1.3.1课时1 等比数列的概念及其通项公式课件-2024-2025学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

— 第一章 数列 — 1.3.1 课时1 等比数列的概念及其通项公式 1.理解等比数列的概念并掌握等比数列的判定方法. 2.掌握等比数列的通项公式. 3.能解决与等比数列的通项公式有关的运算. 学习目标 问题1：现有一张厚度为0.1毫米的普通A4纸．如果对折1次，2次，3次，4次，5次，请你观察并写出纸的厚度是怎样变化的. 问题2：我们古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”写出“出门望九堤”问题构成的数列. 0.2毫米，0.4毫米，0.8毫米，1.6毫米，3.2毫米 9，92，93，…，98 新知讲授 从前面问题中可得到下面两个数列： （1）0.2，0.4，0.8，1.6，3.2； （2）9，92，93，…，98. 如何表示相邻两项的关系(an＋1与an)呢？ （1）；（2）. 说明上述数列不是等差数列，而是等比数列. 新知讲授 类比等差数列的概念，你能抽象出等比数列的概念吗？ 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列 ，这个常数叫做等差数列的公差d. 等差数列 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列 ，这个常数叫做等比数列的公比q. 等比数列 新知讲授 注意： (2)定义中“比值是同一个常数”，不能理解成“比值是一个常数”， 如数列：2，2，3，3，4，4就不是等比数列. (3)公比可以是正数，也可以是负数，但是不能为0. 新知讲授 练习：以下数列中，哪些是等比数列？ 解: （1）是等比数列，公比q= 新知讲授 （2）因为，所以该数列不是等比数列； （3）当a≠0时，这个数列为公比为a的等比数列； 当a=0时，它不是等比数列. 新知讲授 问题：如果已知一个数列是等比数列，且已知它的首项a1和公比q，怎样求出它的通项公式？ 设一个等比数列的首项是a1，公比是q， 当n＝1时，上式也成立. 方法二　a2＝a1q，a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2，a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3，… 由此可得an＝a1qn－1，当n＝1时，上式也成立. 新知讲授 概念讲解 等比数列的通项公式：若等比数列{an}的首项为a1(a1≠0)，公比为q(q≠0)，则{an}的通项公式为an＝a1qn－1. 新知讲授 例1 在等比数列{an}中 (1)a4＝2，a7＝8，求an； (2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. 解：(1)因为，所以， 由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2， 于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝. 新知讲授 (2)方法一：由已知可得， 由得q＝，从而a1＝32. 又因为an＝1，所以32×＝1， 即26－n＝20，所以n＝6. 方法二：因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝. 由a1q＋a1q4＝18，得a1＝32. 由an＝a1qn－1＝1，得n＝6. (2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. 新知讲授 (1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法． (2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算． 方法归纳 等比数列通项公式的求法 新知讲授 例2 一个等比数列的首项是2，第2项与第3项的和是12.求该数列的第8项的值. 解：设等比数列的首项为a1，公比为q， 则由已知得， 将①式代入②式，得q2+q-6=0， 解得q=-3或q=2. 当q=-3时，a8=a1q7=2×(-3)7=-4374. 当q=2时，a8=a1q7=2×27=28=256. 故该数列的第8项是-4 374或256. 新知讲授 1.观察下面几个数列，其中一定是等比数列的是(　　) A.数列1，2，6，18，54，… B.数列{an}中，已知＝2，＝2 C.数列{an}中，＝n，其中n∈N＋ D.数列{an}中，＝－1，其中n∈N＋ D 当堂检测 2.若等比数列的前三项分别为5，-15，45，则第5项是( ) A. <m></m> B. <m></m> C. <m> </m> D. <m></m> 3.数列{an}是等差数列，若a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列， 则q= . A 1 当堂检测 根据今天所学，回答下列问题： 1.等比数列的定义是什么？ 2.等比数列的通项公式是什么？ 总 结 (1)等比数列定义的符号语言：＝q(q为常数且q≠0，n∈N＋). 则由定义可知＝q(n∈N＋且n≥2). 方法一　an＝××…×××a1＝q×q×…×q×q×a1＝a1qn－1， $$