精品解析：上海市黄浦区2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

九年级数学 （满分150分，考试时间100分钟） 一、选择题 1. 已知线段、、，求作第四比例线段，则以下正确的作图是（ ） A. B. C. D. 2. 已知△ABC中，D，E分别是边BC，AC上的点，下列各式中，不能判断DE∥AB的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，△ABC中，∠A=70°，AB=4，AC= 6，将△ABC沿图中的虚线剪开，则剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，是边上的高，已知，．下列线段中，其长为的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法不正确的是( ) A. 设为单位向量，那么 B. 已知、、都是非零向量，如果，，那么 C. 四边形中， 如果满足，，那么这个四边形一定是平行四边形 D. 平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解 6. 如图，在中，点D、E分别在边上，点F、G在边上，四边形是平行四边形，交于点N．甲、乙两位同学在研究这个图形时：；②．那么下列说法中，正确的是（ ） A. ①正确②错误 B. ①错误②正确 C. ①、②皆正确 D. ①、②皆错误 二、填空题 7. 已知，那么的值为__________． 8. 上海与南京的实际距离约350千米，在比例尺为1：5 000 000的地图上，上海与南京的图上距离约______厘米． 9. 化简：2（+）﹣（﹣）＝____． 10. 已知点是线段上的一点，如果，且，那么__________． 11. 如图，，，，，则_____． 12. 如图是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面_______ ． 13. 如图，在中，，点是的重心，连接，如果，，那么____． 14. 将一个无盖正方体纸盒展开（如图①），沿虚线剪开，用得到的5张纸片（其中4张是全等的直角三角形纸片）拼成一个正方形（如图②）． 则所剪得的直角三角形较短的与较长的直角边的比是__________． 15. 如图，中，，，，，，则______． 16. 如图，已知在四边形中，与相交于点，，．若，，则______． 17. 如图，在直角梯形中，，，，，的平分线分别交，于点，，则的值是______． 18. 定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”如图，已知，与之间的距离为．“等高底”是钝角三角形，且，的“等底”在直线上，点在直线，有一边的长是的倍．将绕点按顺时针方向旋转得到，所在直线交于，则_____． 三、解答题 19. 计算：． 20. 如图，在平行四边形中，点是边的中点，与对角线交于点，设，． （1）用向量、表示向量； （2）在图中求作向量分别在、方向上的分向量．（不写作法，写出答句） 21. 如图，在中，，，，是边上的一点，，交于点． （1）求的余切值； （2）求的比值． 22. 上海教育出版社九年级第一学期《练习部分》第48页复习题B组第2题及参考答案． 2．如图，图中提供了一种求的方法，阅读并填空： 先作，其中，；然后延长到点，使，连接． （1）． （2）设，那么（用t的代数式表示，以下同），． （3）． 某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究： 【知识迁移】 在中，，，那么____；____． 【拓展应用】 如图，在中，，，，点、分别在边、上，且，，连接、交于点，求的值． 23. 已知：如图，在中，点、分别在边、上，，平分． （1）求证：； （2）如果，求证：． 24. 在平面直角坐标系中，把一条线段绕其一个端点顺时针旋转，并把这条线段伸长或缩短，称这样的运动叫作线段的“旋似”，经“旋似”运动后新线段和原线段的夹角为“旋似角”，新线段长和原线段长比值为“旋似比”．平面直角坐标系中有一点，把线段绕点做“旋似”运动，点的对应点是点，若“旋似角”为： （1）当“旋似比”为时，直接写出点的坐标； （2）过点作轴，点为垂足，连接，若与相似，求此时点的坐标； （3）当“旋似比”为时，设线段与轴交于点，点是轴上一点，且满足，求点的坐标． 25. 已知：如图，在平行四边形中，，，，为上一动点，作，射线交射线于点． （1）如图1，当时，求的长； （2）如图2，当点在线段上时，射线交射线于点，设，，求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； （3）当是等腰三角形时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 （满分150分，考试时间100分钟） 一、选择题 1. 已知线段、、，求作第四比例线段，则以下正确的作图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，主要考查了第四比例线段的作法，要熟练掌握并灵活运用．根据比例线段的定义列出比例式，再根据平行线分线段成比例定理对各选项图形列出比例式即可得解． 【详解】解：∵线段x为线段a、b、c的第四比例线段， ∴， A、根据作图可知，故本选项错误； B、根据作图可知，故本选项错误； C、根据作图可知，故本选项错误； D、根据作图可知，故本选项正确． 故选：D． 2. 已知△ABC中，D，E分别是边BC，AC上的点，下列各式中，不能判断DE∥AB的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】若使线段DE∥AB，则其对应边必成比例，进而依据对应边成比例即可判定DE∥AB． 【详解】解：如图，若使线段DE∥AB，则其对应边必成比例， 即＝，＝，故选项A、B可判定DE∥AB； ＝，即＝，故选项C可判定DE∥AB； 而由＝不能判断DE∥AB，故D选项答案错误． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的推论，熟练掌握该知识是解题的关键． 3. 