1.3.1 第1课时 等比数列的概念及通项公式（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修2（北师大版2019）

数 列 §3　等比数列 第一章 3．1　等比数列的概念及其通项公式 第1课时　等比数列的概念及通项公式 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 学习目标 1. 通过实例，理解等比数列的概念并掌握等比数列的判定方法． 2．掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程． 3．能解决与等比数列的通项公式有关的运算． 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 同一个常数 q 公比 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 AD 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 C C 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 C 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 D 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 谢谢观看 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 知识点一　等比数列的概念 观察下面几个数列： (1)1，，，，，…； (2)1，－1，1，－1，1，…； (3)，－1，2，－4，8，…. 上面几组数列是等差数列吗？如果要研究每个数列中相邻两项的关系，你会发现有怎样的共同特点？ 等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是__________，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的____，通常用字母__表示(q≠0). (1)等比数列定义的符号语言：＝q(q为常数且q≠0，n∈N＋). (2)定义中“比值是同一个常数”，不能理解成“比值是一个常数”． (3)公比可以是正数，也可以是负数，但是不能为0. [例1] (多选)下列数列为等比数列的是(　　) A．b，b，b，b，…(b为常数，b≠0) B．22，42，62，82，… C．1，，－，－，… D．，，，，… A选项中的数列为常数列，公比为1，所以该数列是等比数列；B选项中，≠，所以该数列不是等比数列；C选项中，≠，所以该数列不是等比数列；D选项中的数列是首项为，公比为的等比数列． 等比数列定义的理解 (1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q也不可能为零． (2)要判定一个数列是否为等比数列，只需看的值是否为不为零的同一个常数，要注意分子、分母次序不能颠倒． [练1] (1)等比数列2，4，8，…的公比为(　　) A． B． C．2 D．4 (2)下面各数列是等比数列的是(　　) ①－1，－2，－4，－8；②1，2，3，4；③x，x，x，x；④，， ，. A．①②③④ B．①③④ C．①④ D．①②④ (1)由已知2，4，8，…为等比数列，则公比q＝＝＝2. (2)对于①，公比为2，即①为等比数列； 对于②，由于≠≠，即②不是等比数列； 对于③，当x＝0时，即③不是等比数列； 对于④，公比为，即④为等比数列． 知识点二　等比数列的通项公式 等比数列的通项公式 若首项是a1，公比是q，则等比数列{an}的通项公式为an＝_________ (a1≠0，q≠0). a1qn－1 (1)用函数的观点看等比数列的通项：等比数列{an}的图象是函数y＝·qx的图象上的一群孤立的点． (2)等比数列通项公式的变形公式：an＝amqn－m(m，n∈N＋). [例2] 在等比数列{an}中， (1)已知a1＝－3，q＝2，求a5； (2)已知a1＝1，q＝2，an＝16，求n； (3)已知a1＝，a7＝9，求q； (4)已知q＝－，a4＝－27，求a1. (1)在等比数列{an}中，a1＝－3，q＝2，则a5＝－3×24＝－48. (2)在等比数列{an}中，a1＝1，q＝2，an＝16，由an＝16＝1×2n－1，可得n＝5. (3)在等比数列{an}中，a1＝，a7＝9，由a7＝9＝×q6，可得q＝±3 . (4)在等比数列{an}中，q＝－，a4＝－27，由a4＝－27＝(－)3a1，可得a1＝8. 等比数列通项公式的求法 (1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法． (2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算． (3)等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，知其中任意三个就可以求出另一个． [练2] 在等比数列{an}中， (1)已知a1＝3，q＝－2，求a6； (2)已知a3＝20，a6＝160，求an. (1)由题得a6＝3×(－2)5＝－96. (2)由已知得a1q2＝20，a1q5＝160，所以q＝2， 所以an＝a3qn－3＝20×2n－3＝5×2n－1. [例3] 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数． 方法一　设四个数依次为a－d，a，a＋d，， 由题意得解得或 所以当a＝4，d＝4时，所求四个数为0，4，8，16； 当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15，9，3，1. 故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1. 方法二　设四个数依次为－a，，a，aq(q≠0)， 由题意得解得或 当a＝8，q＝2时，所求四个数为0，4，8，16； 当a＝3，q＝时，所求四个数为15，9，3，1. 故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1. 灵活设项求解等比数列的技巧 (1)三个数成等比数列设为，a，aq. (2)四个符号相同的数成等比数列设为，，aq，aq3. (3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为a，aq，aq2，aq3. [练3] 已知三个数成等比数列，其积为1，第2项与第3项之和为－，则这三个数依次为________________． 答案：－，1，－ 设这三个数分别为，a，aq，则解得 所以这三个数依次为－，1，－. ◎随堂演练 1．数列1，1，1，…，1，…必为(　　) A．等差数列，但不是等比数列 B．等比数列，但不是等差数列 C．既是等差数列，又是等比数列 D．既不是等差数列，也不是等比数列 数列1，1，1，…，1，…是公差为0的等差数列，也是公比为1的等比数列． 2．已知等比数列{an}，若a1＝1，a3＝4，则q＝(　　) A．0 B．2 C．－2 D．－2或2 由题意知，在等比数列{an}中，因为a1＝1，a3＝4，可得q2＝＝4，所以q＝±2. 3．已知数列{an}满足an＋1－2an＝0，且a3＝－1，则a1＝__________． 答案：－ ∵an＋1－2an＝0，∴＝2＝q，∴a3＝a1q2，∴－1＝a1×22，∴a1＝－. 4．已知数列{an}成等比数列．若a2＝4，a5＝－，则数列{an}的通项公式为__________________． 答案：an＝4·(－)n－2　 由a5＝a2q3，得－＝4·q3，所以q＝－. an＝a2qn－2＝4·(－)n－2. $$