广西壮族自治区多校2024-2025学年高三上学期11月联考数学试题

高三数学考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 h 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4,本试卷主要考试内容：高考全部内容。 圜 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 地 1.若集合A={x|x|≤2}，B={x|x2<4x},则AUB= A.[0,2] B.[-2,4] 的 C.[-2,4) D.(0,2] 製 2.已知复数x满足x(1十i)=2,则之的虚部为 长 A.-1 B.1 C.-i D.i 区 3.已知a=0.3a2,b=0.203,c=0.24,则 A.a>c>b B.c>a>b 都 C.c>b>a D.a>b>c 4.在长方体ABCD-A,B1C1D1中，AB=2,AD=3,AA1=6,则该长方体外接球的表面积为 解 A.49π B 游 C.50π 受 5.已知向量a=(3,m),b=(2,m+1),若a%,则a一2b|= A.2 B.√3 C.√2 D.1 6.如图，对A,B,C,D,E五块区域涂色，现有5种不同颜色的颜料可供选择，要求每块区域涂一 种颜色，且相邻区域（有公共边）所涂颜料的颜色不相同，则不同的涂色方法共有 A.480种 A B B.640种 C D 赵 C.780种 D.920种 【高三数学第1页（共4页）】 7.已知函数f(x)的定义域为R,f(W2)=-2十√2，且f(xy)=f(x)f(y)+2x十2y-6,则 f(-2)= A.-2 B.-4 C.2√2-2 D.-2√/2+2 已知F是双曲线C:无-=1(a>0,b>0)的左焦点，过原点O的直线与C相交于M,N 点，若|FM=2|FN|,IOM=|OF1,则C的离心率为 A.√5 B.2 C.5 D.√2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知一组数据68,75,69,77，m,71,下列结论正确的有 A.若m<71,则该组数据的第40百分位数为m B.该组数据的第60百分位数不可能是77 C.若该组数据的极差为10，则m=67或78 D.若m=60,则该组数据的平均数为70 10.若函数f(x)=x(x一1)(x十1)，则下列结论正确的有 A.f(x)为奇函数 B.若x>x2,则f(x)>f(x2) C.f(x)的所有极值点的和为0 D.f(lsin D,o] 11.如图，在六面体ABCD-A,B,CD1中，四边形ABCD为菱形，四边形AA1D1D为正方形， 平面AA1D1D⊥平面ABCD,若AA,=2BB1=2,则下列说法正确的是 A.四边形A1B,C1D,为平行四边形 B.平面BCC B1⊥平面ABCD C.若过A,B的平面与平面ADC平行，则该平面与B,C1的交点为棱 B,C1的中点 D.三棱锥B-A1B1D,体积的最大值为2,2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知抛物线E:y2=2px(p>0)上一点P到E的焦点F的距离比P到y轴的距离大4， 则p= 13.已知函数f(x)=2sin(ar+若)(w>0),若Vx∈[o,2],f(x)≥1，则m的取值范 围为▲ 14在△ABC中，cos2∠ACB+3ao乙ACB-1,且-2，则的最大值为 【高三数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)》 一个不透明的盒子中装有红色、黄色、白色、黑色小球各1个，这些小球除颜色外完全相同. 现从盒子中随机抽取若干个小球，抽中的小球的颜色对应的得分如下表。 抽中小球的颜色 红色 黄色 白色 黑色 得分 1 2 3 4 (1)若有放回地从盒子中抽取2次，每次抽取1个小球，求抽中的小球对应的得分之和大于 6的概率； (2)若一次性从盒子中抽取2个小球，记抽中的小球对应的得分之和为X,求X的分布列与 期望. 16.