第四章《数列》同步单元必刷卷（培优卷）-2024-2025学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第二册)

第四章《数列》同步单元必刷卷（培优卷） 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．已知数列满足，对于任意的且，都有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据递推关系，写出数列前几项，归纳出通项即可得解. 【详解】依题意，设， 则， ，， ，， ，， 可归纳得：，， 所以. 故选：B 2．记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C 【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.， 【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为， 则， 因此为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即为常数，设为， 即，则，有， 两式相减得：，即，对也成立， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，C正确. 方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即， 则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即， 即，， 当时，上两式相减得：，当时，上式成立， 于是，又为常数， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件. 故选：C 3．已知数列满足，，若为数列的前项和，则（    ） A．624 B．625 C．626 D．650 【答案】C 【分析】根据给定的递推公式，按奇偶分类求和即得. 【详解】数列中，，， 当时，，即数列的奇数项构成等差数列，其首项为1，公差为2， 则， 当时，，即数列的偶数项构成等比数列，其首项为1，公比为， 则， 所以. 故选：C 4．意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被2整除后的余数构成一个新数列，则数列的前2020项的和为（    ） A．1346 B．673 C．1347 D．1348 【答案】C 【分析】由已知条件写出数列的前若干项，观察发现此数列周期为3，从而可求得答案. 【详解】由题意可得：若，等价于为偶数，若，等价于为奇数， 则， 猜想：， 当时，成立； 假设当时，成立，则为奇数，为偶数； 当时，则为奇数，为奇数，为偶数， 故符合猜想； 得证， 则连续三项之和为2，故数列的前2020项的和为. 故选：C. 【点睛】方法点睛：本题主要考查数列的周期性以及应用，考查了递推关系求数列各项的和，利用递推关系求数列中的项或求数列的和： （1）项的序号较小时，逐步递推求出即可； （2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列. 5．已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，结合等差数列的前项和公式，构造出符合题意的一组与的通项公式，再进行计算即可． 【详解】根据题意，数列、都是等差数列，显然两个数列都不是常数列， ， 因为等差数列前项和公式为， 所以不妨令为常数，且， 所以时，，． ，，，. 故选：A 6．利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（    ） A．项 B．项 C．k项 D．1项 【答案】A 【分析】时，左边的最后一项为，时，最后一项为，由此可得由到时，左边增加的项数． 【详解】由题意，时，不等式左边， 最后一项为， 时，不等式左边， 最后一项为， 由变到时，左边增加了项, 故选：A． 7．已知数列满足.记数列的前n项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】显然可知，，利用倒数法得到，再放缩可得，由累加法可得，进而由局部放缩可得，然后利用累乘法求得，最后根据裂项相消法即可得到，从而得解． 【详解】因为，所以，． 由 ，即 根据累加法可得，，当时， 则，当且仅当时等号成立， ， 由累乘法可得，且， 则，当且仅当时取等号， 由裂项求和法得： 所以，即． 故选：A． 【点睛】本题解题关键是通过倒数法先找到的不等关系，再由累加法可求得，由题目条件可知要证小于某数，从而通过局部放缩得到的不等关系，改变不等式的方向得到，最后由裂项相消法求得． 8．设数列的前项和为，且.若对任意的正整数，都有成立，则满足等式的所有正整数为（    ） A．1或3 B．2或3 C．1或4 D．2或4 【答案】A 【分析】根据与的关系，求出，则①，又②，②－①×3得，得，进而求出，由题意得，记，研究的单调性，求出的解即可． 【详解】， 时，， 相减可得：，即 又时，，解得，满足， 数列是首项为1，公比为3的等比数列，所以． 对任意正整数n，都有成立， 得①， 又②， ②－①×3得：， 又，所以，得， 进而， 由，得，即， 记，则， 以下证明时，， 因为， 即时，单调递减，， 综上可得，满足等式的所有正整数的取值为1或3． 故选：A． 【点睛】关键点睛：涉及数列的单调性以及数列的最大项和最小项问题，综合性较强，难度较大，解答时要结合几何知识，能熟练的应用数列的相关知识作答，关键是要注意构造新数列解决问题. 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知数列的通项公式为 ，前项和为.