精品解析：福建省 厦门市松柏中学2024-2025学年九年级上学期数学期中 试卷

2024-2025学年上学期九年级数学期中试卷 （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题（本大题有10小题，每题4分，共40分） 1. 下列各曲线是在平面直角坐标系中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，“如果一个图形绕某点旋转，和自身能够完全重合，那么这个图形叫中心对称图形”，据此即可求解． 【详解】解：各曲线是在平面直角坐标系中根据不同的方程绘制而成的，是中心对称图形的是 故选：C． 2. 点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故选D． 【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标，解题的关键是记住“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”． 3. 已知的半径为3，点P在内，则的长可能是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，熟练掌握点在圆内时，点到圆心的距离与半径的大小关系是解题关键． 【详解】解：∵的半径为3，点P在内， ∴， ∵选项中只有， ∴的长可能是2， 故选：D． 4. 如图所示，在⊙O中，=，∠A=30°，则∠B=（ ） A. 150° B. 75° C. 60° D. 15° 【答案】B 【解析】 【详解】∵在⊙O中，=， ∴AB=AC， ∴△ABC是等腰三角形， ∴∠B=∠C；又∠A=30°， ∴∠B==75°（三角形内角和定理）． 故选B． 考点：圆心角、弧、弦的关系． 5. 顺次连接圆内两条相交直径的个端点，围成的四边形一定是（ ） A. 一般平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，矩形的判定定理，根据圆周角定理可得四边形四个角都是直角，然后根据矩形的判定方法即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵是直径， ∴， ∴四边形是矩形， ∴顺次连接圆内两条相交直径的个端点，围成的四边形一定是矩形， 故选：． 6. 如图，在中，，圆心在上，与相切，为切点．则的（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理等知识点，掌握圆的切线的性质是解题的关键． 如图：连接，由圆周角定理可得，再根据切线的性质可得，最后根据直角三角形两锐角互余即可解答． 【详解】解：如图：连接，则， ∴， ∴， ∵与相切，为切点， ∴, ∴． 故选C． 7. 如图，四边形ABCD内接于，如果它的一个外角∠DCE=63°，那么∠BOD的度数为（ ） A. 63° B. 126° C. 116° D. 117° 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理解答即可． 【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠DCE=63°， ∴∠A=∠DCE=63°， 由圆周角定理，得∠BOD=2∠A=126°， 故选：B． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 8. 用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”时，首先应该假设（ ） A. 三角形中至少有一个内角大于 B. 三角形中每个内角都大于 C. 三角形中每个内角都大于或等于 D. 三角形中每一个内角都小于或等于 【答案】B 【解析】 【分析】熟记反证法的步骤，然后进行判断即可． 【详解】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时， 应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即每一个内角都大于60°． 故选：B． 【点睛】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 9. 已知关于x的方程的一个根是2，且二次函数的对称轴是直线，则这条抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由二次函数的对称轴是直线，得出顶点横坐标为2，代入函数解析式得出纵坐标，由此求得顶点坐标即可． 【详解】解：二次函数的对称轴是直线，方程的一个根是2， 当时，， 抛物线的顶点坐标是． 故选C． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，掌握顶点坐标的计算方法是解决问题的关键． 10. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是边AC上一动点，连接BD，以CD为直径的圆交BD于点E．若AB长为4，则线段AE长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，取BC的中点F，连接EF，CE，AF．解直角三角形可以求出AC和BC的长度，以及AF，EF的长度，因为AE≥AF-EF，可以得出AE的最小值． 【详解】如图所示，取BC的中点F，连接EF，CE，AF． ∵∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4 ∴AC＝BC＝ ∵F是BC的中点 ∴CF＝ ∴AF＝ ∵CD是直径 ∴∠CED＝∠CEB ＝90° ∴△CEB是直角三角形 ∵F是BC的中点 ∴ ∵AE≥AF-EF= 故选D． 【点睛】此题考查了圆与三角形结合的综合性问题，考查了线段的最值问题，找到取BC的中点F，得出AE≥AF-EF是本题的关键． 二、填空题（本大题有6小题，每题4分，共24分） 11. 请你给出一个c值，_____，使方程无实数根． 