2.2 命题与证明 第3课时课件2024-2025学年 湘教版数学八年级上册

2.2 命题与证明 第3课时 小华睡觉前，地上是干的，早晨起来，看见地上 全湿了.小华对婷婷说：“昨天晚上下雨了.” 你能对小华的判断说出理由吗？ 小华的理由： 假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是干的，这与早晨地上全湿了相矛盾，所以说昨晚下雨是正确的. 我们可以把这种说理方法应用到数学问题上. 1.通过实例，体会反证法的含义，培养用反证法简单推理的技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力. 2.了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题. 3.在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动的探索性和创造性；渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想. 证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤： 第一步 画出图形 根据题意 第二步 写出已知、求证 根据命题的条件和结论，结合图形 第三步 写出证明的过程 通过分析，找出证明的途径 当直接证明一个命题为真有困难时，我们可以先假设命题不成立，然后利用命题的条件或有关的结论.通过推导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的命题正确，这种证明方法称为反证法. 反证法 假设结论的反面正确 推理论证 得出结论 反设 归谬 结论 得出矛盾（与已知条件、 公理、定理等） 假设不成立，原 命题成立. 反证法 6 【例题1】 C 【例题2】 D 【例题3】 ∠A ∠B 平角的定义 180° 【例题4】 【答案】B 【例题5】 【跟踪训练】 D ＝ 同角的余角相等 （1）以否定性判断作为结论的命题； （2）以“至多”“至少”或“不多于”等形式陈述的命题； （3）关于“唯一性”结论的命题； （4）一些不等量命题的证明； （5）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段等(如平 行线的传递性的证明）. 1.可以用反证法的题型. 【规律方法】 2.注意:用反证法证题时,应注意的事项.   （1）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏； （2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性； （3）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的. 命题与证明 证明 从命题的条件出发，通过推理，得出它的结论成立，从而判断该命题为真命题，这个过程叫作证明． (1)根据题意画出图形； (2)根据题设、结论，结合图形写出已知和求证； (3)经过分析，找出由已知推出结论的途径，写出证明过程，并注明依据 反证法 (1)先假设命题的结论不成立； (2)由这个假设出发，然后经过推论，得出与公理、定理或已知条件相矛盾的结论； (3)由矛盾说明假设不成立，从而证明命题的结论一定成立． 1．如图，下列推理不正确的是 (　　) A．因为AB∥CD，所以∠ABC＋∠C＝180° B．因为∠1＝∠2，所以AD∥BC C．因为AD∥BC，所以∠3＝∠4 D．因为∠A＋∠ADC＝180°，所以AB∥CD C　 2．【湖南衡阳中考】如图，已知AB∥CD，AF交CD于点E，且BE⊥AF，∠BED＝40°，则∠A的度数是 (　　) A．40° B．50° C．80° D．90° B　 3．设a，b为实数，且a2＋b2＝2，试用反证法证明a＋b≤2. 证明：假设a2＋b2＝2时，a＋b＞2，则(a＋b)2＞4，即a2＋2ab＋b2＞4＝2(a2＋b2)，∴a2－2ab＋b2＜0，∴(a－b)2＜0.这与偶次方的非负性相矛盾，∴假设不成立，∴a2＋b2＝2时，a＋b≤2. 5．已知AB∥CD，BE，CF分别平分∠ABC和∠BCD．探索BE与CF的位置关系，并说明理由． 抓着今天，你就会前进一步；丢弃今天，你就会停滞不动. 　　4．如图，在△ABC中，∠A＝α，BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线． 求证：∠BOC＝90°＋eq \f(α,2). 证明：∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠ABO＝∠OBC＝eq \f(1,2)∠ABC，∠ACO＝∠OCB＝eq \f(1,2)∠ACB．在△BOC中，∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝∠180°－eq \f(1,2)(∠ABC＋∠ACB)＝180°－eq \f(1,2)(180°－α)＝90°＋eq \f(α,2). 解：BE∥CF.理由如下：∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠BCD．∵BE，CF分别平分∠ABC和∠BCD，∴∠EBC＝eq \f(1,2)∠ABC，∠BCF＝eq \f(1,2)∠BCD，∴∠EBC＝∠BCF，∴BE∥CF. $$