则下列说法正确的是（     ） A．数列有最小项，没有最大项 B．使的项共有6项 C．满足的的值共有7个 D．使取得最小值的为7 【答案】BD 【分析】利用数列的基本性质逐个选项分析即可. 【详解】化简得， 故在上单调递减，显然最小值为，最大值为， 又，当时，，即最大值为，最小值为， 故数列有最小项，也有最大项，故A错误， 易知当时，应为的约数，故， 结合为正整数，则，共6项，故B正确， 当或时，，当时，，当时，， 故当时，满足，共有6个这样的，故C错误， 由已知得从第8项起均为正数，故最小项为，故D正确. 故选：BD 10．以下四个命题，其中满足“假设当时命题成立，则当时命题也成立”，但不满足“当（是题中给定的n的初始值）时命题成立”的是（ ） A． B． C．凸n边形的内角和为 D．凸n边形的对角线条数 【答案】AB 【分析】首先根据数学归纳法逐一验证，并注意检验初始值是否成立即可求解. 【详解】A：假设当，时，命题成立，即， 当时有，故当时命题也成立， 当时有，故当n为给定的初始值时命题不成立； B：假设当，时，命题成立，即， 当时有，故当时命题也成立， 当时，等号左边为2，右边为，，所以当时命题不成立； C：假设当，时，命题成立，即， 当时有，故当时命题也成立， 当时内角和为命题成立； D：假设当，时，命题成立，即， 当时有，故当时命题不成立. 综上可知，满足条件的选项为AB. 故选：AB. 11．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列满足，，则（    ） A． B． C． D．数列的前项和为 【答案】BCD 【分析】直接由递推公式求出即可判断A选项；分为奇数或偶数即可判断B选项；分为奇数或偶数结合累加法即可判断C选项；由分组求和法即可判断D选项. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，当为奇数时，为偶数，则，，可得； 当为偶数时，为奇数，则，，可得，B正确； 对于C，当为奇数且时， 累加可得 ，时也符合； 当为偶数且时， 累加可得 ；则，C正确； 对于D，设数列的前项和为，则， 又，，D正确. 故选：BCD. 【点睛】本题的关键点在于利用题目中的递推关系式，分为奇数或偶数两种情况来考虑，同时借助累加法即可求出通项，再结合分组求和法以及等差数列求和公式即可求得前项和，使问题得以解决. 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若数列满足，（，），则的最小值是 . 【答案】6 【分析】利用累加法求得，计算，由对勾函数的性质求最小值，注意是正整数. 【详解】由已知，，…，，， 所以，， 又也满足上式，所以， 设，由对勾函数性质知在上单调递减，在递增， 因此在时递减，在时递增， 又，， 所以的最小值是6， 故答案为：6. 13．数列满足，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】根据给定的递推公式，利用构造法，结合等比数列通项求解即得. 【详解】数列中，由，得，即， 而，，于是数列是首项为3，公比为的等比数列， 因此，即， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 14．已知数列中，，且，若存在正整数，使得成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】构造数列先计算，分奇偶讨论结合指数函数的单调性计算即可. 【详解】由，令， 若为奇数，则，若为偶数，则， 即奇数项与偶数项分别成以为公差的等差数列，易知， 所以，则， 若为奇数，则 有解，即，由指数函数的单调性可知； 若为偶数，则 有解，即，由指数函数的单调性可知；综上满足题意. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答. （2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答. 【详解】（1）设等差数列的公差为，而， 则， 于是，解得，， 所以数列的通项公式是. （2）方法1：由（1）知，，， 当为偶数时，， ， 当时，，因此， 当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 方法2：由（1）知，，， 当为偶数时，， 当时，，因此， 当为奇数时，若，则 ，显然满足上式，因此当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 16．已知数列满足，，设． （1）求； （2）判断数列是否为等比数列，并说明理由； （3）求的通项公式． 【答案】（1），，；（2）是首项为，公比为的等比数列．理由见解析；（3）. 【分析】（1）根据，求得和，再利用，从而求得，，； （2）方法一：利用条件可以得到，从而可以得出，这样就可以得到数列是首项为，公比为的等比数列； （3）方法一：借助等比数列的通项公式求得，从而求得. 【详解】（1）由条件可得， 将代入得，，而，所以，． 将代入得，，所以，． 从而，，； （2）[方法1]：【通性通法】定义法 由以及可知，，， 所以，，又，所以为等比数列． [方法2]：等比中项法 由知，所以，． 由知，所以． 所以为等比数列． （3）[方法1]：【最优解】定义法 由（2）知，所以． [方法2]：累乘法 因为，累乘得：． 所以． 【整体点评】（2）方法一：利用定义证明数列为等比数列，是通性通法； 方法二：利用等差中项法判断数列为等比数列，也是常用方法； （3）方法一：根据（2）中结论利用等比数列的通项公式求解，是该题的最优解； 方法二：根据递推式特征利用累乘法求通项公式． 17．用数学归纳法证明：，． 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，先证时，命题成立，假设时，命题也成立，当时，由，即可证明. 