精品解析：浙江省温州新力量联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷

2024学年第一学期温州新力量联盟期中联考 高二年级数学 试题 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟． 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字． 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效． 4.考试结束后，只需上交答题纸． 选择题部分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.） 1. 过点且与直线平行的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设所求直线方程为，代入点求出即可. 【详解】设过点且与直线平行的直线方程为， 则，解得， 所以所求的直线方程为. 故选:B. 2. 直线，的斜率是方程的两个根，则（ ） A. B. C. 与相交但不垂直 D. 与的位置关系不确定 【答案】B 【解析】 【分析】结合根与系数关系、两直线的位置关系求得正确答案. 【详解】设直线的斜率分别是， 依题意，所以. 故选：B 3. 已知点，则以为直径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中点坐标公式算出的中点坐标为，且，从而得到所求圆的圆心和半径，可得圆的标准方程. 【详解】因为， 线段的中点为，， 所以以线段为直径的圆的圆心坐标为，半径， 所以线段为直径的圆的方程为. 故选：D. 4. 已知椭圆，则下列结论正确的是（ ） A. 长轴长为 B. 焦距为2 C. 短轴长为2 D. 离心率为 【答案】D 【解析】 【分析】椭圆方程整理得，求得，，后即可求解． 【详解】已知椭圆，整理得， 得，， 所以， 则，，， 故椭圆长轴长为，焦距为，短轴长为，离心率为． 故选：D． 5. 已知平面内有一个点，的一个法向量为，则下列点中，在平面内的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，逐个判断即可. 【详解】符合条件的应满足， 对于A，，， 对于B，，， 对于C，，， 对于D，，， 故选：B 6. 已知点在圆外，则的取值范围为（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出圆的标准方程，结合点与圆的位置关系建立不等式关系进行求解即可． 【详解】∵圆， 圆的标准方程为， ∴圆心坐标，半径， 若在圆外， 则满足 ，且， 即且，即 故选 【点睛】本题主要考查点和圆的位置关系的应用，求出圆的标准方程是解决本题的关键，属于基础题． 7. 下列命题正确的是（ ） A. 在空间四边形中， B. 是与不共线的充要条件 C. 在棱长为1正四面体中， D. 设，，三点不共线，为平面外一点，若，则，，，四点共面 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量数量积运算判断A,特殊值法判断B选项，根据平面向量的模长及夹角计算平面向量的数量积判断C,应用四点共面性质判断D. 【详解】对于A:空间四边形中， ,A选项正确； 对于B:当反向共线，满足，但是与共线，B选项错误； 对于C:在棱长为1正四面体中，,C 选项错误； 对于D:因为，而不是1，所以，，，四点不共面，D选项错误 故选：A. 8. 已知椭圆：的左､右焦点分别为，(如图)，过的直线交于，两点，且轴，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由轴，求出，再利用，得到线段比例关系，从而得到，，进而得到点，代入椭圆结合即可求得离心率. 【详解】由，， 将代入椭圆方程知，解得：，即 过点作轴，则，又 ，得， 所以点的坐标为，即 又点在椭圆上，，即 又，，，即 故选：D 【点睛】方法点睛：本题考查求椭圆的离心率，求解离心率在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出；②构造的齐次式，求出；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知圆和圆相交于A、两点，下列说法正确的是（ ） A. 公共弦所在直线方程为 B. 圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 C. 取圆上点，则的最大值为 D. 直线被圆所截得弦长最短为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A：根据两圆相交弦方程的求解，结合已知条件，求解即可；对B：求得到直线的距离，结合圆的半径，即可判断；对C：求得的参数表达形式，结合三角函数的最值，即可求得结果；对D：利用勾股定理可判断正误. 【详解】对A：圆和圆相交于两点， 故直线的方程为：，即，故A正确； 对B：到直线的距离，又圆的半径， 所以直线与圆相交且不过圆心，即圆上存在3个点到直线的距离为，B正确； 对C：圆，即， 因为在圆上，故可设， 则， 又的最大值为， 故的最大值为，C错误； 对D：将直线方程变形为， 由，解得，所以，直线过定点， 所以，圆心到直线的距离为最大值为， 因此，直线被圆所截得弦长最短为，D正确. 故选：ABD. 10. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 若，则是钝角 B. 若，则可知 C. 若为直线l的方向向量，则λ也是直线l的方向向量 D. 在四面体中，若，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对A，举反例即可判断；对B，根据向量的线性运算即可判断；对C，举反例即可判断；对D，作出图形，证明出为垂心即可判断. 