2.2.2课时1 双曲线的简单性质课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

2.2.2 课时1 双曲线的简单性质 作者编号：、32200 1.理解并掌握双曲线范围、对称性和顶点的几何性质. 2.能利用双曲线的简单性质求标准方程. 学习目标 作者编号：、32200 标准方程 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称 (±a,0)、(0,±b) (±c,0) (±b,0)、(0,±a) (0 ,±c) -a ≤ x≤ a, - b≤ y≤ b -a ≤ y ≤ a, - b≤ x ≤ b 长半轴长为a,短半轴长为b.(a＞b) 知识回顾 作者编号：、32200 类比椭圆的几何性质，结合图象，思考以下问题: (1)从图象上可以看出双曲线是向两端无限延伸的，那么它是否与椭圆一样有范围限制? 有限制，对于双曲线 <m></m> ，因为 <m></m> ，即x2≥a2，所以x≥a或x≤-a. 同理对于双曲线 <m></m> ，因为</m> ，即y2≥a2，所以y≥a或y≤-a. 课题探究 作者编号：、32200 (2)观察双曲线，它是不是轴对称图形?对称轴是哪条直线?是不是中心对称图形?对称中心是哪个点? 关于x轴、y轴和原点都是对称的，x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫作双曲线的中心. (3)双曲线的顶点就是双曲线与坐标轴的交点，这种说法对吗?为什么? 不对，双曲线的顶点是双曲线与其对称轴的交点，只有在标准形式下，坐标轴才是双曲线的对称轴，此时双曲线与坐标轴的交点是双曲线的顶点. 课题探究 作者编号：、32200 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长为2a，a叫做实半轴长； 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长为2b，b叫做双曲线的虚半轴长. F1 F2 x O y A1 A2 B1 B2 实轴 虚轴 课题探究 作者编号：、32200 归纳总结 方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0) 焦点 顶点 范围 对称性 虚实轴 F1(-c，0)，F2(c，0) A1(-a，0)，A2(a，0) x≤-a或x≥a y≤-a或y≥a 中心：原点；对称轴：x轴、y轴 实轴长：2a；虚轴长：2b F1(0，-c)，F2(0，c) A1(0，-a)，A2(0，a) 课题探究 作者编号：、32200 例1 求双曲线的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长. 解：将 <m></m> 化为标准方程，得 <m></m> ， 即 <m></m> ， 所以 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> . 故顶点坐标为 <m></m> ， <m></m> ， 焦点坐标为 <m></m> ， <m></m> ， 实轴长为 <m></m> ，虚轴长为 <m></m> . 课题探究 作者编号：、32200 归纳总结 由双曲线的方程研究其几何性质的解题步骤： （2）由标准方程确定焦点位置，确定 <m></m> ， <m></m> 的值. （1）把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键. （3）由 <m></m> 求出 <m></m> 的值，从而写出双曲线的几何性质. 课题探究 作者编号：、32200 例2 如图，火力发电厂的冷却塔的外形是由双曲线绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面.已知塔的总高度为150m，塔顶直径为70m，塔的最小直径(喉部直径)为67m，喉部标高(标高是地面或建筑物上的一点和作为基准的水平面之间的垂直距离)为112.5m，求双曲线的标准方程(结果精确到0.01)，并画出该双曲线. 解：画出冷却塔的轴截面，如图. 课题探究 作者编号：、32200 为了得到双曲线的标准方程，以最小直径处所在直线为x轴，最小直径的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则点A的坐标为(33.5，0). 可设双曲线方程为 则a=33.5 . 由已知可得点C的坐标为(35，37.5)，代入双曲线的标准方程有 ∴b2≈15359.26 . ∴所求双曲线的标准方程为 课题探究 作者编号：、32200 归纳总结 解决和双曲线有关的实际问题的思路： (2)确定双曲线的位置及要素，并利用双曲线的方程或几何性质求出数学问题的解. (1)通过数学抽象，找出实际问题中涉及的双曲线，将原问题转化为数学问题. 课题探究 作者编号：、32200 1.双曲线 的顶点坐标是( @41@ ) A. ， B. ， C. ， D. ， 2.双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于(　　) A．－ B．－4 C．4 D． B A 当堂检测 作者编号：、32200 3.实轴长为2，虚轴长为4的双曲线的标准方程是(　　) A．x2－＝1 B．y2－＝1 C．＝1或＝1 D．x2－＝1或y2－＝1 D 当堂检测 作者编号：、32200 方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0) 焦点 顶点 范围 对称性 虚实轴 F1(-c，0)，F2(c，0) A1(-a，0)，A2(a，0) x≤-a或x≥a y≤-a或y≥a 中心：原点；对称轴：x轴、y轴 实轴长：2a；虚轴长：2b F1(0，-c)，F2(0，c) A1(0，-a)，A2(0，a) 课后小结 作者编号：、32200 $$