第四章《数列》同步高分必刷卷-2025-2026学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第二册)

第四章《数列》同步高分必刷卷 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．在数列中，，，则（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】利用数列的递推公式求解. 【详解】由题知，. 故选：C. 2．为等差数列，若，下列不是定值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差数列的性质逐项判断即可. 【详解】因为数列为等差数列， 则，解得， 对于A选项，； 对于B选项，无法确定的值； 对于C选项，； 对于D选项，. 故选：B. 3．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第次操作；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段：操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”，若使前次操作去掉的所有区间长度之和不小于，则需要操作的次数的最小值为（    ）(，) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】第一次操作去掉了区间长度的，剩下的区间：， 第二次去掉个长度为的区间，即长度和为，剩下的区间：，，，， 第三次去掉个长度为的区间，即长度和为，剩下的区间：，，，，， 以此类推，第次将去掉个长度为的区间，即长度和记为， 所以是首项为，公比为的等比数列， 则的前项和为， 由题意知，所以， 两边同时取对数，即，解得，所以， 故选：B. 4．利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．k项 D．1项 【答案】B 【分析】根据数学归纳法的知识即可判断出增加的项数. 【详解】当时，不等式左边为， 当时，不等式左边为， 故增加的项数为：. 故选：B. 5．等差数列共有项，其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且，则该数列的公差为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质进行计算即可. 【详解】设公差为，由题意可知奇数项和偶数项都有项， 且， 所以， 又， 所以有， 解得， 故选：B. 6．已知为等比数列，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合题意先求出基本量，再把目标式转化为等比数列求和，进而利用公式法求解即可. 【详解】由题意得为等比数列，则设首项为，公比为， 因为，，所以， 联立方程组，解得， 结合题意可得是首项为1，公比为4的等比数列的前50项和， 由求和公式得前50项和为，故D正确. 故选：D 7．设数列和分别是公差为45的等差数列和公比为45的等比数列，则（    ） A．2025 B．1980 C．2115 D．2070 【答案】A 【分析】根据题意及等差、等比数列的通项公式求解即可. 【详解】设，则， 则，于是， 解得，此时，，满足题意， 所以由，可知. 故选：A 8．已知数列满足，，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，， ，，，，， 所以， 所以数列都是以6为一个周期的周期数列， 又，则， A项错误， 因为， 所以， B项错误， 因为， 所以， C项错误， 因为， 所以， D项正确， 故选：D 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．记为等差数列的前项和，若，且，则（   ） A． B．的公差为负数 C． D．当或8时，取得最大值 【答案】BD 【详解】设等差数列的公差为，首项， 若，则， 则，解得， 所以，A错误，B正确； ，由于，所以，C错误； 由于，所以是中最大的项，故D正确. 故选：BD 10．数列满足（且），则（    ） A．若，则数列是等比数列 B．若，则数列是等差数列 C．若，则数列中存在最大项与最小项 D．若，则 【答案】ABD 【详解】选项A，因为若，， 所以，，…，， 即，，是等比数列，故A正确； 选项B，令，而， ， 又，数列是以1为公差的等差数列，故B正确； 选项C，由选项B的结论及可知：， ，显然，数列在上单调递减， 故当时，有最大值2，没有最小值，故C错误； 选项D，用数学归纳法证明， (1)当时，， (2)假设当，时，不等式成立，即，即， 当时，，满足， 故当时，不等式也成立， 综合(1)(2)，对任意，有， 下面证明， ， ，上面不等式中的等号不成立， ，， 故，故D正确． 故选：ABD． 11．已知数列不是常数列，且有无穷多项，其前项和为，下列结论正确的是（    ） A．若为等差数列，且恒成立，则为递增数列 B．若为递减的等差数列，且，则在时取得最大值 C．若为等比数列，则恒成立 D．若为正项等比数列，且，，则公比 【答案】ABC 【详解】A：因为等差数列不是常数列，且恒成立， 所以恒成立，则， 解得，则为递增数列，A说法正确； B：因为为递减的等差数列，所以，又，故，， 所以在时取得最大值，B说法正确； C：因为为等比数列，且公比，所以，， 因为，所以恒成立，所以恒成立，C说法正确； D：当时，由，可得，， 所以，与已知条件矛盾，所以，D说法错误； 故选：ABC 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知数列是等差数列，，，则 . 【答案】2024 【分析】由等差数列的性质及已知求. 【详解】由题设，且，，则. 故答案为： 13．已知是公差为的等差数列.若，，是公比为的等比数列，则 ， . 【答案】 1 【详解】因为，，是公比为的等比数列， 所以， 又因为是公差为的等差数列， 所以， 则 ， 又 ， ， 所以，解得 ，则 ， 所以. 故答案为：；1. 14．定义：，已知数列满足，，则 ． 