如图，△ABC中，∠A=70°，AB=4，AC= 6，将△ABC沿图中的虚线剪开，则剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题解析：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误； B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误； C、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误． D、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确； 故选D． 4. 如图，在中，是边上的高，已知，．下列线段中，其长为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正弦的定义及同角的余角相等，掌握是解题的关键． 【详解】解：∵是边上的高， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选A． 5. 下列说法不正确的是( ) A. 设为单位向量，那么 B. 已知、、都是非零向量，如果，，那么 C. 四边形中， 如果满足，，那么这个四边形一定是平行四边形 D. 平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解 【答案】C 【解析】 【分析】根据单位向量的定义、平行向量的定义以及平行四边形的判定进行解答即可． 【详解】解：A. 设为单位向量，那么，此选项说法正确； B. 已知、、都是非零向量，如果，，那么，此选项说法正确； C. 四边形中， 如果满足，，即AD=BC，不能判定这个四边形一定是平行四边形，此选项说法不正确； D. 平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解，此选项说法正确． 故选：C． 【点睛】本题考查的知识点是平面向量，掌握单位向量的定义、平行向量的定义以及平行四边形的判定方法是解此题的关键． 6. 如图，在中，点D、E分别在边上，点F、G在边上，四边形是平行四边形，交于点N．甲、乙两位同学在研究这个图形时：；②．那么下列说法中，正确的是（ ） A. ①正确②错误 B. ①错误②正确 C. ①、②皆正确 D. ①、②皆错误 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，证明三角形相似是解题的关键．由平行线分线段成比例和相似三角形的性质可得，，，，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 7. 已知，那么的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据，可设a＝3k，则b＝2k，代入所求的式子即可求解． 【详解】∵， ∴设a＝3k，则b＝2k， 则原式＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例的性质，根据，正确设出未知数是本题的关键． 8. 上海与南京的实际距离约350千米，在比例尺为1：5 000 000的地图上，上海与南京的图上距离约______厘米． 【答案】7 【解析】 【详解】根据比例尺=图上距离：实际距离，列出比例式，求解即可得出两地的图上距离． 解：设图上距离为x厘米，则 1：5000000=x：35000000， 所以x=7（厘米）． 上海与南京的图上距离约7厘米． 故答案为7． 9. 化简：2（+）﹣（﹣）＝____． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算直接求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，熟练掌握平面向量的线性运算是解题的关键． 10. 已知点是线段上的一点，如果，且，那么__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意作出示意图，结合列出关于的方程求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ， ， ，即，整理得，解得， ， （舍去）；， 故答案为：． 【点睛】本题考查由线段关系列方程，涉及解一元二次方程，熟练掌握公式法解一元二次方程及所求结果的实际意义取舍是解决问题的关键． 11. 如图，，，，，则_____． 【答案】#### 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例可得，代入可求得答案． 【详解】解：∵，，，， ∴，即， 解得． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键． 12. 如图是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面_______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质．高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果． 【详解】解：如图：过作，垂足为，过作，垂足为， ， ， ， ，， ， ， 故答案为： 13. 如图，在中，，点是的重心，连接，如果，，那么____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查三角形的重心，涉及相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，难度较大，综合性较强，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形．延长交于，过作于，直线交于，证明，得，同理可得，即有，根据为的重心，，得，再根据正切的定义即可得解． 【详解】解：过作于，延长交于点，连接，如图： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的重心， ∴， ∵， ∴， ∴， 则在直角三角形中，， 故答案为： 14. 将一个无盖正方体纸盒展开（如图①），沿虚线剪开，用得到的5张纸片（其中4张是全等的直角三角形纸片）拼成一个正方形（如图②）． 