已知动点M到点F(0,3)的距离与到直线l:y=-3的距离相等. (1)求动点M的轨迹方程; (2)若过点F且倾斜角为60°的直线与动点M的轨迹交于A,B两点,求线段AB的长度. 14.[2024·江苏无锡高二期中] 已知椭圆M:+=1(a>b>0)的焦距为2,点在椭圆M上,且斜率为k的直线l与椭圆有两个不同的交点A,B. (1)求椭圆M的方程; (2)若k=1,求|AB|的最大值. 15.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点F的直线交抛物线于A,B两点,且=3,准线与x轴交于点C,过A作准线的垂线,垂足为A1,则当四边形CFAA1的面积为12时,p的值为　　　　.  16.[2024·安徽马鞍山二中高二月考] 已知椭圆Γ:x2+4y2=λ(λ>0). (1)若椭圆Γ的焦距为6,求λ的值; (2)设P(0,1),若椭圆Γ上两点M,N满足=2,求点N的横坐标取最大值时λ的值. 学科网（北京）股份有限公司 $