(15分) 已知数列{an}满足a1十2a2十…十nam=(n-1)×2m+1+2. (1)求{an}的通项公式； (2)若bn= ,a+1-a,一a1十，求数列b,}的前n项和S. an 17.(15分) 如图1，菱形ABCD的边长为4，∠BAD=60°，E是CD的中点，将△BCE沿着BE翻折，使 点C到点P处，连接PA,PD,得到如图2所示的四棱锥P-ABED (1)证明：BE⊥PD (2)当PA=2√10时，求平面PBD与平面PBE的夹角的余弦值. D 图1 图2 【高三数学第3页（共4页）】 18.(17分) 已知动圆M与圆C1:x十2)+y2-最外切，与圆C:(红-厄)+y2=-罗内切，记动 圆M圆心的运动轨迹为曲线C. (1)求C的方程； (2)若A,B分别是C的左、右顶点，P是圆O:x2十y2=4上一点，设PA和PB的夹角为0， 求an号的取值范围。 努 19.(17分) 曲率是表示曲线在某一点的弯曲程度的数值，曲线的曲率定义如下：若'(x)是函数∫(x) 学 的导函数，(x)是f(x)的导函数，则曲线y=f(x)在点P(xo,f(xo)处的曲率K |f"(zxo)川 $ (1+[f'(x)J) 8 (1)若函数f(x)=x2-2x十3，求曲线y=f(x)在点P(1,f(1)处的曲率. (2)若函数f(x)=√4一x2(一2<x<2),证明：曲线y=f(x)在其上任意一点处的曲率为 洲 定值，且该定值为分 烟 (3)已知函数f(x)=acos(-2<z<2),若在曲线y=∫x)上存在一点P(xo,f(x), 够 使曲线y=了(x)在点P处的曲率K>,求a的取值范围。 陶 【高三数学第4页（共4页）】 高三数学考试参考答案 1.C因为A={x|Ix|≤2}=[-2,2]，B={xlx2<4x}=(0,4),所以AUB=[-2,4). 2B因为21+)=2尔，所以=帚=-1+，所以：的虚部为1. 3.D因为0.3.2>0.33>0.20.3>0.20.4，所以a>b>c. 4.A设外接球的半径为R,则(2R)2=AB2+AD2+AA?=49,故外接球的表面积S=4πR2 =49π. 5.C因为a∥b,所以3(m+1)-2m=0,解得m=-3,则a-2b=(-1,1),则|a-2b|= （-1)2+1平=√2 6.C假定涂色的顺序为A→D→B→C→E,若A,D所涂颜料的颜色相同，则有CCICICIC= 240种不同的涂法；若A,D所涂颜料的颜色不相同，则有C.CICICC=540种不同的涂法 故不同的涂色方法共有240+540=780种. 7.B令x=y=√2，得f(2)=(-2+√2)2+4V2-6=0.令y=2,得f(2x)=f(x)f(2)+2x 一2=2x-2,则f(x)=x-2,f(-2)=一4. 8.A取C的右焦点F1,连接MF1,NF,(图略)，根据对称性可知四边形MFNF:是平行四边 形，则MFl=1NF=2|MF.由|MF|-|MF,|=2a,得1MF1=4a,lMF|=2a.因为 IOM=|OFI,所以MF⊥NF,则MF⊥MF1.在△MFF1中，IMFI2+IMF,I2=|FFI2, 则16a2+4a2=4c2,得后=5. 9.BCD6×0.4=2.4,若m<69,则该组数据的第40百分位数为69≠m,A不正确.6×0.6= 3.6,将该组数据从小到大排序可知，77不可能排第四，故该组数据的第60百分位数不可能 是77，B正确.若m≤68，则该组数据的极差为77一m=10,得m=67;若m≥77，则该组数据 的极差为m一68=10，得m=78;若68<m<77,则该组数据的极差为77一68=9≠10，不符 合条件，C正确.若m=60,则该组数据的平均数=68+75+69+77+60+71=70，D正确。 