则所剪得的直角三角形较短的与较长的直角边的比是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由图可得，所剪得的直角三角形较短的边是原正方体棱长的一半，而较长的直角边正好是原正方体的棱长，故可得解． 【详解】由图可得，所剪得的直角三角形较短的边是原正方体棱长的一半，而较长的直角边正好是原正方体的棱长，所以所剪得的直角三角形较短的与较长的直角边的比是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了剪纸的问题，难度不大，以不变应万变，透过现象把握本质，将问题转化为熟悉的知识去解决，同时考查了学生的动手和想象能力． 15. 如图，中，，，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形及勾股定理，熟练掌握解直角三角形是解题的关键，由勾股定理和解直角三角形得，，进而得，，利用面积法求得，进而即可得解． 【详解】解：∵，，，， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴, ∴． 16. 如图，已知在四边形中，与相交于点，，．若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及三角函数的定义，垂线定义．解题时要注意相似三角形的面积比等于相似比的平方，有两角对应相等的三角形相似与有两边对应成比例且夹角相等三角形相似的性质的应用．由、可得，又由对顶角相等，根据有两角对应相等的三角形相似，易得，即可得到比例线段，再由，即可证得；由可得，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求得的值． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 17. 如图，在直角梯形中，，，，，的平分线分别交，于点，，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】过点F作于点G，由，得出，又是的平分线，结合，得到，即可求解本题． 【详解】解：作于点G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，角平分线上的点到角两边的距离相等及等腰直角三角形的斜边长是直角边的倍，熟练掌握这几个知识点是解题的关键． 18. 定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”如图，已知，与之间的距离为．“等高底”是钝角三角形，且，的“等底”在直线上，点在直线，有一边的长是的倍．将绕点按顺时针方向旋转得到，所在直线交于，则_____． 【答案】或 【解析】 【分析】分别过点作于点，点作于点，由题意易得，然后可得，进而可分当时，当时，最后根据勾股定理可进行求解 【详解】解：分别过点作于点，点作于点，如图所示： 由题意可得：， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ①当时，则在中，由勾股定理得：， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∵， ∴，即， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②当时，则在中，由勾股定理得：， ∴在中，由勾股定理得：， ∵， ∴，即， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 综上所述：或； 故答案为或； 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、二次根式的运算及勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、二次根式的运算及勾股定理是解题的关键． 三、解答题 19. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的是特殊角的锐角三角函数值的混合运算，化简绝对值，掌握“的三角函数值”是解题的关键．先分别求解特殊角的三角函数值，再进行二次根式的乘法运算，化简绝对值，计算乘方，再合并即可． 【详解】解： ． 20. 如图，在平行四边形中，点是边的中点，与对角线交于点，设，． （1）用向量、表示向量； （2）在图中求作向量分别在、方向上的分向量．（不写作法，写出答句） 【答案】（1） （2）如图： 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、平面向量的含义； （1）根据题意得，，再利用向量的三角形法得根据相似三角形的判定及性质得从而即可得解． （2）利用平行四边形法则过作交于，过作交于，即可得到结论 【小问1详解】 解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴； 【小问2详解】 解：如图，过作交于，过作交于， ∴向量分别在、方向上的分向量是与 21. 如图，在中，，，，是边上的一点，，交于点． （1）求的余切值； （2）求的比值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）首先证明在中，由，，得，，利用余切的定义即可解决问题； （2）过作的垂线交的延长线于，利用相似三角形的判定和性质即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解:过作的垂线交的延长线于， 在中， ∵即， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴ 【点睛】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，同角的余角相等，余切定义等知识熟练运用相似三角形的判定和性质是解题关键． 22. 上海教育出版社九年级第一学期《练习部分》第48页复习题B组第2题及参考答案． 2．如图，图中提供了一种求的方法，阅读并填空： 先作，其中，；然后延长到点，使，连接． （1）． （2）设，那么（用t的代数式表示，以下同），． （3）． 某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究： 【知识迁移】 在中，，，那么____；____． 【拓展应用】 如图，在中，，，，点、分别在边、上，且，，连接、交于点，求的值． 【答案】知识迁移：，；拓展应用：1． 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 知识迁移： 作平分交于，过作于，设，则，，由面积法求得，进而即可求得；同理可得：； 拓展应用： 连接，证出，，，设，，，，求出，则可得出答案． 【详解】知识迁移： 解：如图，作平分交于，过作于， ∵， ∴， ∵平分交于， ，， 中，， 即， 设， 则， ， ∵， ∴即， ∴， ∴； 同理可得：， 故答案为：，； 拓展应用： 解：连接， ，， ， ，， ， ， ， ，； 设，， ，， ， ， ， ， ． 23. 已知：如图，在中，点、分别在边、上，，平分． （1）求证：； （2）如果，求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，，， 又∵平分， ∴， ∴， 则， ∴， 故． （2） ∵， ∴，， 又∵， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 【解析】 【分析】（1）根据平行得内错角相等和对应线段成比例，又因为平分得，有，代换即可得出结论． （2）根据平行得同位角相等和对应线段成比例，代入化解得，转化为，再利用夹角相等得出，进一步得到，根据角度相等得即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，利用平行线的同位角、内错角相等，对应线段成比例性质，结合角平分线得出角度相等，等量代换有三角形相似，熟练掌握线段之间的等量代换和相似的代换是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，把一条线段绕其一个端点顺时针旋转，并把这条线段伸长或缩短，称这样的运动叫作线段的“旋似”，经“旋似”运动后新线段和原线段的夹角为“旋似角”，新线段长和原线段长比值为“旋似比”．平面直角坐标系中有一点，把线段绕点做“旋似”运动，点的对应点是点，若“旋似角”为： （1）当“旋似比”为时，直接写出点的坐标； （2）过点作轴，点为垂足，连接，若与相似，求此时点的坐标； （3）当“旋似比”为时，设线段与轴交于点，点是轴上一点，且满足，求点的坐标． 【答案】（1） （2）点的坐标为或 （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）作轴于，轴于，则，由题意可得：，， ，，证明，由相似三角形的性质可得，，即可得解； （2）作轴于，轴于，由（1）可得：，再由相似三角形的性质可得，由，得出若与相似，则有或，再分情况求解即可； （3）当“旋似比”为时，由（1）可得点的坐标为，延长交轴于点，待定系数法求出直线的解析式为，从而得出，进而得出，证明，在轴负半轴取点，证明，求出，即可得出点的坐标为；在轴正半轴取点，同理可证，求出，即可得出点的坐标为． 【小问1详解】 解：如图，作轴于，轴于，则， ， 由题意可得：，， ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：如图，作轴于，轴于， ， 由（1）可得：， ∴， ∵， ∴若与相似，则有或， 当时，则说明“旋似比”为，从而根据可得，，此时的坐标为； 当时，则说明“旋似比”为3，从而根据可得，，此时的坐标为； 综上所述，点的坐标为或； 【小问3详解】 解：当“旋似比”为时，由（1）可得点的坐标为， 如图，延长交轴于点， ， 设直线的解析式为， 代入、两点坐标可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，即， 当时，，解得，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在轴负半轴取点， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， 则点的坐标为； 在轴正半轴取点，同理可证， ∴， ∴，即， 解得：， 则点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，一次函数等知识，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 25. 已知：如图，在平行四边形中，，，，为上一动点，作，射线交射线于点． （1）如图1，当时，求的长； （2）如图2，当点在线段上时，射线交射线于点，设，，求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； （3）当是等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】（1）； （2）； （3）的长为或或． 【解析】 【分析】（1）根据，，求出，再求出，根据，得出，即可求出答案； （）证明，得出，作，由，得出，进而得出，根据勾股定理得出，从而得出，即可得出答案，当时，求出的值，即可得出取值范围； （3）分三种情况讨论：当时，当时，当时，根据等腰三角形的性质即可求出答案． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作， 由（）可得：， ∵，即， ∴， 当，时，即时， ， 即时； 【小问3详解】 解：如图， 分三种情况： ①当时，， ∵， ∴， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 根据等腰三角形三线合一，， ∴ ∴， ∴； ②当时，， ，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当时，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 过作，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，的长为或或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数，平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，注意（）要分情况讨论,熟练掌握相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $