精品解析：广东省广州市华南师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

2024－2025学年第一学期高一年级中段教学检测 数学 本试卷分为选择题部分和非选择题部分两个部分，共四道大题，19小题，共4页，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合并集计算即可； 【详解】由题意可得， 故选：D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】，或， 所以，“”“”，但“”“”， 所以，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用存在量词命题的否定可得出结论. 【详解】命题“，”为存在量词命题，该命题的否定为“，”. 故选：C. 4. 已知函数是幂函数，且在上单调递增，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的定义以及单调性可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值. 【详解】因为幂函数在上单调递增， 则，解得. 故选：B. 5. 定义在上的函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性与单调性，将所求不等式变形为，根据函数的单调性可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】因为函数的定义域为，， 所以，函数为奇函数，且，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数在上为增函数， 由可得，可得， 即，解得. 所以，不等式的解集为. 故选：C. 6. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简函数的解析式，分析函数的单调性，即可得出合适的选项. 【详解】函数的定义域为，且， 当时，因为函数、都单调递减，则函数单调递减， 当时，由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 故符合函数的图象为B选项中的图象. 故选：B. 7. 已知在上满足，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题中条件，先判断函数单调递减，再由分段函数解析式，列出不等式组求解，即可得出结果. 【详解】因为在上满足， 所以在上单调递减， 需满足以下三个条件： （1）在上单调递减，只需； （2）在上单调递减，此时显然，函数的对称轴为，所以只需且； （3）在处，第一段的函数值要大于等于第二段的函数值，即； 因此由，解得， 即实数的取值范围为. 故选：B 8. 已知函数的值域为，关于的不等式的解集为，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，可将不等式化为，则，解该不等式，得解集，即可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为函数的值域为，则，可得， 所以，， 因为关于的解集为，即不等式的解集为， 必有，解不等式可得，即， 由题意可得，， 上述两个等式作差得，解得. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知、为正实数，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 对任意，若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用作差法可判断ABC选项，取，可判断D选项. 【详解】因为，， 对于A选项，若，则，则，A对； 对于B选项，若，则， 所以，，B对； 对于C选项，， 所以，，C对； 对于D选项，当时，，D错. 故选：ABC. 10. 已知，定义域为，值域为T.给出以下四个判断，其中正确的是（ ） A. 若，则函数定义域为 B. 若值域，则满足条件的函数有3个 C. 若，函数且，则 D. 若，关于x的方程有4个不同的实根，则 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A选项，应用抽象函数定义域求法即可判断选项；对于B选项，可以根据函数的值域，反推函数定义域，进而判断选项；对于C选项，根据已知条件，根据换元法求得的解析式，进而求解参数的值并判断选项；对于D选项，根据函数解析式结合图象变换，画出图像，根据函数图像求得参数的取值范围，进而判断选项. 【详解】对于A选项，已知函数的定义域, 则在函数中，有，解得：， 故函数的定义域为，故A选项正确； 对于B选项，已知函数的值域，则函数定义域可以是，，， 因此满足条件的函数有3个，故B选项正确； 对于C选项，有题意可知：， 令，得：， 已知，得：，解得：，故C选项错误； 对于D选项，已知，令，根据图象变换可得： 在的图象如图所示： 如图易知，由于，因此若有4个不同的实数根，则， 故D选项错误. 故选：AB 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 在上单调递减 D. 的图象是轴对称图形 【答案】BCD 【解析】 【分析】令，则，利用基本不等式可判断AB选项；利用复合函数的单调性可判断C选项；利用函数对称性的定义可判断D选项. 【详解】对于AB选项，令，则，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，A错误，B正确； 对于C选项，又时，单调递增，且， 函数在上单调递减，所以在上单调递减，C正确； 对于D选项，因为， 所以，函数的图象关于直线对称，D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：函数单调性的判定方法与策略： （1）定义法：一般步骤：设元作差变形判断符号得出结论； （2）图象法：如果函数是以图象的形式给出或者函数的图象易作出，结合图象可得出函数的单调区间； （3）导数法：先求出函数的导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间； （4）复合函数法：先将函数分解为内层函数和外层函数，再讨论这两个函数的单调性，然后根据复合函数法“同增异减”的规则进行判定. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】求出的值，利用奇函数的性质可求得的值. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 当时，， 则，故. 故答案为：. 13. 已知实数，，且，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据“1”的代换，结合基本不等式，即可得出答案. 【详解】由已知可得， ， 当且仅当，且，即，时等号成立． 所以，的最小值为. 故答案为：. 14. 设函数，存在，成立，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得：在上能成立，分别讨论和两种情况，运用参数分离法并结合能成立思想及不等式的解法，即可得到所求范围 【详解】已知函数，存在，成立， 即有，整理得：在能成立. 当时，能成立，由于，故结论均能成立； 当时，能成立，由于，故， 解得：，即得：. 当时，无意义. 综上所述可得：的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知非空集合，． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入集合求解，利用集合间的关系可求； （2）利用充分不必要条件的定义，分类讨论集合可求实数的取值范围． 【小问1详解】 已知集合，． 当时，，或 又， ； 【小问2详解】 因为“”是“”充分不必要条件，所以是的真子集， 又，， 所以， 所以； 当时，是的真子集； 当时，也满足是的真子集， 综上所述：． 16. 如图是一份矩形的宣传单，其排版面积（矩形）为，左右两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白. （1）若，，且该宣传单的面积不超过，则的最大值是多少？ （2）若，，则当长多少时，宣传单的面积最小？最小的面积是多少？ 【答案】（1） （2），宣传单的面积最小，最小的面积为 【解析】 【分析】（1）根据题意可得出关于的不等式，结合可得出的取值范围； （2）设cm，则cm，设宣传单的面积为，根据题意可得出关于的函数关系式，利用基本不等式可求得的最小值及其对应的值，即可得解. 【小问1详解】 由宣传单的面积不超过可得：， 化简得，解得， 又，所以，故的最大值为. 【小问2详解】 设cm，则cm，设宣传单面积为， 则， 当且仅当，即时取等号. 所以当长为，宣传单的面积最小，最小的面积是 17. 已知函数是定义在上的偶函数，且，. （1）求函数的解析式； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2）在上为减函数，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用偶函数的定义可求得的值，再由，可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出函数的解析式； （2）判断出在上为减函数，然后任取、，且，作差，因式分解后判断的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立； （3）根据函数奇偶性和单调性，结合，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【小问1详解】 函数是定义在上的偶函数，则， 即，可得对任意的恒成立，故， 所以，，则，解得，故. 【小问2详解】 函数在上为减函数，证明如下： 任取、，且，则，，，， 因为， 则 ，即， 故函数在上为减函数. 【小问3详解】 因为函数为上的偶函数，且该函数在上为减函数， 由可得，得，即， 即，可得，解得或. 因此，不等式的解集为. 18. 已知函数，. （1）若函数的定义域为，求实数的取值范围； （2）若任意，恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数，函数的最小值是，求实数的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得：对任意的，，结合二次函数分析求解； （2）由题意可知，不等式对任意的，令，由参变量分离法可得，利用对勾函数的单调性求出函数在上的最小值，可得出关于实数的不等式，即可得出实数的取值范围； （3）令，可得的最小值是，分和两种情况，结合二次函数最值分析求解. 【小问1详解】 若函数的定义域为，则对任意的，， 由于函数为开口向上的二次函数， 故只需要，解得， 所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 任意，恒成立，则， 可得， 令，则，所以，， 可得， 令，其中，则函数在上为减函数， 所以，，所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 【小问3详解】 因为， 令，则， 则为开口向上，对称轴为的二次函数， 当，即时，则在上单调递减，在上单调递增， 此时，解得，不符合要求，舍去； 当，即时，则在上单调递增， 此时，解得或（舍去）； 综上所述：. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 19. 设为正整数，集合，对于集合中的任意元素和，记. （1）当时，若，，求和的值； （2）当时，对于中的任意两个不同的元素，，证明：； （3）给定不小于2的正整数，设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同元素，，.写出一个集合，使其元素个数最多，并说明理由. 【答案】（1）2；3 （2）证明见详解； （3），理由见详解. 【解析】 【分析】（1）根据定义得到，； （2）设，，求出，，分析出，，证明出，当且仅当时等号成立； （3）在（2）的基础上，得到若，则成立，即可写出集合. 【小问1详解】 因为，， 所以， ； 【小问2详解】 当时，对于中的任意两个不同的元素，， 设，， ，. 对于任意的，，， 当时，有， 当时，有. 即， 所以， 又因为， 所以，，当且仅当时等号成立， 所以 ， 即，当且仅当时等号成立： 【小问3详解】 ，理由如下： 由（2）可证，对于任意，， 若，则成立. 即与中必然一个为1，另一个为0，或者两个均为0， 综合得与相同位置上的数字不能同时为1， 所以集合中元素个数最多为， 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年第一学期高一年级中段教学检测 数学 本试卷分为选择题部分和非选择题部分两个部分，共四道大题，19小题，共4页，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C ， D. ， 4. 已知函数是幂函数，且在上单调递增，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 定义在上的函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C D. 6. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 7. 已知在上满足，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的值域为，关于的不等式的解集为，则实数的值是（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知、为正实数，下列说法中正确是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 对任意，若，则 10. 已知，定义域为，值域为T.给出以下四个判断，其中正确的是（ ） A. 若，则函数的定义域为 B. 若值域，则满足条件的函数有3个 C. 若，函数且，则 D. 若，关于x的方程有4个不同的实根，则 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 在上单调递减 D. 的图象是轴对称图形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则________. 13. 已知实数，，且，则的最小值为______． 14. 设函数，存在，成立，则实数a的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知非空集合，． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围． 16. 如图是一份矩形的宣传单，其排版面积（矩形）为，左右两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白. （1）若，，且该宣传单的面积不超过，则的最大值是多少？ （2）若，，则当长多少时，宣传单的面积最小？最小的面积是多少？ 17. 已知函数是定义在上的偶函数，且，. （1）求函数的解析式； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）若，求的取值范围. 18 已知函数，. （1）若函数的定义域为，求实数的取值范围； （2）若任意，恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数，函数的最小值是，求实数的值. 19. 设为正整数，集合，对于集合中的任意元素和，记. （1）当时，若，，求和的值； （2）当时，对于中的任意两个不同的元素，，证明：； （3）给定不小于2的正整数，设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同元素，，.写出一个集合，使其元素个数最多，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$