6 10.ACD显然f(x)的定义域为R,且f(-x)=-x(-x-1)(-x+1)=-x(x-1)(x+1) =-fx),故f(x)是奇函数，A正确取x=,此时x>,则f(x)=f(号)=-是， f2)=f()=-品此时f(x)<f(x),B不正确由f(x)=x(x-1D(x+1),得 fx)=3x-1,令fx)=0,得x=±号当x∈(-0，-)U(停，+o)时，f(x> 0,当x∈(-，号)时，了(x)<0,则fx)在(-0，-号)，（停，+∞）上单调递增，在 【高三数学·参考答案第1页（共6页）】 (-马，停)上单泻适减，故了)的极大值点为=一号反小值点为x-.C正确因为 0≤1nx1<1,且f0)=f1=0,所以f(停)<f(x)≤0，则f(x)∈[-250]，D 正确. 11.AD因为四边形ABCD为菱形，四边形AA,D1A为正方形，所以AB ∥CD,AA,∥DD1,从而平面ABB1A,∥平面DCC,D1.由平面 ABB1A,∩平面A1B1C,D,=A,B1,平面DCCD1∩平面A1B1CD =C1D1,得A1B1∥C1D1.由AD∥A1D1,AD∥BC,得A1D1∥BC,则 A,D1平面BCC1B1.因为平面A1B1C,D,∩平面BCC1B1=B,C1 所以A1D1∥B,C1,则四边形A1B,C1D1为平行四边形，A正确.因为 平面AA,D1D⊥平面ABCD,四边形AA,D,D为正方形，所以AA1⊥平面ABCD,当AA1 与BB,不平行时，平面BCC1B1与平面ABCD不垂直，B不正确.如图，过C作CC2∥DD1, 且CC2=DD1,连接CzD1,易得四边形CC2D1D为正方形，连接A1C2,BC2,易证得平面 A1BC2/平面ACD1,若C1在CC2上，则E为B1C1的中点，即B,E=EC1,若C1不在CC2 上，则E不为B,C的中点，即BE≠EC1,C不正确.VaA,D,=VD,A,显然当AB⊥ AD,A,BLBB,时，V取得最大值，且最大值为宁×号×2厄X1X2=2 ,D正确。 12.8设P(x),则由抛物线的定义可知，。十号-x,=4,解得p=8。 13.(o,】]由w>0,0心x<得音<r+音<号+因为vx∈[0，]fx)≥1，所以 +<解得< 14.B+1由cos2∠ACB+3cos∠ACB=1,得2cos∠ACB+3cos∠ACB 3 -2=0,解得c0s∠ACB=2或cos∠ACB=-2(含去)，则sin∠ACB= MN 分设AB=3m,则△ABC是以m为半径的圆O的内接三角形.如图所 示，当C,OM三点共线时，CM最大，从而岩的值最大过O作ON1AB,垂足为N,连 接0A,则∠A0N=60,ON-受，MN=,从而OM=,则器-OM+C_ AB AB Bm+m5十1 3 √3m 3 15.解：(1)记事件A=“抽中的小球对应的得分之和大于6”，则A有三种情况：第一次抽中白 【高三数学·参考答案第2页（共6页）】 球，第二次抽中黑球；第一次抽中黑球，第二次抽中白球；第一次抽中黑球，第二次抽中黑球。 …3分 6分 (2)一次性从盒子中抽取2个小球，总的事件包括（红色，黄色），（红色，白色），（红色，黑色）， (黄色，白色)，（黄色，黑色），（白色，黑色），共6种情况，…8分 对应的得分之和分别为3,4,5,5,6,7，…9分 故X的分布列为 X 3 4 5 6 7 P 合 合 子 合 合 11分 则E(X)=3×6+4×g+5×号+6×6+7x合=5， …13分 16.解：(1)当n=1时，a1=2, …1分 当n≥2时，由a1十2a2+…+nan=(n-1)X2m+1+2,得a1+2a2十…十(n-1)am-1=(n 2)X2m十2，… 3分 则nan=(n-1)X2m+1-(n-2)X2"=nX2”,…5分 则an=2”,… 6分 因为a1也满足上式，所以am=2”.… …7分 (2)由1)可得，6.=a,a1-a.-a1币-a,-)a*1-可 an …10分 2" 1 1 =(2”-1）X(20+1-1）=20-20*i-1… 13分 1 11 则s.-2-2-十22++ 213 1 2+1一 00A000000000000004000000000000440044000064040000404000000000064046 15分 17.(1)证明：在题图1中，因为四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，且E是CD的中点，所以 BE⊥CD,…1分 从而在题图2中，BE⊥DE,BE⊥PE.…2分 因为DE∩PE=E,所以BE⊥平面PDE.…4分 又PDC平面PDE,所以BE⊥PD.… 6分 (2)解：以E为坐标原点，ED,EB所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的空间直角坐 标系.设∠PED=0,则A(4,23,0),P(2cos0,0,2sin0).…7分 由PA=2√10，得(4-2cos0)2+12+4sin20=40,解得cos0=- 2, …8分 则P(-1,0,√5)，E(0,0,0),D(2,0,0),B(0,25,0), 【高三数学·参考答案第3页（共6页）】 B驴=(-1，-25,3)，Bd=(2,-25,0),B2=(0,-25,0).…9分 设平面PBD的法向量为m=(x1,y1,之1)， 由 丽m=0得厂1-25+B1=0 …10分 BD·m=0,2x1-2√3y1=0, 令x1=3,得m=(5,1,3).… a.... 11分 设平面PBE的法向量为n=(x2,y2,之2)， 时n=0得厂25+=0， 由B舵n=0,-23y=0, 12分 令x2=3,得n=(5,0,1).… 13分 cos（m,m)=mh2辰 m·n=6=33 3,故平面PBD与平面PBE的夹角的余弦值为3,13 …15分 18解：1由题可知，C,的半径为C,的半径为 6 …】分 设M的半径为r,由M与C,外切，与C,内切，得1MC1=r+ 6,lMc,1= ……3分 则|MC1|+|MC2|=2√3>|C1C2|=2√2.… 4分 由椭圆的定义知，曲线C是长轴长为2√3，左、右焦点分别为C,(一√2,0)，C2(√2,0)的椭 圆，…5分 做C的方程为写十y21.… 6分 (2)由(1)可知，A(-3,0),B(3,0),设P(s,t),则PA=(-5-5,-),PB=(3-5, 7分 则PA.PB=(-5-5)(W3-5)+2=52+2-3=1,… 8分 所以1Pi1市cos8=1,则os0=可p>0.得0[0，号）】 …9分 若P在x轴上，则0=0，从而am号-0. 10分 【高三数学·参考答案第4页（共6页）】 若P在不在x轴上，则Sow=PAI1PBsn0=a, 2 …11分 且Sw=2AB1l=1z,由0<<2，得0<Se≤23，…12分 则0<an9≤23，得0<an9≤45. …13分 因为0E(o,),所以号∈(o,),则0<am号<1， 14分 2tan 2 由0<tan0 ≤45， 15分 1-tan 03 解得0<tan2≤2 16分 综上所述，am号的取值范图为[0，] .0....... 17分 19.(1)解：因为f(x)=x2-2x十3，x∈R,所以f(x)=2x-2,(x)=2,… 2分 则f(1)=0,f"(1)=2,… …3分 故曲线y=f(x)在点P1,fI)处的曲率K=f产 =2 …4分 (1+[f'(1)]2) (2)证明：因为f(x)=√4-x7(-2<x<2),所以f'(x)=- -4 6分 V4-x7(4-x2)1 1+f'(x)=4 …7分 则1广产(1 √4-x2(4-x2) …8分 (1+[f(x)]) 8 4-x2(4-x2) 故曲线y=f(x)在其上任意一点处的曲率为定值，且该定值为2 …9分 （3)解：因为fx)=ae0s平(-2<x<2), 所以f)=学n芹fx)=-答os受 …10分 4 aπ πxo 则K= 1(xo)川 16 cos 4 11分 +r,r(1+话r受) 4 【高三数学·参考答案第5页（共6页）】 a'n 则 256cos2 4 斋受-1+受>0 4,即 …12分 令6=受，0<1，则话1-)-1+活>0， 64 …13分 即存在0<1，使得不等式”货1-b1-(1+若)>0成立 .…14分 令g0-话1-6)-1+话八，0<1，则go)-紧-活1+话)r≤ 64 0在[0,1)上恒成立，则g(b)在[0,1)上单调递减，…15分 则g0)-活-1>0，橱得6>是政a<-是 16分 故a的取值范围为(-∞，-)U(,+∞) …17分 【高三数学·参考答案第6页（共6页）】