【答案】 【详解】数列满足，记，则， 又， ， 是公比为2的等比数列， 当时，，解得， ， ， ， ， ， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知等差数列的前n项和为，，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列基本量的计算可求数列的通项公式； （2）由（1）可推得，进而利用裂项相消法求即可. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 由题意得，解得， 所以. （2）由（1）知，则， 所以， 得. 16．已知等差数列公差为2，且，，恰为等比数列的前三项． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比中项，结合等差数列的性质即可求解，进而可得公比求解通项， （2）根据等差等比数列的求和公式，结合分组求和即可求解. 【详解】（1）由题意得，即，解得：． 所以，，，所以． （2）由于， 则 17．已知． (1)是否存在常数使得对任意的都成立？若存在，求出； (2)若（1）中存在，用数学归纳法证明． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据数学归纳法的证明步骤证明． 【详解】（1）存在， 由题可得，解得， 所以存在，； （2）证明： 当时，， 假设时，等式成立， 时， 成立， 综上，成立． 18．已知数列满足，. (1)证明：数列是常数列，并求数列的通项公式； (2)设，为的前项和. （i）求； （ii）若，恒成立，求实数的最大值. 【详解】（1）由题意知，令，则， 由，可得， 所以对任意，，即， 所以数列是常数列， 所以. （2）（i），则， ， 所以， 所以. （ii）由题意知，即. 令，则， 当为奇数时，，所以单调递减， 当为偶数时，，所以单调递增. 所以当时，有最小值，且， 所以的最大值为. 19．已知首项为1的等差数列满足：，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：，求数列的通项公式及前项和； (3)记，，证明：． 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，，成等比数列， 所以，或， 当时，：，，，显然，，成等比数列， 当时，，，，显然，，不能成等比数列， 所以，于是； （2）令， ， 两式相减，得， 因为等差数列的公差为，且， 所以， 即，即， ，所以数列的前项和， 当时，， 显然不适合，所以； （3），即， 由， 于是 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章《数列》同步高分必刷卷 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．在数列中，，，则（   ） A． B．2 C． D．3 2．为等差数列，若，下列不是定值的是（   ） A． B． C． D． 3．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第次操作；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段：操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”，若使前次操作去掉的所有区间长度之和不小于，则需要操作的次数的最小值为（    ）(，) A． B． C． D． 4．利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．k项 D．1项 5．等差数列共有项，其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且，则该数列的公差为（   ） A．3 B． C． D． 6．已知为等比数列，若，，则（    ） A． B． C． D． 7．设数列和分别是公差为45的等差数列和公比为45的等比数列，则（    ） A．2025 B．1980 C．2115 D．2070 8．已知数列满足，，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．记为等差数列的前项和，若，且，则（   ） A． B．的公差为负数 C． D．当或8时，取得最大值 10．数列满足（且），则（    ） A．若，则数列是等比数列 B．若，则数列是等差数列 C．若，则数列中存在最大项与最小项 D．若，则 11．已知数列不是常数列，且有无穷多项，其前项和为，下列结论正确的是（    ） A．若为等差数列，且恒成立，则为递增数列 B．若为递减的等差数列，且，则在时取得最大值 C．若为等比数列，则恒成立 D．若为正项等比数列，且，，则公比 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知数列是等差数列，，，则 . 13．已知是公差为的等差数列.若，，是公比为的等比数列，则 ， . 14．定义：，已知数列满足，，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知等差数列的前n项和为，，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 16．已知等差数列公差为2，且，，恰为等比数列的前三项． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求的前n项和． 17．已知． (1)是否存在常数使得对任意的都成立？若存在，求出； (2)若（1）中存在，用数学归纳法证明． 18．已知数列满足，. (1)证明：数列是常数列，并求数列的通项公式； (2)设，为的前项和. （i）求； （ii）若，恒成立，求实数的最大值. 19．已知首项为1的等差数列满足：，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：，求数列的通项公式及前项和； (3)记，，证明：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $