精品解析：云南省玉溪市一中2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题

玉溪一中2027届高一数学月考试卷 满分：150分 时间：120min 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解集合B中的不等式，再根据交集的定义计算即可. 【详解】由，得，解得， 所以，则， 故选：B. 2. 设为实数，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】若，而，则，充分性成立， 取，，此时，但，必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 3. 如图，已知矩形表示全集，、是的两个子集，则阴影部分可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在阴影部分区域内任取一个元素，分析元素与各集合的关系，即可得出合适的选项. 【详解】在阴影部分区域内任取一个元素， 则且，即且， 所以，阴影部分可表示为. 故选：D. 4. 若，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式即可得解. 【详解】由，可得， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 故选：B. 5. 关于的不等式的解集中恰有2个整数，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】不等式化简为，由知不等式的解集为，进而根据解集中恰有2个整数列不等式，求解即可. 【详解】由，得， 当时，，则不等式的解集为， 由解集中恰有2个整数，得整数解为和0， 因此，解得. 故选：A. 6. 若命题：“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得“，成立”是真命题，根据实数是否等于零分类讨论即可. 【详解】由题意，得“，成立”是真命题. 当时，原不等式化为“”， 显然成立； 当时，由，解得. 综上所述，. 故选：C. 7. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x(单位m)的取值范围是 A. [15,20] B. [12,25] C. [10,30] D. [20,30] 【答案】C 【解析】 【详解】 如图△ADE∽△ABC，设矩形的另一边长为y，则，所以，又，所以，即，解得. 【考点定位】本题考查平面几何知识和一元二次不等式的解法，对考生的阅读理解能力、分析问题和解决问题的能力以及探究创新能力都有一定的要求.属于中档题. 8. 对，表示不超过的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯取整函数，则下列命题中的真命题是（ ） A. ， B. ， C. 函数（）的取值集合为 D. 若，使得，，，…，同时成立，则正整数的最大值是5 【答案】D 【解析】 【分析】根据取整函数的定义，得，再利用不等式的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，当，，故A错误； 对于B，当时，， 当时，设，（），则，则 由定义得，故B错误； 对于C，因为， 所以，函数（）的值域为，故C错误； 对于D，当时，由，得（1）， (因为，，) 所以, 所以不等式组(1)有解，解得; 即存在，使得，，同时成立； 当时，由，得（2）， 因为，所以， 所以上面不等式组无解， 即不存在，使得，，，，，同时成立； 综上所述，正整数的最大值是5，故D正确； 故选：D. 二、多选题：本题共3题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中有多个选项符合要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中的真命题是（ ） A. 若，，则； B. 命题“，”的否定为“，”； C. 集合，表示同一集合； D. “”是“”的充分不必要条件. 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，利用特殊值法可判断；对于B，根据含有一个量词的命题的否定的定义判断即可；对于C，正确理解并化简集合A和B，再判断即可；对于D，分别求得方程的解，进而判断即可. 【详解】对于A，假设，，，满足，， 此时，，则不成立，故A错误； 对于B，命题“，”的否定为“，”，故B正确； 对于C，集合，集合， 所以集合与集合不表示同一集合，故C错误； 对于D，且， 而或， 所以“”是“”的充分不必要条件，故D正确； 故选：BD. 10. 已知关于的不等式的解集是，则（ ） A. B. C. D. 不等式的解集是或 【答案】ABD 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解和韦达定理逐项判断即可. 【详解】由题意可知，1，3是方程的两个根，且，， A：由以上可知，故A正确； B：当时，代入方程可得，故B正确； C：因为，不等式的解集是，故将代入不等式左边为，故C错误； D：原不等式可变为，且，约分可得，解集为或，故D正确； 故选：ABD 11. 若正实数满足，则下列结论中正确的有（ ） A. 的最小值为8． B. 的最小值为 C. 的最大值为． D. 的最小值为． 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用基本不等式求解最值判断A，B，C，利用消元法结合二次函数求得最值判断D. 【详解】A选项，因为，且，所以， 所以，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立，故A正确； B选项，因为 ， 当且仅当，即时取等号，故B项正确； C选项，， 当且仅当时取等号，所以，所以的最大值为，故C项正确； D选项，因为，当且仅当时取等号， 所以的最小值为，故D项错误． 故选：ABC. 【点睛】思路点睛：四个选项均要对所求式子进行变形，A，B，C选项利用“1”代换以及基本不等式求最值，同时也要注意取等条件是否成立，D选项由条件消元转换成二次函数求最值. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 满足的集合的个数为______________． 【答案】8 【解析】 【分析】又题意可知集合中至少有2个元素，最多有5个元素,分别写出来即可. 【详解】∵ ∴集合中至少有2个元素，最多有5个元素. 当集合中有2个元素时，集合可为：; 当集合中有3个元素时，集合可为：,,; 当集合中有4个元素时，集合可为：,,; 当集合中有5个元素时，集合可为：; 故答案为：8. 13. 已知，，则下列不等式一定成立的是_____ ①；②；③；④ 【答案】④ 【解析】 【分析】利用特殊值法可判断①②③错误，由不等式的性质可证明④正确. 【详解】对于①②③，假设，，，，满足，， ，，此时不成立， ，，此时不成立， ，，此时不成立，故①②③错误； 对于④，由，，得，即，故④正确； 故答案为：④. 14. 某厂家拟在2024年举办某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元（）之间满足.已知2024年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入9万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）.则该厂家2024年的利润最大值为_____万元. 【答案】30 【解析】 【分析】求出函数解析式，利用基本不等式求最值即可. 【详解】由题意得，每件产品的销售价格为， 则 ， 因为，所以，由基本不等式得， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以该厂2024年的促销费用投入3万元时，利润最大为30万元. 故答案为：30. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题需写出必要的演算步骤，或文字说明. 