3.4.2 课时1 用向量方法研究立体几何中的位置关系 课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

3.4.2 课时1 用向量方法研究 立体几何中的位置关系 作者编号：、32200 1.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行、垂直关系. 2.能用向量方法解决立体几何中的平行、垂直问题. 学习目标 作者编号：、32200 讨论：平行和垂直是立体几何中主要的位置关系，那么如何用向量方法进行研究呢？ 新课导入 作者编号：、32200 思考1：由直线与直线的平行关系, 可以得到这两条直线的方向向量有什么关系呢？ 设l，m分别是直线l，m的方向向量， 使得 l l m m 课题探究 作者编号：、32200 思考2：由直线与平面的平行关系, 可以得到直线的方向向量与平面的法向量有什么关系呢？   设l是直线l的方向向量，n1是平面α的法向量， l n1 课题探究 作者编号：、32200 思考3：由平面与平面的平行关系, 可以得到这两个平面的法向量有什么关系呢？ 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，     使得 课题探究 作者编号：、32200 思考4：如图，根据直线、平面的位置关系，判断直线的方向向量、平面的法向量有什么关系？ l⊥m，n1∥l，n1⊥n2. 课题探究 作者编号：、32200 设向量l，m分别是直线l，m的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量，则 l∥m或l与m重合 l∥α或 α∥β或α与β重合 归纳总结 课题探究 作者编号：、32200 例1 在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点，求证：AB∥平面DEG. 证明：∵EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，BE⊂平面AEB， ∴EF⊥AE，EF⊥BE. 又∵AE⊥EB，∴EB，EF，EA两两垂直． 以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 课题探究 作者编号：、32200 由已知得，A(0，0，2)，B(2，0，0)，C(2，4，0)，F(0，3，0)，D(0，2，2)，G(2，2，0)， ∴＝(0，2，2)，＝(2，2，0)，＝(2，0，－2)． 设平面DEG的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令y＝1，得z＝－1，x＝－1，则n＝(－1，1，－1)， ∴·n＝－2＋0＋2＝0，即⊥n. ∵AB⊄平面DEG， ∴AB∥平面DEG. 课题探究 作者编号：、32200 向量法证明线面平行的三个思路： 归纳总结 ①证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内; ②证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内; ③证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内. 课题探究 作者编号：、32200 分析：设m是平面α内的任意一条直线.要证明n⊥α，只需证明n⊥m.如何充分运用条件，表达“m是平面α内的任意一条直线”呢？可以考虑将直线m的方向向量用平面α的一组基表示. α n a b m 例2 证明“直线与平面垂直的判定定理”：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 已知：如图，a，b是平面α内的两条相交直线，直线n⊥a，且n⊥b. 求证：n⊥α. 课题探究 作者编号：、32200 例2 证明“直线与平面垂直的判定定理”：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 已知：如图，a，b是平面α内的两条相交直线，直线n⊥a，且n⊥b. 求证：n⊥α. 证明：设m是平面α内的任意一条直线. α n a b m a，b，m，n依次为直线a，b，m，n的方向向量， ∵直线a，b相交，∴向量a，b不共线. 在平面α内，根据平面向量基本定理可知存在唯一的实数对(x，y)使得m=xa+yb， 课题探究 作者编号：、32200 ∴n·m=xn·a+yn·b. ∵n⊥a，且n⊥b， ∴n·a=0，n·b=0， ∴n⊥α. ∴n·m=0，故n⊥m. 例2 证明“直线与平面垂直的判定定理”：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 已知：如图，a，b是平面α内的两条相交直线，直线n⊥a，且n⊥b. 求证：n⊥α. α n a b m 课题探究 作者编号：、32200 例3 如图所示，在正方体 <m></m> 中，求证：平面 <m></m> 平面 <m></m> . 解：以 <m></m> 为坐标原点，分别以 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 所在直线为 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设正方体的棱长为1，则 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， 课题探究 作者编号：、32200 设平面 <m></m> 的一个法向量为 <m></m> ， 则 <m></m> 令 <m></m> ，得 <m></m> ， <m></m> ， ∴平面 <m></m> 的一个法向量为 <m></m> . 设平面 <m></m> 的一个法向量为 <m></m> ， 则 <m></m> 令 <m></m> ，得 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，即 <m></m> ， ∴平面 <m></m> 平面 <m></m> . 作者编号：、32200 1.若平面α，β的法向量分别为a＝(2，－1,0)，b＝(－1，－2，0)，则α与β的位置关系是(　　) A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.无法确定 2.已知直线l1，l2的方向向量分别为a，b，且a＝(λ＋1，0，2)，b＝(6，2μ－1，2λ)，若l1∥l2，则λ与μ的值可以分别是(　　) A.－3， B.－ C.－3，2 D.2，2 B A 当堂检测 作者编号：、32200 3.如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1，若E，F分别为PB，AD的中点，则直线EF与平面PBC的位置关系是 . 垂直 当堂检测 作者编号：、32200 根据今天所学，完成下列表格： 几何关系 向量语言 l∥m l∥α α∥β l⊥m l⊥α α⊥β 设向量l，m分别是直线l，m的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量，则 课后小结 作者编号：、32200 $$