第四章《数列》同步单元必刷卷（基础卷）-2024-2025学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第二册)

第四章《数列》同步单元必刷卷（基础卷） 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．已知数列的前n项和为，则（    ） A．81 B．162 C．243 D．486 2．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 3．若数列满足，，则（    ） A．511 B．1023 C．1025 D．2047 4．用数学归纳法证明：（为正整数）从到时，等式左边需增加的代数式是（    ） A． B． C． D． 5．已知为等差数列的前n项和，，则（    ） A．60 B．120 C．180 D．240 6．利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．项 D．k项 7．已知等差数列的项数为奇数，且奇数项的和为40，偶数项的和为32，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 8．已知数列是各项为正数的等比数列，公比为q，在之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为，在之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为，在之间插入n个数，使这个数成等差数列，公差为，则（    ） A．当时，数列单调递减 B．当时，数列单调递增 C．当时，数列单调递减 D．当时，数列单调递增 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列有关数列的说法正确的是（    ） A．数列-2022，0，4与数列4，0，-2022是同一个数列 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第10项 C．数列1，，，2，，…的第8项是 D．数列0，，4，，…的一个通项公式为 10．数列满足（且），则（    ） A．若，则数列是等比数列 B．若，则数列是等差数列 C．若，则数列中存在最大项与最小项 D．若，则 11．等差数列中，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则， 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ． 13．已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前n项和的方法探求：若，则 . 14．在数列中，，，若，则正整数 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知是数列的前项和，，是公差为1的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)证明：. 16．记为数列的前n项和．已知． (1)证明：是等差数列； (2)若成等比数列，求的最小值． 17．设数列满足（）．证明： 对一切正整数n都成立 18．记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 19．设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章《数列》同步单元必刷卷（基础卷） 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．已知数列的前n项和为，则（    ） A．81 B．162 C．243 D．486 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用列式计算即得. 【详解】数列的前n项和为，所以. 故选：B 2．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成和来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理. 【详解】方法一：利用等差数列的基本量 由，根据等差数列的求和公式，， 又. 故选：D 方法二：利用等差数列的性质 根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式， ，故. 故选：D 方法三：特殊值法 不妨取等差数列公差，则，则. 故选：D 3．若数列满足，，则（    ） A．511 B．1023 C．1025 D．2047 【答案】B 【分析】 通过累加和等比数列的求和即可得答案. 【详解】由题意知:， 则有，，，，， 由累加可得， 即 . 故选:B. 4．用数学归纳法证明：（为正整数）从到时，等式左边需增加的代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取和带入左式相减得到答案. 【详解】等式左边需增加的代数式是： . 故选：A 5．已知为等差数列的前n项和，，则（    ） A．60 B．120 C．180 D．240 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质和前n项和公式运算. 【详解】因为数列为等差数列，所以， 所以，所以． 故选：B. 6．利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．项 D．k项 【答案】B 【分析】根据给定条件，探讨从变到不等式左边增加的部分即可得解. 【详解】当时，不等式左边为， 当时，不等式左边为， 增加的项为，共有项. 故选：B 7．已知等差数列的项数为奇数，且奇数项的和为40，偶数项的和为32，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】设等差数列有，项．公差为．由于奇数项和为40，偶数项和为32，可得，，分别相加相减即可得出． 【详解】解：设等差数列有奇数项，．公差为． 奇数项和为40，偶数项和为32， ， ， ，， ，即等差数列共项，且 故选：． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式性质及其前项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 8．已知数列是各项为正数的等比数列，公比为q，在之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为，在之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为，在之间插入n个数，使这个数成等差数列，公差为，则（    ） A．当时，数列单调递减 B．当时，数列单调递增 C．当时，数列单调递减 D．当时，数列单调递增 【答案】D 【分析】根据数列的定义，求出通项，由通项讨论数列的单调性. 