3.4.3 课时1 直线与直线、直线与平面的夹角课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

3.4.3 课时1 直线与直线、直线与平面的夹角 作者编号：、32200 在必修课程中，我们学习过异面直线所成的角，直线与平面相交所成的角，那么，在空间中怎样描述这些角呢？这些角的大小与直线的方向向量、平面的法向量有何关系？ 新课导入 作者编号：、32200 1.会用向量法求线线角、线面角. 2.理解空间两个向量所成的角与所求线线角、线面角的区别与联系. 学习目标 作者编号：、32200 如图所示的是一个正方体的平面展开图，将该展开图还原成正方体，回答下列问题. 问题1：MN与EF是异面直线吗？若是，则求出它们的夹角；若不是，请说明理由. 将展开图折成正方体，如图所示， MN与EF是异面直线，它们的夹角为60°. 课题探究 作者编号：、32200 问题2：根据立体几何知识，我们怎样求两条异面直线a，b的夹角？异面直线所成的角的取值范围是什么？ 当两条直线a与b是异面直线时，在空间任取一点O，过点O作直线a'和b'，使得a'∥a，b'∥b，把a'，b'的夹角叫作异面直线a与b的夹角，如图所示. 所成角的范围是(0，]. 课题探究 作者编号：、32200 问题3：设直线a，b的夹角为θ，方向向量分别为a，b，那么夹角θ与方向向量的夹角〈a，b〉之间的关系是怎样的？对应的余弦值表达式是什么？ 相等或互补 当 <m> 时， <m></m> ； 当 <m></m> 时， <m></m> . 余弦值表达式为 <m></m> . 课题探究 作者编号：、32200 若向量a，b分别为直线a，b的方向向量，则直线a与b所成的角θ∈ 且θ与两个方向向量所成的角〈a，b〉相等或互补. 归纳总结 也就是说，当 时， 当 时， 故 cos θ＝|cos〈a，b〉|. 课题探究 作者编号：、32200 例1 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，求B1M与D1N所成角的余弦值. 解：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 则B1(2，2，2)，M(1，1，0)，D1(0，0，2)，N(1，0，0)， 故AC'与A'D所成角的余弦值为 课题探究 作者编号：、32200 交流讨论：观察如图直线l的一个方向向量l与平面α的一个法向量n两者的夹角〈l，n〉与直线l和平面α所成的角θ的关系是什么？ <m></m> 或</m> 课题探究 作者编号：、32200 归纳总结 设向量l为直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量， 故 sin θ＝|cos〈l，n〉|. 则直线l与平面α所成的角θ∈ 且θ= 或θ= 课题探究 作者编号：、32200 例2 正三棱柱ABC­A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1所成角的正弦值. 解：建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，B(0，a，0)，A1(0，0，a)， C1(-)，B1(0，a，a)， 则＝(0，a，0)，＝(0，0，a)， 设侧面ABB1A1的法向量为n＝(λ，x，y)， 则n·＝0，且n·＝0， 课题探究 作者编号：、32200 ∴ax＝0，且ay＝0，∴x＝y＝0， 故n＝(λ，0，0). 又＝(-)， ∴cos 〈，n〉＝＝＝－. 设AC1与侧面ABB1A1的夹角为θ， 则sin θ＝|cos 〈，n〉|＝. 例2 正三棱柱ABC­A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1所成角的正弦值. 课题探究 作者编号：、32200 求直线与平面所成角的步骤： 归纳总结 1.分析图形关系，建立空间直角坐标系； 2.求出直线的方向向量a和平面的法向量n； 3.设线面角为θ，则sin θ＝ 课题探究 作者编号：、32200 1.平面α的斜线l与它在这个平面上射影l′的方向向量分别为a＝(1，0，1)，b＝(0，1，1)，则斜线l与平面α所成的角为(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° C 2.若平面α的一个法向量n=(2，1，1)，直线l的一个方向向量为a=(1，2，3)，则l与α所成角的正弦值为( ) A. B. C. D. B 当堂检测 作者编号：、32200 3.已知在棱长为2的正方体中，E是DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则直线AB1与ED1夹角的余弦值为(　　) A. B. C.－ D.－ A 当堂检测 作者编号：、32200 根据今天所学，回答下列问题： 1.如何用向量法求空间内的线线、线面夹角？ 课后小结 作者编号：、32200 $$