15. 已知集合，不等式的解集为B. （1）当时，求； （2）若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出集合，进而求出； （2）根据题意得到A是B的真子集，分A为空集和不为空集两种情况，求出a的取值范围. 【小问1详解】 当时，， ，解得， 则； 【小问2详解】 因为是的充分不必要条件， 所以A是B的真子集， 当时，，得； 当时，， 解得， 综上， 所以m的取值范围为. 16. 证明下列不等式： （1）已知，，，求证：； （2）已知，，均为正实数，且，求证：. 【答案】（1） 证明：由，得， 因为，所以， 所以，进而得到， 因为，所以. （2） 证明：因为，，均为正实数，且， 所以由基本不等式得， ， 当且仅当时，等号成立. 【解析】 【分析】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）根据，化简，再利用基本不等式证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 已知，. （1）且有解，求实数的取值范围； （2），求的最小值. 【答案】（1） （2）25 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式可求的最小值，进而得不等式，求解即可； （2）由得，消元后利用基本不等式求最小值即可. 【小问1详解】 因为正数，满足，所以， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为25， 由有解，得， 即，解得或， 所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 因为，，且满足， 所以，所以，， 则 ， 当且仅当，即，时，等号成立. 所以的最小值25. 18. 已知函数. （1）当时，解不等式； （2）若不等式对恒成立,求m的取值范围. 【答案】(1) 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． (2) 【解析】 【分析】（1）当m＞﹣2时，f（x）≥m；即（m+1）x2﹣mx+m﹣1≥m，因式分解，对m进行讨论，可得解集；（2）转化为x∈[﹣1，1]恒成立，分离参数，利用基本不等式求最值求解m的取值范围． 【详解】（1）当时，；即． 可得：．∵ ①当时，即．不等式的解集为 ②当时，．∵， ∴不等式的解集为 ③当时，．∵， ∴不等式的解集为 综上：，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． （2）由题对任意，不等式恒成立． 即．∵时，恒成立． 可得：．设，．则． 可得： ∵，当且仅当是取等号． ∴，当且仅当是取等号． 故得m的取值范围． 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法和讨论思想的应用，同时考查了分析求解的能力和计算能力，恒成立问题的转化，属于中档题． 19. 设集合，且S中至少有两个元素，若集合T满足以下三个条件：①，且T中至少有两个元素；②对于任意，当，都有；③对于任意，若，则；则称集合为集合的“耦合集”. （1）若集合，求集合的“耦合集”； （2）若集合存在“耦合集”，集合，且，求证：对于任意，有； （3）设集合，且，求集合S的“耦合集”T中元素的个数. 【答案】（1） （2）因为，由已知条件②得的可能元素为：，由条件③可知得，同理得，所以对于任意，有； （3）5个 【解析】 【分析】（1）根据“耦合集”定义可得. （2）由条件②可知的可能元素为：；由条件③可知得同理其它比得证； （3）由（2）知得即，同理，故共5个元素. 【小问1详解】 由已知条件②得的可能元素为：2，4，8；又满足条件③，所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，由（2）知得即，同理，所以，又因为的可能元素为：，所以共5个元素. 【点睛】解题关键是正确理解“耦合集”的定义. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉溪一中2027届高一数学月考试卷 满分：150分 时间：120min 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设为实数，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 如图，已知矩形表示全集，、是的两个子集，则阴影部分可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 5. 关于的不等式的解集中恰有2个整数，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若命题：“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 7. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x(单位m)的取值范围是 A. [15,20] B. [12,25] C. [10,30] D. [20,30] 8. 对，表示不超过的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯取整函数，则下列命题中的真命题是（ ） A. ， B. ， C. 函数（）的取值集合为 D. 若，使得，，，…，同时成立，则正整数的最大值是5 二、多选题：本题共3题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中有多个选项符合要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中的真命题是（ ） A. 若，，则； B. 命题“，”的否定为“，”； C. 集合，表示同一集合； D. “”是“”的充分不必要条件. 10. 已知关于的不等式的解集是，则（ ） A. B. C. D. 不等式的解集是或 11. 若正实数满足，则下列结论中正确的有（ ） A. 的最小值为8． B. 的最小值为 C. 的最大值为． D. 的最小值为． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 满足的集合的个数为______________． 13. 已知，，则下列不等式一定成立的是_____ ①；②；③；④ 14. 某厂家拟在2024年举办某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元（）之间满足.已知2024年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入9万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）.则该厂家2024年的利润最大值为_____万元. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题需写出必要的演算步骤，或文字说明. 15. 已知集合，不等式的解集为B. （1）当时，求； （2）若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 16. 证明下列不等式： （1）已知，，，求证：； （2）已知，，均为正实数，且，求证：. 17. 已知，. （1）且有解，求实数的取值范围； （2），求的最小值. 18. 已知函数. （1）当时，解不等式； （2）若不等式对恒成立,求m的取值范围. 19. 设集合，且S中至少有两个元素，若集合T满足以下三个条件：①，且T中至少有两个元素；②对于任意，当，都有；③对于任意，若，则；则称集合为集合的“耦合集”. （1）若集合，求集合的“耦合集”； （2）若集合存在“耦合集”，集合，且，求证：对于任意，有； （3）设集合，且，求集合S的“耦合集”T中元素的个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $