2.2.2课时1 双曲线的简单性质课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

2.2.2 课时1 双曲线的简单性质 作者编号：、32200 1.理解并掌握双曲线范围、对称性和顶点的几何性质. 2.能利用双曲线的简单性质求标准方程. 学习目标 作者编号：、32200 1.双曲线的标准方程是什么？ 2.类比椭圆的几何性质，应研究双曲线的哪些几何性质？如何研究这些性质？ 问题导入 作者编号：、32200 F1 F2 x O y 问题1：如何用方程(代数方法)研究曲线 中x的范围？ 范围： x≤-a或x≥a，且y∈R. 因此，双曲线C在不等式x≤-a与x≥a所表示的区域内，即位于两条直线x=-a和x=a外侧的区域. -a a ∴x≤-a或x≥a，且y∈R. 新知讲解 作者编号：、32200 ①P(x,y) P1(x,-y) x轴 方程不变，点在双曲线上 问题2：请观察双曲线方程 图象说明双曲线的对称性. F1 F2 x O y (x,y) (x,-y) (-x,-y) (-x,y) P1 P2 P3 方程不变，点在双曲线上 ②P(x,y) P2(-x,y) y轴 新知讲解 作者编号：、32200 ③P(x,y) P3(-x,-y) 原点 方程不变，点在双曲线上 综上，双曲线既是关于x轴和y轴的轴对称图形，也是关于原点的中心对称图形.这个对称中心称为双曲线的中心. F1 F2 x O y (x,y) (x,-y) (-x,-y) (-x,y) P1 P2 P3 新知讲解 作者编号：、32200 F1 F2 x O y 在 中，令y=0，得x=±a， A1 A2 B1 B2 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长为2a，a叫做实半轴长； 双曲线和x轴有两个交点 双曲线的顶点 实轴 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长为2b，b叫做双曲线的虚半轴长. 虚轴 新知讲解 作者编号：、32200 归纳总结 方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0) 焦点 顶点 范围 对称性 虚实轴 F1(-c，0)，F2(c，0) A1(-a，0)，A2(a，0) x≤-a或x≥a y≤-a或y≥a 中心：原点；对称轴：x轴、y轴 实轴长：2a；虚轴长：2b F1(0，-c)，F2(0，c) A1(0，-a)，A2(0，a) 新知讲解 作者编号：、32200 例1:求双曲线x2-4y2=1的焦点、中心、顶点坐标、实轴和虚轴的长，并画出该双曲线. 解：将x2-4y2=1化为标准方程 ∴实半轴长a=1，虚半轴长b= ，半焦距 ∴焦点坐标为 中心坐标为 顶点坐标为 实轴长为2，虚轴长为1. 新知讲解 作者编号：、32200 根据双曲线的对称性，先画双曲线位于第一象限的部分.为此，由双曲线的方程解得 计算出一些点，如表(y的值精确到0.01). x 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 y 0 0.56 0.87 1.15 1.41 1.94 2.45 2.96 3.46 3.97 在平面直角坐标系中描出上述对应点，并用光滑曲线连起来.根据对称性，再画出双曲线在其他三个象限的部分(如图). 新知讲解 作者编号：、32200 归纳总结 利用双曲线的方程研究其几何性质的解题步骤 (1)先把双曲线方程化为标准形式. (2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值. (3)由c2=a2+b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质. 注意:求性质时一定要注意焦点的位置. 新知讲解 作者编号：、32200 例2 外形是双曲面的冷却塔具有众多优点，如自然通风和散热效果好，结构强度和抗变形能力强等，其设计原理涉及到物理学、建筑学等学科知识.如图1是中国华电集团的某个火力发电厂的一座冷却塔，它的外形可以看成是由一条双曲线的一部分绕着它的虚轴所在直线旋转而成，其轴截面如图2所示，已知下口圆面的直径为80米，上口圆面的直径为40米，高为90米，下口到最小直径圆面的距离为80米.求最小直径圆面的面积. 新知讲解 作者编号：、32200 解：如图，由题意设＝1， 则A(40，－80)，B(20，10)在双曲线上， 所以，解得， 又最小直径的圆面是以双曲线的实轴为直径的圆面， 所以此时圆面的面积为πa2＝π. 新知讲解 作者编号：、32200 双曲线在实际生活中有着广泛的应用，解答该类问题的关键是从实际问题中挖掘出所有相关条件，将实际问题转化为求双曲线的标准方程的问题.特别要注意在实际意义下隐含着的变量范围. 归纳总结 新知讲解 作者编号：、32200 1.双曲线＝1的左焦点与右顶点之间的距离等于( ) A.6 B.8 C.9 D.10 2.已知双曲线，则该双曲线的实轴长为( @10@ ) A. B. C. D. 3.实轴长等于虚轴长的双曲线叫作等轴双曲线.中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线3x-4y+12=0上的等轴双曲线的方程是(　　) A.x2-y2=8 B.x2-y2=4 C.y2-x2=8 D.y2-x2=4 B B A 当堂检测 作者编号：、32200 方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0) 焦点 顶点 范围 对称性 虚实轴 F1(-c，0)，F2(c，0) A1(-a，0)，A2(a，0) x≤-a或x≥a y≤-a或y≥a 中心：原点；对称轴：x轴、y轴 实轴长：2a；虚轴长：2b F1(0，-c)，F2(0，c) A1(0，-a)，A2(0，a) 课堂小结 作者编号：、32200 $$