【答案】5（答案不唯一，大于即可） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根据方程的根的判别式，确定范围，取值即可． 【详解】∵方程没有实数根，且， ∴， ∴， 解得． 故， 故答案为：5． 12. 抛物线向下平移1个单位的解析式是_______________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，解题的关键是根据“上加下减”的原则进行解答． 【详解】解：将抛物线向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为：． 故答案为：． 13. 二次函数的最小值为___________． 【答案】1． 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，即可得到函数的最小值. 【详解】解：在二次函数中， ∵， ∴当时，函数有最小值； 故答案为：. 【点睛】本题考查了二次函数的最值，解题的关键是掌握二次函数的性质，正确求出函数的最小值. 14. 如图，在半径为10cm的⊙O中，圆心O到弦AB的距离OC为6cm，则弦AB的长为_____________cm． 【答案】16 【解析】 【分析】连接半径OA，构造直角三角形，利用勾股定理求出AC的长； 【详解】连接OA、OB， ∵OC⊥AB于C，AB为⊙O的弦， ∴∠ACO=90°，AC=BC= ， 又∵OA=10cm，OC=6cm， ∴AC=cm ∴AB=16cm 故答案为：16 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，正确添加辅助线构造直角三角形，熟练掌握垂径定理的内容是解题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，顶点的横、纵坐标都是整数．若将以某点为旋转中心，顺时针旋转得到，其中、、分别和、、对应，则旋转中心的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形的旋转变化，求一次函数解析式，连接，作线段的垂直平分线，垂足为点，交轴于点，可知点为旋转中心，利用待定系数法求出段的垂直平分线的解析式即可求解，解题关键是理解旋转中心是对应点连线垂直平分线的交点． 【详解】解：如图，连接，作线段的垂直平分线，垂足为点，交轴于点， ∵点关于轴对称， ∴点为旋转中心， ∵，， ∴， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， 设线段的垂直平分线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴线段的垂直平分线的解析式为， 当，， ∴点的坐标为， 即旋转中心的坐标是， 故答案为：． 16. 古代数学家阿基米德曾经提出一个定理：一个圆中一条由两条长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．如图（1），弦，是的一条折弦，点是的中点，过点作于，则．根据这个定理解决问题： 如图（2），边长为的等边内接于，点为优弧上的一点．，则的周长是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】过点Q作于T，在上截取，连接，，先求出，得到等腰直角，利用勾股定理求得，再证明，得，从而利用等腰三角形三线合一性质得出，即可得出，则，即可由三角形周长公式求解． 【详解】解：如图，过点Q作于T，在上截取，连接，， ∵等边 ∴，， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， 由题意可得：，， 在和中， ， ， ， ， ， ∴ ∴ ∴的周长， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形判定和性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，合理添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 计算： （1）解方程：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，一元一次不等式组的解法，理解解法是解答关键． （1）先用根的判别式判别是否有根，再利用求根公式法求解； （2）分别求出两个不等式的解集，再确定出不等式组的解集即可求解． 【小问1详解】 解：在中 ，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ，． 【小问2详解】 解：在中 由得， 将去分母得 ， 去括号得 ， 移项并合并同类项得 ， 解得， 所以不等式组的解集为：． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的运算，先根据分式的混合运算法则进行化简，再代入求值计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 19. 如图，在菱形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且CE＝CF， 求证：∠BAE＝∠DAF． 【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D， ∵CE＝CF， ∴BC－CE＝CD－CF， ∴BE＝DF， ∴△ABE≌△ADF（SAS）， ∴∠BAE＝∠DAF． 【解析】 【分析】只需要证明△ABE≌△ADF，即可得到答案. 【详解】略 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 20. 已知关于的一元二次方程．其中、是常数． （1）若，试判断该一元二次方程根的情况； （2）若该一元二次方程有两个相等的实数根，且在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点在直线上，求的值． 【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2） 【解析】 【分析】（1）进行判别式的值得到△=m2-4×2n，把m=n+3代入后变形得到△=(n-1)2+8，则利用非负数的性质可判断△＞0，从而根据判别式的意义得到方程根的情况； （2）利用判别式的意义得到m2-8n=0，再利用关于原点对称的点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征得到-n=-m+2，即n=m-2，消去n得到m2-8(m-2)=0，然后解关于m的方程即可． 【详解】解：（1）∵m=n+3，且，，， ∴ =m2-4×2n =(n+3)2-8n =n2-2n+9 =(n-1)2+8， 而(n-1)2≥0， ∴(n-1)2+8＞0，即△＞0， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根； （2）根据题意得△=m2-4×2n=0， ∵点（m，n）关于原点的对称点为（-m，-n），且在直线上， ∴-n=-m+2，即n=m-2， 把n=m-2代入m2-8n=0得m2-8(m-2)=0， 整理得m2-8m+16=0，即， 解得m1=m2=4， 即m的值为4． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 21. 电商时代使得网购更加便捷和普及．小张响应国家号召，自主创业，开了家淘宝店．他购进一种成本为100元/件的新商品，在试销中发现：销售单价x（元）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若某天小张销售该产品获得的利润为1200元，求销售单价x的值． 【答案】（1）y=−x+180；（2）120元或160元； 【解析】 【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k≠0），根据所给函数图象列出关于k、b的关系式，求出k、b的值即可； （2）根据题意列出方程，解方程即可． 【详解】(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)， 由所给函数图象可知： ， 解得： 故y与x的函数关系式为y=−x+180； (2)由题意得：(−x+180)(x−100)=1200， 解得：x=120，或x=160. 答：若某天该网店店主销售该产品获得的利润为1200元，则销售单价为120元或160元. 【点睛】此题考查一元二次方程的应用，一次函数的应用，解题关键在于列出方程 22. 如图，在中，，点D为边上一点． （1）尺规作图：在边上找一点E，使得． （2）在（1）的条件下以点E为圆心，为半径的圆分别与，交于M，N点，且．求证：与相切． 【答案】（1） 解：如图，连接，作的垂直平分，交于点E，点E即为所求； （2） 证明：如图，连接，， 由的作图可知：垂直平分， ∴， ∴， ∵是半径， ∴也是的半径， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵也是的半径， ∴与相切． 【解析】 【分析】（1）由，，可知，进而可知点在线段的垂直平分线上，因此线段的垂直平分线与的交点即为点； （2）连接，由垂直平分，可得，利用圆周角定理可得， 结合可得，进而依次推出，，即可证明与相切． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查作图—复杂作图，圆周角定理，切线的判定等．解第一问的关键是作出的垂直平分线，解第二问的关键是设法证明． 23. 如图，在△ABC中，，，延长CB，并将射线CB绕点C逆时针旋转90°得到射线l，D为射线l上一动点，点E在线段CB的延长线上，且，连接DE，过点A作于M． （1）依题意补全图1，并用等式表示线段DM与ME之间的数量关系，并证明； （2）取BE的中点N，连接AN，添加一个条件：CD的长为_______，使得成立，并证明． 【答案】 （1）补全图形如下图， DM与ME之间的数量关系为DM=ME． 证明：连接AE，AD， ∵ ∠BAC=90°，AB=AC， ∴ ∠ABC=∠ACB=45°． ∴ ∠ABE=180°-∠ABC=135°． ∵ 由旋转，∠BCD=90°， ∴ ∠ACD=∠ACB+∠BCD=135°． ∴ ∠ABE=∠ACD． ∵ AB=AC，BE=CD， ∴ △ABE ≌ △ACD． ∴ AE=AD． ∵ AM⊥DE于M， ∴ DM=EM． （2） 证明：连接AD，AE，BM． ∵ AB=AC=1，∠BAC=90°， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ 由（1）得DM=EM， ∴ BM是△CDE的中位线． ∴ ，BM∥CD． ∴ ∠EBM=∠ECD=90°． ∵ ∠ABE=135°， ∴ ∠ABM=135°=∠ABE． ∵ N为BE中点， ∴ ． ∴ BM=BN． ∵ AB=AB， ∴ △ABN ≌ △ABM． ∴ AN=AM． ∵ 由（1），△ABE ≌ △ACD， ∴ ∠EAB=∠DAC，AD=AE． ∵ ∠BAC=∠DAC+∠DAB=90°， ∴ ∠EAD=90°． ∵ DM=EM， ∴ ． ∴ ． 【解析】 【分析】（1）补全图形，连接AE、AD，通过∠ABE=∠ACD，AB=AC，BE=CD，证明 △ABE ≌ △ACD，得AE=AD，再利用AM⊥DE于M，即可得到DM=EM． （2）连接AD，AE，BM ，可求出，当时，可得，由（1）得DM=EM，可知BM是△CDE的中位线从而得到，BM∥CD，得到∠ABM=135°=∠ABE．因为N为BE中点，可知从而证明△ABN ≌ △ABM得到AN=AM，由（1），△ABE ≌ △ACD，可证明∠EAB=∠DAC，AD=AE进而得到∠EAD=90°，又因为DM=EM，即可得到． 【详解】 （1）略； （2）略． 【点睛】本题考查了旋转的性质和三角形全等的判定及性质，熟练掌握三角形全等的判定及性质是解题的关键． 24. 某个农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的．其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有根支架，，相关数据如图所示，其中支架，，这个大棚用了根支架． 为增加棚内空间，农场决定将图中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化，如图所示，调整后与上升相同的高度，增加的支架单价为元/米（接口忽略不计），需要增加经费元． （1）分别以和所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系． ①求出改造前的函数解析式． ②当米，求的长度． （2）只考虑经费情况下，求出的最大值． 【答案】（1）①；②米 （2）米 【解析】 【分析】（1）①设改造前的函数解析式为，根据所建立的平面直角坐标系得到，，，然后代入解析式得到关于、、的方程组，求解即可； ②根据已知条件得到函数的解析式，再利用函数解析式得到、的坐标即可得到结论； （2）根据已知条件表示出、的坐标得到的不等式，进而得到的最大值． 【小问1详解】 解：①如图，以为原点，分别以和所在的直线为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意可知：，，， 设改造前的抛物线解析式为， ∴， 解得：， ∴改造前的抛物线的函数表达式为； ②如图，建立与（1）相同的平面直角坐标系， 由①知改造前抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线， 设改造后抛物线解析式为：， ∵调整后与上升相同的高度，且， ∴对称轴为直线，则有， 当时，， ∴， ∴，， ∴改造后抛物线解析式为：， 当时， 改造前：， 改造后：， ∴（米）， ∴的长度为米； 【小问2详解】 如（2）题图，设改造后抛物线解析式为， ∵当时，， 当时，， ∴，， ∴， 由题意可列不等式：， 解得：， ∵， 要使最大，需最小， ∴当时，的值最大，最大值为米． 【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的对称轴，二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用等知识点．掌握二次函数的性质及是一元一次不等式的应用解题的关键． 25. 定义：有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做“准平行四边形”，例如：凸四边形ABCD中，若∠A＝∠C，∠B≠∠D，则称四边形ABCD为准平行四边形． （1）如图（1）A、P、B、C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，延长BP到Q，使AQ＝AP．已知∠QAC≠∠QBC，求证：四边形AQBC是准平行四边形； （2）如图（2），准平行四边形ABCD内接于⊙O，AB≠AD，BC＝DC，若⊙O的半径为5，AB＝6，求四边形ABCD的面积； （3）如图（3），在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，若四边形ABCD是准平行四边形，且∠BCD≠∠BAD，求BD长的最大值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∵四边形APBC是圆的内接四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴四边形AQBC是准平行四边形； （2）49 （3）2+2 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用等边三角形的判定定理可得是等边三角形，可得，由，可证四边形AQBC是准平行四边形； （2）连接BD，由准平行四边形的性质可得，，得出BD是直径，利用勾股定理可得，，结合图形，四边形ABCD的面积为与的面积和，求解即可得； （3）根据题意作，然后作的外接圆⊙O，过点O作OE⊥AC于E，OF⊥BC延长线于F，利用三角形内角和定理及锐角三角函数解三角形可得，，根据四边形ABCD是准平行四边形，得出，由等边对等角及三线合一性质可得，，利用锐角三角函数可得，，由矩形的判定可得四边形CFOE是矩形，，利用勾股定理得出，结合图形可得：当点D在BO的延长线时，BD的长有最大值，求解即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示：连接BD， ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴，， ∵AC不是直径， ∴， ∵四边形ABCD是准平行四边形， ∴，， ∴， ∴BD是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形ABCD的面积为： ， ； ， ， ∴四边形ABCD的面积为49； 【小问3详解】 如图所示：根据题意作，然后作的外接圆⊙O，过点O作OE⊥AC于E，OF⊥BC交BC延长线于F， ∵，，， ∴，， ∵四边形ABCD是准平行四边形，且， ∴， ∴，且，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴四边形CFOE是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵当点D在BO的延长线时，BD的长有最大值， ∴BD长的最大值为：． 【点睛】题目主要考查圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直径所对的圆周角为直角，利用勾股定理，锐角三角函数解三角形，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上学期九年级数学期中试卷 （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题（本大题有10小题，每题4分，共40分） 1. 下列各曲线是在平面直角坐标系中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 已知的半径为3，点P在内，则的长可能是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 4. 如图所示，在⊙O中，=，∠A=30°，则∠B=（ ） A. 150° B. 75° C. 60° D. 15° 5. 顺次连接圆内两条相交直径的个端点，围成的四边形一定是（ ） A. 一般平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 6. 如图，在中，，圆心在上，与相切，为切点．则的（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，四边形ABCD内接于，如果它的一个外角∠DCE=63°，那么∠BOD的度数为（ ） A. 63° B. 126° C. 116° D. 117° 8. 用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”时，首先应该假设（ ） A. 三角形中至少有一个内角大于 B. 三角形中每个内角都大于 C. 三角形中每个内角都大于或等于 D. 三角形中每一个内角都小于或等于 9. 已知关于x的方程的一个根是2，且二次函数的对称轴是直线，则这条抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是边AC上一动点，连接BD，以CD为直径的圆交BD于点E．若AB长为4，则线段AE长的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题有6小题，每题4分，共24分） 11. 请你给出一个c值，_____，使方程无实数根． 12. 抛物线向下平移1个单位的解析式是_______________ 13. 二次函数的最小值为___________． 14. 如图，在半径为10cm的⊙O中，圆心O到弦AB的距离OC为6cm，则弦AB的长为_____________cm． 15. 如图，在平面直角坐标系中，顶点的横、纵坐标都是整数．若将以某点为旋转中心，顺时针旋转得到，其中、、分别和、、对应，则旋转中心的坐标是_______． 16. 古代数学家阿基米德曾经提出一个定理：一个圆中一条由两条长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．如图（1），弦，是的一条折弦，点是的中点，过点作于，则．根据这个定理解决问题： 如图（2），边长为的等边内接于，点为优弧上的一点．，则的周长是__________． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 计算： （1）解方程：； （2）解不等式组：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在菱形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且CE＝CF， 求证：∠BAE＝∠DAF． 20. 已知关于的一元二次方程．其中、是常数． （1）若，试判断该一元二次方程根的情况； （2）若该一元二次方程有两个相等的实数根，且在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点在直线上，求的值． 21. 电商时代使得网购更加便捷和普及．小张响应国家号召，自主创业，开了家淘宝店．他购进一种成本为100元/件的新商品，在试销中发现：销售单价x（元）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若某天小张销售该产品获得的利润为1200元，求销售单价x的值． 22. 如图，在中，，点D为边上一点． （1）尺规作图：在边上找一点E，使得． （2）在（1）的条件下以点E为圆心，为半径的圆分别与，交于M，N点，且．求证：与相切． 23. 如图，在△ABC中，，，延长CB，并将射线CB绕点C逆时针旋转90°得到射线l，D为射线l上一动点，点E在线段CB的延长线上，且，连接DE，过点A作于M． （1）依题意补全图1，并用等式表示线段DM与ME之间的数量关系，并证明； （2）取BE的中点N，连接AN，添加一个条件：CD的长为_______，使得成立，并证明． 24. 某个农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的．其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有根支架，，相关数据如图所示，其中支架，，这个大棚用了根支架． 为增加棚内空间，农场决定将图中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化，如图所示，调整后与上升相同的高度，增加的支架单价为元/米（接口忽略不计），需要增加经费元． （1）分别以和所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系． ①求出改造前的函数解析式． ②当米，求的长度． （2）只考虑经费情况下，求出的最大值． 25. 定义：有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做“准平行四边形”，例如：凸四边形ABCD中，若∠A＝∠C，∠B≠∠D，则称四边形ABCD为准平行四边形． （1）如图（1）A、P、B、C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，延长BP到Q，使AQ＝AP．已知∠QAC≠∠QBC，求证：四边形AQBC是准平行四边形； （2）如图（2），准平行四边形ABCD内接于⊙O，AB≠AD，BC＝DC，若⊙O的半径为5，AB＝6，求四边形ABCD的面积； （3）如图（3），在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，若四边形ABCD是准平行四边形，且∠BCD≠∠BAD，求BD长的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $