2025年中考数学二次函数压轴题专题练习03线段问题

专题03 线段问题 一、横竖线段 1.横线段 ∵AB//x轴 ∴AB=|xA-xB| 2.竖线段 ∵AB//y轴 ∴AB=|yA-yB| 二、斜线段（化斜为直） 1.勾股转化： 2.特殊角转化： ∵∠OBC=45° ∴ 3.相似三角形转化： ∵DF∥OC， ∴△DEP∽△OEC， ∴ 一、横竖线段 例1．（2024秋•绥中县期中）如图，二次函数y＝x2﹣4x的图象与x轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点B（1，﹣3），与y轴交于点C． （1）求直线AB的函数表达式及点C的坐标； （2）点P是第四象限内二次函数图象上的一个动点，过点P作直线PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为m．当时，求m的值． 【解答】解：（1）对于y＝x2﹣4x，当y＝0时，﹣x2+4x＝0， 解得x1＝0，x2＝4． 则点A的坐标为：（4，0）， 由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝x﹣4， 则点C（0，﹣4）； （2）由题意可知：点P，D的坐标分别为 P（m，m2﹣4m），D（m，m﹣4）， ∵点C的坐标为（0，4）， 则OC＝4， 则PD＝CO＝2， 即|m2﹣4m﹣m+4|＝2， 解得：m＝或2或3（不合题意的值已舍去）． 对应练习： 1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线y＝﹣x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是第一象限内抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2）写出线段CE的长（用含有m的代数式表示）； （3）若PE＝5EF，求m的值； 【解答】解：（1）抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣5），即y＝﹣x2+4x+5； （2）当x＝0时，y＝﹣x+3＝3，则C（0，3）， 当y＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝4，则D（4，0）， 所以CD＝＝5， 设P（m，﹣m2+4m+5），则E（m，﹣m+3），F（m，0）， ∵EF∥OC， ∴CE：OF＝CD：OD，即CE：m＝5：4， ∴CE＝m（0＜m＜5）； （3）存在． PE＝﹣m2+4m+5﹣（﹣m+3）＝﹣m2+m+2，EF＝|﹣m+3|， ∵PE＝5EF， ∴﹣m2+m+2＝5|﹣m+3|， 当﹣m2+m+2＝5（﹣m+3），解得m1＝6.5（舍去），m2＝2， 当﹣m2+m+2＝﹣5（﹣m+3），解得m1＝（舍去），m2＝， 综上所述，m的值为2或； 2．（2024•咸丰县模拟）综合与探究 如图，抛物线y＝x2﹣3x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接BC．若点P在线段BC上运动（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F．设点P的横坐标为m． （1）求点A，B，C的坐标，并直接写出直线BC的函数解析式． （2）若PF＝2PE，求m的值． 【解答】解：（1）当y＝0时，x2﹣3x﹣4＝0， 解得x＝4或x＝﹣1， ∴A（﹣1，0），B（4，0）， 当x＝0时，y＝﹣4， ∴C（0，﹣4）， 设直线BC的解析式为y＝kx﹣4， 将点B代入可得4k﹣4＝0， 解得k＝1， ∴直线BC的解析式为y＝x﹣4； （2）∵点P的横坐标为m， ∴P（m，m﹣4），则E（m，m2﹣3m﹣4），F（m，0）， ∴PF＝4﹣m，PE＝﹣m2+4m， ∵PF＝2PE， ∴4﹣m＝2（﹣m2+4m）， 解得m＝4（舍）或m＝； 3．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P是抛物线在第四象限上一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作x轴的垂线，交x轴于点E，交BC于点F （1）用含m的代数式表示线段PF的长度，并求出其最大值； （2）若EF：FP＝2：3，求点P的坐标． 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）； 当y＝0时，有x2﹣2x﹣3＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）． 设直线BC的解析式为y＝kx+b， ∴，解得：， ∴直线BC的解析式为y＝x﹣3． ∵点P的横坐标为m， ∴P（m，m2﹣2m﹣3）． 当x＝m时，y＝m﹣3（0＜m＜3）， ∴F（m，m﹣3）． ∴PF＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m． ∵PF＝﹣m2+3m＝﹣+，﹣1＜0， ∴PF＝﹣m2+3m（0＜m＜3），当m＝时，PF取最大值． （2）∵F（m，m﹣3），FE⊥x轴， ∴EF＝﹣（m﹣3）＝3﹣m， ∵＝＝， ∴m＝， 此时点P的坐标为（，﹣）． 4．（2024秋•西岗区校级月考）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3），连接BC． （1）求该二次函数和直线BC的解析式； （2）点P是抛物线在第四象限图象上的任意一点，作PQ⊥x轴于点Q，交BC于点H，当PH的长度最大时，求点P的坐标； 【解答】解：（1）把（﹣1，0）和（0，﹣3）代入得： ， 解得， ∴二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣3， 当y＝0，即x2﹣x﹣3＝0； 解得：x1＝﹣1，x2＝6， ∴点B的坐标为（6，0）， 设直线BC的解析式为y＝mx+n，代入得： ， 解得， ∴直线BC的解析式为y＝﹣3； （2）由（1）知直线BC的解析式为y＝﹣3； 设P（m，m2﹣m﹣3）， ∵PQ⊥x轴于点Q，交BC于点H， ∴H（m，m﹣3）， ∴PH＝m﹣3﹣m2+m+3＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣3）2+， ∵＜0， ∴当m＝3时，PH的长度最大， ∴P（3，﹣6）； 例2．（2024•重庆模拟）如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0），点B（1，0）交y轴于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，连接AC，BC，点P为线段AC下方抛物线上一动点，过点P作PQ∥y轴交AC于点Q，过点Q作QH∥x轴交BC于点H，求的最大值以及点P的坐标； 【考点】二次函数综合题．版权所有 【专题】代数几何综合题；压轴题；二次函数图象及其性质；等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识． 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）利用待定系数法分别求得：直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，直线BC的解析式为y＝3x﹣3，设P（t，t2+2t﹣3），则Q（t，﹣t﹣3），H（﹣t，﹣t﹣3），进而可得PQ+QH＝﹣（t+2）2+4，运用二次函数的性质即可求得答案； （3）将二次函数沿射线AC平移一定的单位长度，相当于向右平移m个单位，向下平移m个单位，可设新抛物线的解析式为y＝（x+1﹣m）2﹣4﹣m，将点（1，﹣4）代入求得m＝1或4，当m＝1时，新抛物线的解析式为y＝x2﹣5，则C′（1，﹣4），在x轴上取点L（﹣1，0），连接C′L交新抛物线于点G，过点L作LJ⊥AC于J，则∠AC'G＝∠OCB，运用待定系数法求得直线C′L的解析式为y＝﹣2x﹣2，联立即可求得点G的横坐标；在y轴上取点S（0，﹣），连接C′S交新抛物线于点G，过点S作ST⊥AC于点T，则∠AC'G＝∠OCB，运用待定系数法求得直线C′S的解析式，同理可得点G的横坐标；当m＝4时，同理可求得点G的横坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0），点B（1，0）， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3； （2）∵抛物线y＝x2+2x﹣3交y轴于点C， ∴C（0，﹣3）， 设直线AC的解析式为y＝kx+d，将A（﹣3，0），C（0，﹣3）分别代入得：， 解得：， ∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3， 同理可得：直线BC的解析式为y＝3x﹣3， 设P（t，t2+2t﹣3），则Q（t，﹣t﹣3）， ∴PQ＝﹣t﹣3﹣（t2+2t﹣3）＝﹣t2﹣3t， ∵QH∥x轴， ∴点H的纵坐标为﹣t﹣3，代入y＝3x﹣3， 得﹣t﹣3＝3x﹣3， 解得：x＝﹣t， ∴H（﹣t，﹣t﹣3）， ∴QH＝﹣t﹣t＝﹣t， ∴PQ+QH＝﹣t2﹣3t+×（﹣t）＝﹣t2﹣4t＝﹣（t+2）2+4， ∵﹣1＜0， ∴当t＝﹣2时，PQ+QH取得最大值4，此时，点P的坐标为（﹣2，﹣3）； 对应练习： 1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为（﹣1，0），点B坐标为（3，0）． （1）求此抛物线的函数解析式． （2）点P是直线BC上方抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D，过点P作y轴的垂线，垂足为点E，请探究2PD+PE是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时P点的坐标；若没有最大值，请说明理由． 【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为 （﹣1，0），点B坐标为（3，0）， ∴． （2）当x＝0时，， ∴C（0，2）， 设直线BC为y＝kx+2， ∴3k+2＝0， 解得， ∴直线BC为， 设， ∴， ∴2PD+PE＝＝， 当时，有最大值， 此时． 二、斜线段 例3．（2024•江汉区校级模拟）已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且AB＝8． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点D为抛物线在第四象限的一点，连AD交线段BC于点E，且AE＝6ED，求点D的坐标； 【解答】（1）解：令y＝（x﹣1）2﹣m＝0， 化简得：（x﹣1）2＝m2， 解得：x1＝1﹣m，x2＝1+m， ∴A（1﹣m，0），B（1+m，0）， ∴AB＝（1+m）﹣（1﹣m）＝2m＝8， 解得：m＝4， ∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣x﹣， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣； （2）解：如图1，过点D作DF∥x轴交直线BC于点F， 在y＝x2﹣x﹣中，令x＝0，得y＝﹣， ∴C（0，﹣）， 令y＝0，得x2﹣x﹣＝0， 解得：x1＝﹣3，x2＝5， ∴A（﹣3，0），B（5，0）， ∴AB＝5﹣（﹣3）＝8， 设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B、C的坐标代入得： ， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝x﹣， 设D（t，t2﹣t﹣）， ∵DF∥x轴， ∴点F的纵坐标为t2﹣t﹣， 则t2﹣t﹣＝x﹣， 解得：x＝t2﹣t， ∴F（t2﹣t，t2﹣t﹣）， ∴DF＝t﹣（t2﹣t）＝﹣t2+t， ∵DF∥AB，AE＝6ED， ∴△DEF∽△AEB， ∴＝＝， ∴DF＝AB， 即﹣t2+t＝×8， 解得：t1＝1，t2＝4， 当t＝1时，t2﹣t﹣＝﹣﹣＝﹣4， 当t＝4时，t2﹣t﹣＝×42﹣×4﹣＝﹣， ∴点D的坐标为（1，﹣4）或（4，﹣）； 对应练习： 1．（2024•绥化三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B两点，顶点坐标为（1，﹣4）． （1）求二次函数的解析式； （2）直线BC与OD相交于点E，当D为抛物线上第四象限内一点且时，求点D的坐标； 【解答】解：（1）把A（﹣1，0），（1，﹣4）代入y＝ax2+bx﹣3， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）如图，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，交CB于点P， 当y＝x2﹣2x﹣3＝0时， 解得x1＝3，x2＝﹣1， ∴B（3，0）， 当x＝0时，得y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， 设直线BC解析式为y＝mx+n， 代入B（3，0），C（0，﹣3）， 得， 解得， ∴直线BC解析式为y＝x﹣3， 设D（t，t2﹣2t﹣3），则P（t，t﹣3）， ∴DP＝t﹣3﹣t2+2t+3＝﹣t2+3t， ∵DF∥OC， ∴△DEP∽△OEC， ∴， ∴， 解得t＝1或t＝2， ∴D（1，﹣4）或（2，﹣3）； 2．（2024•达州模拟）如图，抛物线（m为常数）与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），OA＝1，经过点A的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，点D的坐标为． （1）求抛物线和一次函数的解析式； （2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标； （3）若点P为x轴上任意一点；在（2）的结论下，当的值最小时，请直接写出点P的坐标和此时的最小值． 【解答】解：（1）∵OA＝1， ∴A（﹣1，0） ∵抛物线和一次函数y＝kx+b的图象都经过点A、D ∴，， 解得：，， ∴抛物线解析式为：，一次函数解析式为：， （2）如图1，过E作EM⊥x轴，交x轴于点F，交AD于点M， 设，则， ∴， AF＝a+1， ∴S△ACE＝S△AME﹣S△MCE ＝ ＝ ＝， ＝ ＝， ∴当时，△ACE面积最大，最大值为， 此时，即点； （3）如图2，过E作EM⊥x轴，交x轴于点F，交AD于点M，过P作PG⊥AD于点G， 由（2）可知：， ∴， ∴， 由得：当x＝0时，， ∴， 则有， 在Rt△AOC中，由勾股定理得：， ∴， ∴在Rt△AGP中，， 则当点G，P，E三点共线时有最小值GE， 由（1）得：A（﹣1，0）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∵， ∴， ∵∠EFP＝∠EGM＝90°，∠FEP＝∠GEM， ∴△EFP∽△EGM， ∴， ∴， ∴， ∴点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 线段问题 一、横竖线段 1.横线段 ∵AB//x轴 ∴AB=|xA-xB| 2.竖线段 ∵AB//y轴 ∴AB=|yA-yB| 二、斜线段（化斜为直） 1.勾股转化： 2.特殊角转化： ∵∠OBC=45° ∴ 3.相似三角形转化： ∵DF∥OC， ∴△DEP∽△OEC， ∴ 一、横竖线段 例1．（2024秋•绥中县期中）如图，二次函数y＝x2﹣4x的图象与x轴的正半轴 交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点B（1，﹣3），与y轴交于点C． （1）求直线AB的函数表达式及点C的坐标； （2）点P是第四象限内二次函数图象上的一个动点，过点P作直线PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为m．当时，求m的值． 对应练习： 1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线y＝﹣x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是第一象限内抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2）写出线段CE的长（用含有m的代数式表示）； （3）若PE＝5EF，求m的值； 2．（2024•咸丰县模拟）综合与探究 如图，抛物线y＝x2﹣3x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接BC．若点P在线段BC上运动（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F．设点P的横坐标为m． （1）求点A，B，C的坐标，并直接写出直线BC的函数解析式． （2）若PF＝2PE，求m的值． 3．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P是抛物线在第四象限上一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作x轴的垂线，交x轴于点E，交BC于点F （1）用含m的代数式表示线段PF的长度，并求出其最大值； （2）若EF：FP＝2：3，求点P的坐标． 4．（2024秋•西岗区校级月考）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3），连接BC． （1）求该二次函数和直线BC的解析式； （2）点P是抛物线在第四象限图象上的任意一点，作PQ⊥x轴于点Q，交BC于点H，当PH的长度最大时，求点P的坐标； 例2．（2024•重庆模拟）如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0），点B（1，0）交y轴于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，连接AC，BC，点P为线段AC下方抛物线上一动点，过点P作PQ∥y轴交AC于点Q，过点Q作QH∥x轴交BC于点H，求的最大值以及点P的坐标； 对应练习： 1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为（﹣1，0），点B坐标为（3，0）． （1）求此抛物线的函数解析式． （2）点P是直线BC上方抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D，过点P作y轴的垂线，垂足为点E，请探究2PD+PE是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时P点的坐标；若没有最大值，请说明理由． 二、斜线段 例3．（2024•江汉区校级模拟）已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且AB＝8． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点D为抛物线在第四象限的一点，连AD交线段BC于点E，且AE＝6ED，求点D的坐标； 对应练习： 1．（2024•绥化三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B两点，顶点坐标为（1，﹣4）． （1）求二次函数的解析式； （2）直线BC与OD相交于点E，当D为抛物线上第四象限内一点且时，求点D的坐标； 2．（2024•达州模拟）如图，抛物线（m为常数）与x轴交于点A， B（点A在点B的左侧），OA＝1，经过点A的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象 与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，点D的坐标为． （1）求抛物线和一次函数的解析式； （2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标； （3）若点P为x轴上任意一点；在（2）的结论下，当的值最小时，请直接写出点P的坐标和此时的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$