【详解】当时，左边， 右边，命题成立； 假设时，命题成立，即， 则当时， ， 所以时命题成立， 综上，． 18．对于数列，如果存在等差数列和等比数列，使得，则称数列是“优分解”的． (1)证明：如果是等差数列，则是“优分解”的． (2)记，证明：如果数列是“优分解”的，则或数列是等比数列． (3)设数列的前项和为，如果和都是“优分解”的，并且，求的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）是等差数列，则，令，可得结论； （2）设，可得，进而可得结论； （3）设，可得是首项为2，公比为的等比数列，设，可得，可得，可得数列是首项，公比为的等比数列，可求的通项公式． 【详解】（1）是等差数列，设， 令， 则是等差数列，是等比数列，所以数列是“优分解”的． （2）因为数列是“优分解”的，设， 其中， 则． 当时， 当时，是首项为，公比为的等比数列． （3）一方面，数列是“优分解”的，设， 其中，由（2）知 因为，所以． 是首项为2，公比为的等比数列． 另一方面，因为是“优分解”的，设， 其中， 是首项为2，公比为的等比数列， ，且， 化简得， 即数列是首项，公比为的等比数列． 又， 又解得， 综上所述，． 【点睛】关键点点睛：本题考查数列新定义，弄清题意，并充分应用等比和等差数列的性质是解题的关徤. 19．已知数列的前n项和为，，. (1)证明：数列为等比数列； (2)设，求数列的前n项和； (3)是否存在正整数p，q（），使得，，成等差数列？若存在，求p，q；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，. 【分析】（1）利用给定的递推公式，结合及等比数列定义推理即得. （2）由（1）求出，再利用裂项相消法求和即可. （3）由（1）求出，由已知建立等式，验证计算出，再分析求解即可. 【详解】（1），，当时，， 两式相减得，即， 则有，当时，，则，即， 所以数列是以1为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）得，，则，数列是等差数列， 于是，解得，则， 所以的前项和 . （3）由（1）知，， 由成等差数列，得，整理得， 由，得，又，，不等式成立， 因此，即，令，则, 从而，显然，即， 所以存在，使得成等差数列. 【点睛】易错点睛：裂项法求和，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章《数列》同步单元必刷卷（培优卷） 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．已知数列满足，对于任意的且，都有，则（    ） A． B． C． D． 2．记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 3．已知数列满足，，若为数列的前项和，则（    ） A．624 B．625 C．626 D．650 4．意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被2整除后的余数构成一个新数列，则数列的前2020项的和为（    ） A．1346 B．673 C．1347 D．1348 5．已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（    ） A． B． C． D． 6．利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（    ） A．项 B．项 C．k项 D．1项 7．已知数列满足.记数列的前n项和为，则（    ） A． B． C． D． 8．设数列的前项和为，且.若对任意的正整数，都有成立，则满足等式的所有正整数为（    ） A．1或3 B．2或3 C．1或4 D．2或4 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知数列的通项公式为 ，前项和为.则下列说法正确的是（     ） A．数列有最小项，没有最大项 B．使的项共有6项 C．满足的的值共有7个 D．使取得最小值的为7 10．以下四个命题，其中满足“假设当时命题成立，则当时命题也成立”，但不满足“当（是题中给定的n的初始值）时命题成立”的是（ ） A． B． C．凸n边形的内角和为 D．凸n边形的对角线条数 11．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列满足，，则（    ） A． B． C． D．数列的前项和为 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若数列满足，（，），则的最小值是 . 13．数列满足，则数列的通项公式为 . 14．已知数列中，，且，若存在正整数，使得成立，则实数的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 16．已知数列满足，，设． （1）求； （2）判断数列是否为等比数列，并说明理由； （3）求的通项公式． 17．用数学归纳法证明：，． 18．对于数列，如果存在等差数列和等比数列，使得，则称数列是“优分解”的． (1)证明：如果是等差数列，则是“优分解”的． (2)记，证明：如果数列是“优分解”的，则或数列是等比数列． (3)设数列的前项和为，如果和都是“优分解”的，并且，求的通项公式． 19．已知数列的前n项和为，，. (1)证明：数列为等比数列； (2)设，求数列的前n项和； (3)是否存在正整数p，q（），使得，，成等差数列？若存在，求p，q；若不存在，说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$