3.2.1-3.2.2 课时2 空间向量的数量积课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

3.2.1-3.2.2 课时2 空间向量的数量积 作者编号：、32200 1.了解空间向量的夹角. 2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法，会求空间向量的数量积. 3.了解投影向量以及投影数量的概念. 学习目标 作者编号：、32200 如何作出两个非零平面向量a和b的夹角?其夹角的取值范围是什么? 在平面任取一点O，作<m></m>，<m>，则<m></m>即向量<m></m>，<m></m>的夹角，其范围是[0，π]</m>. 问题导入 作者编号：、32200 问题1：在空间中两个非零向量a和b的夹角及取值范围与平面向量a，b的夹角及取值范围有什么关系? 完全一致 课题探究 作者编号：、32200 概念讲解 空间向量的夹角 通常规定: . 在此规定下，两个向量的夹角被唯一确定，并且 . 当 时，向量 与 方向相同； 当 ＝____时，向量 与 方向相反； 当 时，称向量 ， 互相_______，记作________. <m></m> 垂直 <m></m> 课题探究 作者编号：、32200 不能，可能a与b垂直 问题2：设a，b，c是任意空间向量，类比平面向量的数量积，回答以下问题. (1)由a·b=0能推出a=0或b=0吗? (2)由a·b=a·c能得到b=c吗? 不能，可能c为零向量 课题探究 作者编号：、32200 概念讲解 1.空间向量数量积的定义 已知两个空间向量 ， ，把_________________叫作 与 的数量积，记作 ，即 . 2.空间向量数量积的性质 ① <m></m> ；② <m></m> ； ③ <m></m> . <m></m> 课题探究 作者编号：、32200 3.空间向量数量积的运算律 (1)交换律：a·b=b·a； (2)分配律：a·(b+c)=a·b+a·c； (3) λa·b=λ(a·b)(λ∈R). 课题探究 作者编号：、32200 例1 如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求值： ①·；②·；③·；④·. 解：①·＝· ＝||||cos 〈，〉 ＝cos 60°＝. ②·＝·＝||2＝. 课题探究 作者编号：、32200 例1 如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求值： ①·；②·；③·；④·. ③·＝·＝－·＝－×cos 60°＝－. ④·＝·(－) ＝·－· ＝||||cos 〈，〉－||||cos 〈，〉 ＝cos 60°－cos 60°＝0. 课题探究 作者编号：、32200 在几何体中求空间向量数量积的步骤： 归纳总结 (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式； (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积； (3)代入a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉求解． 课题探究 作者编号：、32200 操作：类比平面向量中投影向量及投影数量的知识，尝试作出下列两个非零向量a，b的投影向量. 课题探究 作者编号：、32200 概念讲解 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作 过点B作直线OA的垂线，垂足为点B1，称向量 为向量b在向量a方向上的投影向量，其长度等于||b|cos<a，b>|. 课题探究 作者编号：、32200 当<a，b>为锐角时，|b|cos<a，b>＞0，如图(1)； 当<a，b>为钝角时，|b|cos<a，b>＜0，如图(2)； 当<a，b>= 时，|b|cos<a，b>=0，如图(3). 课题探究 作者编号：、32200 若用 <m></m> 表示与向量 <m></m> 同方向的单位向量，则向量 <m></m> 在向量 <m></m> 方向上的投影向量为 <m></m> . 因此，称 <m></m> 为投影向量 <m></m> 的数量，简称为向量 <m></m> 在向量 <m></m> 方 向上的投影数量. 向量b在向量a方向上的投影数量为. 注意：(1)投影数量可正、可负、也可为零，由两非零向量的夹角决定的. (2)投影数量不一定是投影向量的模.当两向量的夹角小于或等于90°时，投影数量才是投影向量的模. 课题探究 作者编号：、32200 解：(1)根据正方体的性质知：A'B⊥CB，A'D⊥CD，A'C'⊥CC'， 例2 如图，已知单位正方体ABCD-A'B'C'D'. （1）指出向量 分别在 方向上的投影向量； （2）求向量 在 方向上的投影数量； （3）求向量 在 方向上的投影数量. ∴向量 分别在 方向上的投影向量 课题探究 作者编号：、32200 例2 如图，已知单位正方体ABCD-A'B'C'D'. （2）求向量 在 方向上的投影数量； （3）求向量 在 方向上的投影数量. ∴向量 在 方向上的投影数量为 ∴向量 在 方向上的投影数量为 课题探究 作者编号：、32200 1.如图，在正四面体中， ，等于( @ 39@ ) A.45° B.60° C.90° D.120° 2.对于空间任意两个非零向量a，b，“a∥b”是“<a，b>=0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 D B 当堂检测 作者编号：、32200 3.(多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题正确的是(　　) A．(a·b)c－(c·a)b＝0 B．|a|＝ C．a2b＝b2a D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2 4.已知向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝6，则2a－b在a方向上的投影数量为 . BD 1 当堂检测 作者编号：、32200 根据今天所学，回答下列问题： 1.空间向量的线性运算和数量积运算分别是怎样的？ 2.什么是空间向量的投影向量和投影数量？ 课后小结 作者编号：、32200 $$