【详解】数列是各项为正数的等比数列，则公比为， 由题意，得， 时，，有，，数列单调递增，A选项错误； 时，，，若数列单调递增，则， 即，由，需要，故B选项错误； 时，，解得， 时，，由，若数列单调递减，则， 即，而 不能满足恒成立，C选项错误； 时，，解得或，由AB选项的解析可知，数列单调递增，D选项正确. 故选：D 【点睛】思路点睛：此题的入手点在于求数列的通项，根据的定义求得通项，再讨论单调性. 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列有关数列的说法正确的是（    ） A．数列-2022，0，4与数列4，0，-2022是同一个数列 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第10项 C．数列1，，，2，，…的第8项是 D．数列0，，4，，…的一个通项公式为 【答案】BCD 【分析】 对于A,数列中的项与顺序有关判断；对于B,运用公式计算即可；对于C,D观察得出通项公式即可. 【详解】对于A，数列中的项与顺序有关，故数列-2022，0，4与数列4，0，-2022是两个不同的数列，故A错误； 对于B，当时， 又是递增数列，故110是该数列的第10项，故B正确； 对于C，数列的一个通项公式是，故第8项是，故C正确； 对于D，数列变形为所以通项公式为，故D正确． 故选:BCD． 10．数列满足（且），则（    ） A．若，则数列是等比数列 B．若，则数列是等差数列 C．若，则数列中存在最大项与最小项 D．若，则 【答案】ABD 【分析】由等比数列和等差数列的概念可判断A，B，利用B中结论求得，利用函数单调性可判断C，利用数学归纳法及作差法判断选项D． 【详解】选项A，因为若，， 所以，，…，， 即，，是等比数列，故A正确； 选项B，令，而， ， 又，数列是以1为公差的等差数列，故B正确； 选项C，由选项B的结论及可知：， ，显然，数列在上单调递减， 故当时，有最大值2，没有最小值，故C错误； 选项D，用数学归纳法证明， (1)当时，， (2)假设当，时，不等式成立，即，即， 当时，，满足， 故当时，不等式也成立， 综合(1)(2)，对任意，有， 下面证明， ， ，上面不等式中的等号不成立， ，， 故，故D正确． 故选：ABD． 11．等差数列中，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则， 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，结合等差数列的性质、前n项和公式逐项分析判断即得. 【详解】等差数列中，， 对于A，，，A正确； 对于B，，则，， 则，，因此，即，B错误； 对于C，，则，C正确； 对于D，设的公差为，由，得，解得， 则，，D正确. 故选：ACD 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【详解】在等式两边取到数，推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求得数列的通项公式，进而可求得数列的通项公式. 【分析】因为数列满足，且，则， ，， 以此类推可知，对任意的，， 在等式两边取倒数可得，则， 所以数列是首项为，公差为的等差数列. 所以，，所以，. 故答案为：. 13．已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前n项和的方法探求：若，则 . 【答案】4038 【分析】根据给定条件，利用等比数列性质，结合倒序相加法求和作答. 【详解】正数数列是公比不等于1的等比数列，，则， 由，当时，， 于是，令， 则 因此， 所以. 故答案为：4038 14．在数列中，，，若，则正整数 ． 【答案】10 【分析】根据题意，令，判断数列是等差数列，从而求得通项公式，进而代入求解即可． 【详解】由，，令，则， 所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列，即， 又为正整数，所以，即，解得或（舍去）． 故答案为：10． 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知是数列的前项和，，是公差为1的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出给定的等差数列通项公式，再利用前n项和求通项的方法求解作答即可； （2）利用（1）的结论，结合裂项相消法即可得解. 【详解】（1）因是公差为1的等差数列，而，则， 因此，即， 当时，， 经检验，满足上式， 所以的通项公式是. （2）证明：由（1）知：， 所以 . 16．记为数列的前n项和．已知． (1)证明：是等差数列； (2)若成等比数列，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证； （2）法一：由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得． 【详解】（1）因为，即①， 当时，②， ①②得，， 即， 即，所以，且， 所以是以为公差的等差数列． （2）[方法一]：二次函数的性质 由（1）可得，，， 又，，成等比数列，所以， 即，解得， 所以，所以， 所以，当或时，． [方法二]：【最优解】邻项变号法 由（1）可得，，， 又，，成等比数列，所以， 即，解得， 所以，即有. 则当或时，． 【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出的最小值，适用于可以求出的表达式； 法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解． 17．设数列满足（）．证明： 对一切正整数n都成立 【答案】证明见解析 【分析】利用数学归纳法即可证明结论. 【详解】证明：当时， ，不等式成立． 假设当（）时， 成立， 那么当时，， ∴当时， 成立， 综上， 对一切正整数n都成立． 18．记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果； （2）先求，讨论的符号去绝对值，结合运算求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意可得，即，解得， 所以， （2）因为， 令，解得，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得 ； 综上所述：. 19．设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据即可求出； （2）根据错位相减法即可解出． 【详解】（1）因为， 当时，，即； 当时，，即， 当时，，所以， 化简得：，当时，，即， 当时都满足上式，所以． （2）因为，所以， ， 两式相减得， ， ，即，． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$