3.2.1-3.2.2 课时1 空间向量的概念及线性运算课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

3.2.1-3.2.2 课时1 空间向量的概念及线性运算 作者编号：、32200 1.了解空间向量的概念，掌握其表示方法. 2.能类比平面向量，给出空间向量的相关概念. 3.理解并掌握空间向量加减、数乘运算及满足的运算律. 学习目标 作者编号：、32200 已知F1=2000N，F2=2000 N，F3=2000 N，这三个力两两之间的夹角都为60度，它们的合力的大小为多少N？ 新课导入 作者编号：、32200 问题1：在物理学中，力是什么量？这三个力共面吗？这三个力在数学上叫什么？ 力是矢量，不共面，这三个力在数学上叫空间向量. 问题2：你能否根据平面向量的定义，试着叙述一下空间向量的定义？ 在空间中，我们把具有大小和方向的量叫作空间向量. 问题3：这两个定义有何区别？本质是否相同？ 区别：平面向量与空间向量的不同之处就在于一个在平面内，一个在空间中.本质相同：空间中的一个向量一定能够平移到平面中，因此，空间中的一个向量既是平面向量也是空间向量. 课题探究 作者编号：、32200 概念生成 1.空间向量 （1）定义：在空间中，我们把具有_______和_______的量叫作空间向量. （2）长度或模：空间向量的_______叫作空间向量的长度或模. （3）表示法： ①用有向线段来表示.例如，以点</m>为起点，点为终点的有向线段可以表示一个向量，记作向量<m></m>，点 <m></m> 叫作向量<m></m>的起点，点<m>叫作向量<m></m>的终点． ②用 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 表示，书写用 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 表示． 表示向量 <m></m> 的有向线段的长度也叫作向量 <m></m> 的长度或模，用 <m></m> 表示． 大小 方向 大小 课题探究 作者编号：、32200 2.几类常见的空间向量 相等向量 方向________且模________的向量 自由向量 与向量的起点________的向量 相反向量 方向________且模________的向量 零向量 模为0的向量，记为0 共线向量 (平行向量) 两条有向线段所在的直线________或________时的两个向量 共面向量 平行于同一平面的向量 相同 相等 无关 相反 相等 平行 重合 课题探究 作者编号：、32200 例1 (多选)下列命题为真命题的是( ) A.若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b B.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有 C.若空间向量m，n，p满足m=n，n=p，则m=p D.空间中，a∥b，b∥c，则a∥c BC 解：A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a与b的方向不一定相同； C为真命题，向量的相等满足传递性； D为假命题，平行向量不一定具有传递性，当b＝0时，a与c不一定平行. B为真命题， 与 的方向相同，模也相等，故 课题探究 作者编号：、32200 思考：空间中的任意两个向量是否共面？为什么？ 共面，任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此空间中向量的加减运算与平面中一致. 课题探究 作者编号：、32200 归纳总结 运算 法则(或几何意义) 运算律 加法 a＋b (1)交换律： a＋b＝__________； (2)结合律： (a＋b)＋c＝________ 减法 a－b a－b＝a＋(－b) b＋a a＋(b＋c) 课题探究 作者编号：、32200 春节期间，某人回家过年，在一个公交站牌A处下车，由西向东步行3站路程，到达另一个公交站牌B，换乘k路车，经过2站路程到达小区门口C，再乘电梯到24楼，即回到家P. 问题1：若由 <m></m> 的每站路程都是向量 <m></m> ， 则 <m></m> 如何用向量 <m></m> 表示？ <m></m> . 问题2：若由 <m></m> 的每站路程都是向量 <m></m> ，则 <m></m> 如何用向量 <m></m> 表示？ <m></m> . 问题3：若每一层的位移用 <m></m> 表示，如何用 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 表示向 <m></m> ？ 类比平面向量的数乘运算，可得 <m></m> . 课题探究 作者编号：、32200 概念生成 定义 与平面向量类似，实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个向量，记作λa.求实数与空间向量的乘积的运算称为空间向量的数乘运算. 几何意义 λ>0 向量λa与向量a的方向____ λa的长度是a的长度的 倍 λ<0 向量λa与向量a的方向____ λ＝0 λa＝0，其方向是 的 运算律 结合律 λ(μa)＝_____ 分配律 (λ＋μ)a＝ ，λ(a＋b)＝ ，其中λ∈R，μ∈R. 相同 相反 任意 |λ| (λμ)a λa＋μa λa＋λb 课题探究 作者编号：、32200 共线向量基本定理：空间两个向量a，b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a=λb.(也称“一维向量基本定理”) 思考交流：任意给定两个不共线的向量a，b，若存在实数x，y，使得向量c＝xa＋yb，则向量c与a，b是否为共面向量？ 共面向量基本定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p=xa+yb. 课题探究 作者编号：、32200 例2 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设AA1＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量： ①；②；③＋． 解：①∵点P是C1D1的中点， ∴＝＋ ＝＋ ＝a＋c＋b， 课题探究 作者编号：、32200 ②∵点N是BC的中点， ∴＝＋＝＋＝－a＋b＋c， ③∵点M是AA1的中点， ∴＝ ＝a＋c＋b＋c＋a ＝a＋b＋c. 课题探究 作者编号：、32200 利用数乘运算进行向量表示的技巧： 归纳总结 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量. (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质. 课题探究 作者编号：、32200 例3 设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝e1＋ke2，＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，求k的值. 解：＝＝(e1＋ke2)＋(5e1＋4e2)＋(e1＋2e2)＝7e1＋(k＋6)e2. 设＝λ，则7e1＋(k＋6)e2＝λ(e1＋ke2)， 所以，解得k＝1. 课题探究 作者编号：、32200 1.若空间向量a与b不相等，则a与b一定(　　) A.有不同的方向 B.有不相等的模 C.不可能是平行向量 D.不可能都是零向量 2.在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，下列四对向量： ①与；②与；③与；④与． 其中互为相反向量的有n对，则n等于(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 D B 当堂检测 作者编号：、32200 3.(多选)如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是(　　) A.－－　 B.＋－ C.－－ D.－ AB 当堂检测 作者编号：、32200 通过本节课的学习你了解到有关空间向量的什么知识？ 课后小结 作者编号：、32200 $$