【详解】对A，若，则可能为，故A错误； 对B， ⇒⇒，所以B正确； 对C，当时，，不是直线的方向向量，所以C错误； 对D，如图， 过P作平面ABD交平面于O点，连CO交AB于M， 连AO交BC于N，连BO交AC于T，， 同理为垂心，所以， 从而，所以D正确； 故选：BD. 11. （多选）泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，却在转瞬间无处寻觅.已知点，直线，动点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半.若某直线上存在这样的点P，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（ ） A. 点P的轨迹方程是 B. 直线是“最远距离直线” C. 平面上有一点，则的最小值为5 D. 点P的轨迹与圆是没有交汇的轨迹（也就是没有交点） 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，设，根据定义建立关系可求出；对于B，联立直线与椭圆方程，判断方程组是否有解即可；对于C，根据定义转化为求即可；对于D，易判断为交点. 【详解】对于A，设，因为点P到点F的距离是点P到直线l距离的一半， 所以，化简可得，故选项A正确； 对于B，联立方程组，可得， 解得，故存在点， 所以直线是“最远距离直线”，故选项B正确； 对于C，过点P作垂直直线，垂足为B， 由题意可得，，则， 由图象可知，的最小值即为点A到直线的距离5，故选项C正确； 对于D，由可得， 即圆心为，半径为1， 易得点P的轨迹与圆C交于点，故选项D错误. 故选：ABC. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 非选择题部分 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，则的值为____________. 【答案】8 【解析】 【分析】由椭圆离心率的定义列方程即可解出. 【详解】∵ 焦点在轴上，由椭圆方程可知：， ∴，即. 故答案为：8 13. 直线的倾斜角取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题设有，结合直线斜率与倾斜角关系确定范围即可. 【详解】由题设，即直线斜率为， 若直线倾斜角，则，而，所以. 故答案为： 14. 正方体的棱长为2，若动点在线段上运动，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，即可求出，再根据的范围，求出的取值范围． 【详解】解：以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系． 则，，，，． ，，． 点在线段上运动， ，且． ， ， ∵，∴，即， 故答案为：． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知直线. （1）证明：直线过定点； （2）求过点且横截距与纵截距相等的直线方程. 【答案】（1） 即 令解得 直线过定点 （2）或者 【解析】 【分析】（1）通过即可求证； （2）通过截距为0和不为0两类情况求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当直线横截距等于纵截距为0时 直线过原点 斜率 此时直线方程为即 当直线横截距，纵截距不为0时，可设直线的方程为： 直线过点，代入方程得 直线的方程为：，即直线的方程为： 综上所述直线的方程为或者 16. 如图，在平行六面体中，为与的交点，且，，两两夹角均为，且长度相等，设，，. （1）试用，，表示； （2）求直线与直线所成角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算可求解； （2）求得与可求直线与直线所成角的余弦值. 【小问1详解】 【小问2详解】 根据题意可设设， 则， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 17. 已知圆过点，，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）问是否存在满足以下两个条件的直线： ①斜率为1；②直线被圆截得的弦为，以为直径的圆过原点.若存在这样的直线，请求出其方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在，或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求得圆的方程； （2）首先设直线存在，其方程为，联立直线与圆的方程，得到根与系数的关系，根据解得b，得到直线方程，并需验证. 【小问1详解】 设圆的方程为， 则有，解得，，， 圆C方程为：，即； 【小问2详解】 设直线存在，其方程为， 它与圆C的交点设为、， 则由，得 ， ， 为直径， ， ， 即，即， 或，容易验证或时方程的， 故存在这样的两条直线，其方程是或. 18. 如图，已知四棱锥的底面为矩形，，，顶点在底面的正投影为的中点. （1）求证：直线平面； （2）若平面与平面的交线为，， （i）求证：直线； （ii）求与平面所成角的大小. 【答案】（1） 证明：在中，，在中，， ， ，故， 平面，平面，则， 又，，平面， 平面. （2） （i），平面，平面， 平面. 又平面平面，平面， . （ii） 【解析】 【分析】（1）根据锐角三角函数可知，进而根据线面垂直的性质得，即可由线面垂直的判定求证， （2）根据线面平行的性质即可求解（i），建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可利用向量的夹角求解（ii）. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：（i）略 （ii）与平面所成角的正弦值等于与平面所成角的正弦值 以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，以点作垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由于 则，，，， ，，， 设平面的一个法向量为则即， 令，则，得， 设与平面所成角为， ， 所以与平面所成角为. 19. 已知椭圆上有两个不同点，关于直线对称. （1）记直线与线段的交点为. （i）求证：为定值； （ii）求的坐标（用来表示）. （2）求面积的最大值（为坐标原点）. 【答案】（1）（i） 设，，，得到 将，代入椭圆方程得， 两式相减得：，即 （ii） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）通过点差法即可求证；（ii）设，由（i）得，再结合在上即可求解； （2）由弦长公式及点到线的距离公式表示出出三角形面积，进而可求解. 【小问1详解】 （i）略 （ii）易知，由题意知，由（i）知 则有，即（1） 又在直线上，所以有（2） 有（1）（2）解得，即 【小问2详解】 设直线的直线方程为 联立得到 即 ，， 又到直线的距离为， （当且仅当取等号） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期温州新力量联盟期中联考 高二年级数学 试题 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟． 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字． 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效． 4.考试结束后，只需上交答题纸． 选择题部分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.） 1. 过点且与直线平行的直线方程是（ ） A. B. C. D. 2. 直线，的斜率是方程的两个根，则（ ） A. B. C. 与相交但不垂直 D. 与的位置关系不确定 3. 已知点，则以为直径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知椭圆，则下列结论正确的是（ ） A. 长轴长为 B. 焦距为2 C. 短轴长为2 D. 离心率为 5. 已知平面内有一个点，的一个法向量为，则下列点中，在平面内的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点在圆外，则的取值范围为（ ） A. B. 或 C. D. 7. 下列命题正确的是（ ） A. 在空间四边形中， B. 是与不共线的充要条件 C. 在棱长为1正四面体中， D. 设，，三点不共线，为平面外一点，若，则，，，四点共面 8. 已知椭圆：的左､右焦点分别为，(如图)，过的直线交于，两点，且轴，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知圆和圆相交于A、两点，下列说法正确的是（ ） A. 公共弦所在直线方程为 B. 圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 C. 取圆上点，则的最大值为 D. 直线被圆所截得弦长最短为 10. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 若，则是钝角 B. 若，则可知 C. 若为直线l的方向向量，则λ也是直线l的方向向量 D. 在四面体中，若，，则 11. （多选）泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，却在转瞬间无处寻觅.已知点，直线，动点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半.若某直线上存在这样的点P，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（ ） A. 点P的轨迹方程是 B. 直线是“最远距离直线” C. 平面上有一点，则的最小值为5 D. 点P的轨迹与圆是没有交汇的轨迹（也就是没有交点） 非选择题部分 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，则的值为____________. 13. 直线的倾斜角取值范围是________. 14. 正方体的棱长为2，若动点在线段上运动，则的取值范围是___________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知直线. （1）证明：直线过定点； （2）求过点且横截距与纵截距相等的直线方程. 16. 如图，在平行六面体中，为与的交点，且，，两两夹角均为，且长度相等，设，，. （1）试用，，表示； （2）求直线与直线所成角的余弦值. 17. 已知圆过点，，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）问是否存在满足以下两个条件的直线： ①斜率为1；②直线被圆截得的弦为，以为直径的圆过原点.若存在这样的直线，请求出其方程；若不存在，请说明理由. 18. 如图，已知四棱锥的底面为矩形，，，顶点在底面的正投影为的中点. （1）求证：直线平面； （2）若平面与平面的交线为，， （i）求证：直线； （ii）求与平面所成角的大小. 19. 已知椭圆上有两个不同点，关于直线对称. （1）记直线与线段的交点为. （i）求证：为定值； （ii）求的坐标（用来表示）. （2）求面积的最大值（为坐标原点）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $